第11讲 基本不等式（四大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第11讲 基本不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式的证明 2 题型02 基本不等式的理解 5 题型03 利用基本不等式求简单式子的最值 7 题型04 最值定理 9 易错归纳 12 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 19 创新拓展 26 一、基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则________，当且仅当________时，等号成立． 2．其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数____________它们的几何平均数． 二、最值定理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值________；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值________，简记为：积定和最________，和定积最________． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 题型01基本不等式的证明 【解题策略】 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 【典例分析】 【例1】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 【变式演练】 【变式1】已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【变式2】已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 题型02 基本不等式的理解 【解题策略】 　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【变式演练】 【变式1】（多选）（22-23高一上·辽宁铁岭·阶段练习）下列结论表述不正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则成立 C．若，则恒成立 D．函数的最小值为 【变式2】（多选）（22-23高一上·山东临沂·阶段练习）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（    ） A．若，则 B． C． D．若.则 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 题型03 利用基本不等式求简单式子的最值 【解题策略】 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可 【典例分析】 【例3】（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【变式3】（2022高一上·全国·专题练习）设，，，求最小值． 题型04 最值定理 【解题策略】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【典例分析】 【例4】(1)函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．－2 D．2 (2)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 【变式演练】 【变式1】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）若，且满足，则的最小值是 ． 【变式2】．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 易错点1 忽略变量的取值范围致错 【例1】求的最大值. 易错点2 忽略定值的条件致错 【例2】[黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则的最小值为（） 易错点3 多次应用基本不等式致错 【例3】已知，，且，求的最小值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 3．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 二、多选题 5．（23-24高一下·河南·开学考试）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 三、填空题 7．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 8．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）若，则的最小值是 . 9．（2022高一上·全国·专题练习）已知，则与的比较 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）当时，求函数最小值. 11．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 6．（23-24高三下·广东·阶段练习）若，，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 11．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 2．（21-22高一上·全国·课后作业）若a、b、，且满足，，，则与ab的大小关系是 ． 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 三、解答题 4．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 基本不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式的证明 2 题型02 基本不等式的理解 5 题型03 利用基本不等式求简单式子的最值 7 题型04 最值定理 9 易错归纳 12 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 19 创新拓展 26 一、基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 二、最值定理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 题型01基本不等式的证明 【解题策略】 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 【典例分析】 【例1】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. [思路点拨]　看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明． [证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2 ＝9. 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴＋＋>9. 【变式演练】 【变式1】已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [证明]　由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【变式2】已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. [证明]　由＋＝1，得b＝(a＞1)， 则a＋2b＝a＋＝a＋ ＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7 ≥2＋7， 当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号． 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 题型02 基本不等式的理解 【解题策略】 　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．若 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，不等式，所以A不正确； 对于B中，由， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（多选）（22-23高一上·辽宁铁岭·阶段练习）下列结论表述不正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则成立 C．若，则恒成立 D．函数的最小值为 【答案】CD 【分析】根据基本不等式判断各选项． 【详解】A选项，若，则，恒成立，正确， B选项，∵， ∴，，∴，正确， C选项，若，则，若，则，若，则无意义，命题错， D选项，，则，， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值是5， 命题错， 故选：CD. 【变式2】（多选）（22-23高一上·山东临沂·阶段练习）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（    ） A．若，则 B． C． D．若.则 【答案】CD 【分析】可以通过作差，再利用不等式的性质可以判断A；使用基本不等式，对于任意正实数，，当且仅当时取等号，可以判断B；使用基本不等式，对于任意实数，，当且仅当时取等号，可以判断C；利用不等式的性质可以判断D. 【详解】对于A： 由于 ，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故A错误； 对于B： 若 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，但是，若，则不成立，故B错误； 对于C： 等价于等价于，当且仅当 时取等号，对于任意实数 都成立，故C正确； 对于D： 由于 ，则，又因为，所以，故D正确. 故选：CD 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 【答案】③ 【分析】①根据基本不等式的性质进行判断；②④可举出反例；③可由推出. 【详解】①根据基本不等式，只有当时，才有，①错误； ②当时，，故②错误； ③因为，所以，③正确； ④当时，，④错误． 故答案为：③ 题型03 利用基本不等式求简单式子的最值 【解题策略】 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，三点缺一不可 【典例分析】 【例3】（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 【变式3】（2022高一上·全国·专题练习）设，，，求最小值． 【答案】 【分析】因式分解后借助基本不等式计算即可得. 【详解】因，即，即， 故， 当且仅当，即，时，等号成立. 题型04 最值定理 【解题策略】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【典例分析】 【例4】(1)函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．－2 D．2 答案　C 解析　因为x<2，所以x－2<0， 则y＝x＋＝x－2＋＋2 ＝－＋2≤－2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2. (2)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　∵a>0，b>0，a＋2b＝4， ∴ab＝a·2b≤2＝×2＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为2. 【变式演练】 【变式1】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）若，且满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由已知利用等式关系可得，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，且满足， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为： 【变式2】．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【分析】根据基本不等式易得. 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 易错点1 忽略变量的取值范围致错 【例1】求的最大值. 【错解】令，则 当且仅当，即时，等号成立，则所求最大值为 【错因分析】此解答过程错误，当时，，忽视了对符号的讨论. 【正解】由知 当时，， 当且仅当，即时，等号成立；当或时，；当时，. 综上所述，的最大值为 易错点2 忽略定值的条件致错 【例2】[黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则的最小值为（） 【错解】， 当时，即时，取最小值 【错因分析】此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式. 【解析】因为，即，所以，当且仅当时，即时，有最小值.故的最小值为. 【答案】 易错点3 多次应用基本不等式致错 【例3】已知，，且，求的最小值. 【错解】 的最小值为 【错因分析】上述解法错误的原因是两次使用基本不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为，即；第二次等号成立的条件为，故取不到最小值. 【正解】 当且仅当，，即时，等号成立. 解得 故当时，取得最小值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 3．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【详解】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 4．（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 二、多选题 5．（23-24高一下·河南·开学考试）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式求解出的最值，从而得出结果. 【详解】解：依题意得， 则，当且仅当时，等号成立． 故选： 6．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 【答案】BC 【分析】利用基本不等式求的最大值和的最小值. 【详解】由已知，， 所以，当且仅当时，等号成立，B正确；       ，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 故答案为：①4；②1. 8．（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 9．（2022高一上·全国·专题练习）已知，则与的比较 ． 【答案】 【分析】由基本不等式得到，进而求得，即可得到答案. 【详解】因为， 可得， 且，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 所以. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）当时，求函数最小值. 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合添项减项法即可得解. 【详解】因为，则， 则. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数的最小值为. 11．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解； （2）由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为，，且， 当且仅当，时取等号，所以， 故的最大值为； （2）因为正数，满足， 所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 2．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B； 【详解】解：对于A：因为，为非零实数，所以，则， 即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：当、异号时，故B错误； 对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：B 3．（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【详解】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B 4．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】对于充分性，利用基本不等式，可得证；对于必要性，可举反例，可得答案. 【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即； 当时，，但， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 【答案】BC 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以， 故D错误. 故选：BC 6．（23-24高三下·广东·阶段练习）若，，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题设结合基本不等式，可判断A；将平方后，结合基本不等式，即可判断B；化为，结合基本不等式，即可判断C；将化为，展开后结合基本不等式，即可判断D. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，，， 又，则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，，则， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，，，则 ，当且仅当，即时取等号，D正确， 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； （2）， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 11．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)9 (2)5 【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，利用基本不等式可证得，而得不到，可通过举例验证，利用充分条件，必要条件的概念即可判断． 【详解】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 二、填空题 2．（21-22高一上·全国·课后作业）若a、b、，且满足，，，则与ab的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据2c>a+b可得，利用基本不等式计算得到，进而得出结果. 【详解】因为a>0，b>0，2c>a+b， 所以， 所以， 即. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 三、解答题 4．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，即可求解. 【详解】（1）解：因为且，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）解：由且，可得， 所以，解得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值. 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$