第09讲 不等关系与不等式（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第09讲 不等关系与不等式 目录 题型归纳 1 题型01 用不等式(组)表示不等关系 3 题型02 作差法比较大小 5 题型03 重要不等式 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 15 创新拓展 22 一、用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 二、作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔________； a＝b⇔________； a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与________的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 三、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab.当且仅当________时，等号成立． 题型01用不等式(组)表示不等关系 【解题策略】 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围 【典例分析】 【例1】（1）（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” （2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 题型02 作差法比较大小 【解题策略】 　作差法比较两个实数大小的基本步骤 【典例分析】 【例2】（(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）能够说明“若均为正数，则”是真命题的一组数依次可以为 .（写出一组即可） 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【变式3】(1)比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小． (2)已知a>0，b>0，比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小． 题型03 重要不等式 【解题策略】 在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 【典例分析】 【例3】已知a>0，求证：a＋≥2. 【变式演练】 【变式1】已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系． 【变式2】已知正实数a，b满足ab＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 【变式3】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 二、多选题 5．（23-24高一上·云南·阶段练习）下列不等式一定成立的有（    ） A．若,且,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 6．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．设太阳表面温度为，那么应满足的关系式是 ． 8．（2023高一·全国·专题练习）几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥ a，b∈R a＝b ≥2 a＝b ≤－2 ab<0 ≤ a，b∈R a＝b ≤ a，b∈R a＝b 9．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 11．（2023高一·全国·专题练习）已知b g糖水中有a g糖，往糖水中加入m g糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式 (2)证明这个不等式 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 二、多选题 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列不等式中成立的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 6．（23-24高一上·四川广安·阶段练习）若，下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过30吨．用不等式表示为 ． 8．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知，比较P、Q大小，P Q. 9．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 四、解答题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）用不等式表示下列关系. (1)为实数，而且大于1不大于6； (2)与的平方和不小于2且不大于10. 11．已知a>0，试比较a与的大小． 12．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 2．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 三、填空题 3．（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 四、解答题 4．（22-23高一·全国·课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 不等关系与不等式 目录 题型归纳 1 题型01 用不等式(组)表示不等关系 3 题型02 作差法比较大小 5 题型03 重要不等式 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 15 创新拓展 22 一、用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 二、作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 三、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立 题型01用不等式(组)表示不等关系 【解题策略】 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围 【典例分析】 【例1】（1）（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C （2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系． 解　设复兴号列车的速度为v1， 民航飞机的速度为v2， 普通客车的速度为v3. 则有 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意结合矩形菜园的边长和面积列出不等关系即可. 【详解】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以， 则菜园的另一条边长为． 所以菜园面积， 根据题意有，即， 故不等关系可用不等式表示为. 题型02 作差法比较大小 【解题策略】 　作差法比较两个实数大小的基本步骤 【典例分析】 【例2】（(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋. ∵2≥0， ∴2＋≥>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）能够说明“若均为正数，则”是真命题的一组数依次可以为 .（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用差比较法的知识求得正确答案. 【详解】要使，由于均为正数， 所以只需，即. 所以依次可以为. 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 因为，，可得， 所以. 【变式3】(1)比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小． 解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)． (2)已知a>0，b>0，比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小． 解　因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. 题型03 重要不等式 【解题策略】 在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 【典例分析】 【例3】已知a>0，求证：a＋≥2. 证明　方法一　利用a2＋b2≥2ab. ∵a>0， ∴a＋＝()2＋2≥2·＝2. 当且仅当a＝1时，等号成立． ∴a＋≥2. 方法二　∵a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0， ∴a＋≥2. 【变式演练】 【变式1】已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系． 解　由重要不等式可知x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)， 即4≥2xy， 所以xy≤2. 【变式2】已知正实数a，b满足ab＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　正实数a，b满足ab＝2，由重要不等式可知， a＋b＝()2＋()2≥2＝2， 当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以a＋b的最小值为2. 【变式3】已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 答案　2　±1 解析　根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高一上·云南·阶段练习）下列不等式一定成立的有（    ） A．若,且,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】ACD 【分析】利用作差法判断ACD的正误,举例判断B的正误即可. 【详解】对于A,因为,且,所以, 因为,所以,故A正确; 对于B,令,,时,,故B错误; 对于C,, 又因为,则,,,, 所以,即,故C正确; 对于D,, 因为,所以, 则, 即,故D正确. 故选:ACD. 6．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知不等式可得，采用作差法依次判断各个选项即可. 【详解】由得：； 对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．设太阳表面温度为，那么应满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得出关于的不等式，即为所求. 【详解】因为雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高． 所以可得. 故答案为：. 8．（2023高一·全国·专题练习）几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a2＋b2≥ a，b∈R a＝b ≥2 a＝b ≤－2 ab<0 ≤ a，b∈R a＝b ≤ a，b∈R a＝b 【答案】 2ab ab>0 a＝－b ab 【分析】由不等式与重要不等式的概念理解以及公式即可得出答案. 【详解】由不等式与重要不等式的概念理解即得出结论 故答案为：2ab；ab>0；a＝－b；ab，； 9．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可. 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 四、解答题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 【答案】（1）；（2） 【分析】由不等式的表示方法解决. 【详解】（1）由题意，直接用不等式表示可得. （2）由题意，直接用不等式表示可得. 11．（2023高一·全国·专题练习）已知b g糖水中有a g糖，往糖水中加入m g糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式 (2)证明这个不等式 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接列出不等式即可； （2）利用差比法进行证明即可. 【详解】（1）由题可得； （2）因为，， 所以，从而， 即. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 3．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案. 【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列不等式中成立的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法对各选项逐一判断即可得解. 【详解】对于A，因为，且，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 又因为，，则，，，， 所以，即，故C错误； 对于D， ， 因为，所以， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高一上·四川广安·阶段练习）若，下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】作差法比较大小，得到答案. 【详解】A选项，， 因为，所以， 所以，，A错误； B选项，，因为，所以， 故，，B正确； C选项，， 因为，所以，所以， 故，C错误； D选项，， 因为，所以，故， 所以，，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．（22-23高一·全国·课后作业）某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过30吨．用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【详解】已知车货总重量不超过吨，则. 故答案为：. 8．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知，比较P、Q大小，P Q. 【答案】 【分析】作差法比大小即可. 【详解】由，所以. 故答案为：. 9．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 四、解答题 10．（23-24高一上·全国·课后作业）用不等式表示下列关系. (1)为实数，而且大于1不大于6； (2)与的平方和不小于2且不大于10. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不大于即小于等于，用符号可表示为，即； （2）不小于即大于等于，平方和可表示为，即. 【详解】（1）为实数且大于1可表示为，不大于6可表示为， 所以用不等式可表示为； （2）与的平方和不小于2可表示为，不大于10可表示为； 所以用不等式可表示为. 11．已知a>0，试比较a与的大小． 解　因为a－＝＝，a>0， 所以当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<. 综上所述，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 12．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】， ∵，为正数，且，，则， ∴， ∴， 故选：C 2．（22-23高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案. 【详解】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误. 故选：B. 三、填空题 3．（23-24高一上·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【分析】将两数都平方，然后作差法比较大小即可. 【详解】由，则， 所以. 故答案为： 四、解答题 4．（22-23高一·全国·课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)若，，则． (2)若，，且，则． 【分析】（1）设糖水b克，含糖a克，得到糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为求解； （2）设淡糖水克，含糖克，得到淡糖水浓度为，设浓糖水克，含糖克，得到浓糖水浓度为，从而混合后的糖水浓度为求解. 【详解】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为， 加入m克糖后的糖水浓度为， 则提炼出的不等式为：若，，则． （2）设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为， 设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为， 则混合后的糖水浓度为， 所提炼出的不等式为：若，，且，则． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差比较法比较大小即可； （2）先利用表示出，结合的范围可得答案. 【详解】（1）. 因为，所以，， 所以. 因为，都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立. （2）由题意可设， 则，解得，， 因为， 所以，， 则，故答案为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$