第10讲 等式性质与不等式性质（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第10讲 等式性质与不等式性质 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 等式性质与不等式的性质 2 题型02 利用不等式的性质证明不等式 4 题型03 利用不等式的性质求代数式的取值范围 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 22 等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b________a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c______b＋c 4 可乘性 a>b，c>0⇒________ a>b，c<0⇒________ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒________ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an______bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 题型01等式性质与不等式的性质 【解题策略】 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【典例分析】 【例1】　(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　) A．若a>b，c>d，则a－d>b－c B．若a>b，则< C．若a<|b|，则a2>b2 D．若a>b，c>d，则ac>bd 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 题型02 利用不等式的性质证明不等式 【解题策略】 　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 【典例分析】 【例2】已知c>a>b>0，求证：>. 【变式演练】 【变式1】已知a>b>0，c<0，证明：>. 【变式2】已知c>a>b>0，求证：>. 【变式3】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 题型03 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【解题策略】 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 【典例分析】 【例3】已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【变式2】已知1<a<6,3<b<4，则a－b的取值范围是________，的取值范围是________． 【变式3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知实数x， y满足关系: -1<x+y<4， 2<x-y<3. (1)分别求实数x，y的取值范围； (2)求3x+2y的取值范围. 易错点 扩大取值范围致错 已知，，求的取值范围. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 6．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 8．（2023高一·全国·课后作业）请写出“”的一个充要条件： ． 9．（23-24高一上·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 四、解答题 10．（2023高一上·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 11．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）（1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广西贺州·期末）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 7．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若，，则的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 四、解答题 10．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，求和的取值范围： （2）已知.比较与的大小. 11．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·湖北武汉·期末）若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知，，求，的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 【下节预览】 1、 解答题 5．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）选用恰当的证明方法，证明下列不等式. (1)已知均为正数，且，求证：； (2)已知，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等式性质与不等式性质 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 等式性质与不等式的性质 2 题型02 利用不等式的性质证明不等式 4 题型03 利用不等式的性质求代数式的取值范围 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 22 等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<<；若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 题型01等式性质与不等式的性质 【解题策略】 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【典例分析】 【例1】　(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　) A．若a>b，c>d，则a－d>b－c B．若a>b，则< C．若a<|b|，则a2>b2 D．若a>b，c>d，则ac>bd 答案　BCD 解析　对于A，若c>d，则－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故A为真命题； 对于B，若a>b，且a>0，b<0，则>0，<0，此时>，故B为假命题； 对于C，若a＝－1，b＝2，则a2＝1<b2＝4，故C为假命题； 对于D，若a＝5，b＝1，而c＝－1，d＝－4，则ac＝－5<bd＝－4，故D为假命题． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式2】(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 答案　ACD 解析　不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误； ad＝－2<bc＝0，故C错误； 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误； 因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质 同向可加性得a＋c>b＋d，故B正确． 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据不等式的性质比较大小. 【详解】解：（1）因为， 所以． （2），， 因为，所以，所以． 题型02 利用不等式的性质证明不等式 【解题策略】 　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 【典例分析】 【例2】已知c>a>b>0，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0， 所以0<c－a<c－b， 所以(c－a)(c－b)>0， 所以0<·(c－a)<·(c－b)， 即0<<， 即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 方法三　－＝ ＝＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>. 【变式演练】 【变式1】已知a>b>0，c<0，证明：>. 证明　方法一　－＝， ∵a>b>0，c<0， ∴ab>0，b－a<0，c(b－a)>0， ∴－>0，∴>. 方法二　∵a>b>0， ∴>>0， ∵c<0，∴<. 即>. 【变式2】已知c>a>b>0，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b， 所以0<(c－a)2<(c－b)2， 所以(c－a)2(c－b)2>0， 所以·(c－a)2<·(c－b)2， 即0<<， 所以>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法二　－ ＝ ＝ ＝＝， 因为c>a>b>0， 所以a－b>0，c2>ab，c－a>0，c－b>0， 所以(a－b)(c2－ab)>0， 所以>0， 所以－>0， 因此>. 【变式3】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 题型03 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【解题策略】 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 【典例分析】 【例3】已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围． 解　因为－6<a<8,2<b<3， 所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2， 所以－9<a－b<6. 又<<， ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，0<－a<6， 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】已知1<a<6,3<b<4，则a－b的取值范围是________，的取值范围是________． 答案　－3<a－b<3　<<2 解析　∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 又<<，∴<<，即<<2. 【变式3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知实数x， y满足关系: -1<x+y<4， 2<x-y<3. (1)分别求实数x，y的取值范围； (2)求3x+2y的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】根据不等式的性质求范围即可. 【详解】（1）①，②， ①+②得：，解得， 由②得③， ①+③得：，解得， 所以，. （2）设，则，解得，， ①+②得：， 所以的取值范围为 易错点 扩大取值范围致错 已知，，求的取值范围. 【错解】由得，再结合，根据不等式同向可加性，可得，即同理可得，故，所以的取值范围是 【错因分析】利用不等式求某个代数式（特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式）的取值范围时，往往需要利用不等式的性质“同向可加性”，但这一性质并不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围（所推得的不等关系仍然成立，但并不是准确的取值范围）. 【正解】设，则 解得 又 所以. 所以的取值范围是. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可. 【详解】.①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误； ②令，，满足，不成立，故②错误； ③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确； ④由，则，故不成立，故④错误. 故选：C. 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围. 【详解】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘，可得， 所以. 故选：B． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可. 【详解】对于A，由题意，所以，故A正确； 对于B，，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【答案】，，(答案不唯一) 【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可. 【详解】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 8．（2023高一·全国·课后作业）请写出“”的一个充要条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据充要条件的概念及不等式的性质求解即可. 【详解】由不等式的性质可知，因为，则， 所以：是“”的一个充要条件. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（23-24高一上·四川成都·期中）若，，则的取值范围用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，则， 又，所以，则， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 10．（2023高一上·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【答案】答案见解析 【分析】共有三种选择方法，通过不等式性质或作差法即可证明. 【详解】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立， 因为，对，两边同除得； 以（1）（2）作为条件，可得（3）成立， ，则，因为，则，则； 以（1）（3）作为条件，可得（2）成立， 因为，，两边同乘则得到 . 11．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）（1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）， 【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证； （2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果. 【详解】（1） （当且仅当等号成立） （2） ∴． 由，得①． 由，得②． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质可得. 【详解】由，，得，即，故A正确； 当时，不满足题意，故BD错误； 当时，由，得，不满足题意，故C错误； 故选：A. 2．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确． 【详解】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误. 故选：B 3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，则且，即， 反过来，若，则，但，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，，根据不等式性质即可求得答案. 【详解】因为，所以，， 故， 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一上·广西贺州·期末）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D． 【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确. 故选：ABD. 6．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】由，两式相加得，即，故A正确； 由，得，又，两式相加得，即，故B正确； 设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高一上·陕西汉中·期中）若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求解即得. 【详解】由，，得， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知，，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质，可得答案. 【详解】由，根据不等式的倒数性质，可得； 由，根据不等式的的同向同正可乘性，可得. 故答案为：. 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）． 【答案】 【分析】根据不等式的性质转化为比较与的大小关系，即可求解. 【详解】要比较与的大小关系，即比较与的大小关系， ， 即， 所以. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，求和的取值范围： （2）已知.比较与的大小. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式基本性质求出答案；（2）作差法比较大小. 【详解】（1）因为，所以，， 故，即， 又，即； （2）， 故. 11．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·湖北武汉·期末）若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可. 【详解】若，则，则或，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误； 对于C，因为，所以，故，即，故C错误； 对于D，因为，，，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题 3．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【详解】由,有，， 则，故, 故答案为：. 四、解答题 4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知，，求，的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质，可得结果. （2）利用作差法，即可得． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∴， 即. 又，∴， ∴. （2）， 因为且，， 所以； 又因为，所以，， 所以． 【下节预览】 1、 解答题 5．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）选用恰当的证明方法，证明下列不等式. (1)已知均为正数，且，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式证明即可； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以． （2）证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$