5.2.1 等差数列 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

等差数列 1 复 习 回 顾 数列的定义，通项公式，递推公式 按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 1+2+3+···+100=? 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 得到数列 1，2，3，4， … ，100 引例一 得到数列 600,650,700,750，800,850,900 引例二 姚明刚进NBA一周训练罚球的个数： 第一天：600， 第二天：650， 第三天：700， 第四天：750， 第五天：800， 第六天：850， 第七天：900. 得到数列 20、21、22、23、24 引例三 女鞋鞋底的长度，单位（cm） 20、21、22、23、24 1、高斯计算的数列：1、2、3、4、5……98、99、100 2、姚明训练罚球的个数： 600、650、700、750、800、850、900 3、女鞋鞋底的长度：20、21、22、23、24 观察归纳 这些数列都有什么特点？ 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数 6 等差数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。 递推公式： 是 不是 不是 练 习 一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 （1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，0，… （4）3，3，3，3，… （6）15，12，10，8，6，… 思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？ 是 是 是 a1=1,d=2 a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 a1=3,d=0 通 项 公 式 的 推 导 设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。 问an=? 通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？ 已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d a2-a1=d …… an-an-1=d (1)式+(2)式+…+(n-1)式得： a3-a2=d a4-a3=d an-a1=（n-1）d， （1） （2） （3） （n-1） 通项公式 累加法 an=a1+（n-1）d 即 a1 、an、n、d知三求一 等差中项 思考：若a、A、b成等差数列，那么A和a、b之间会有什么关系？ 解: 依题得, A-a=b-A A=(a+b)/2 所以 A为a,b的 等 差 中 项 例 题 已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。 等差数列的性质1 性质1：若已知等差数列的首项为a1，公差为d，则将数列的前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 等差数列的性质2 性质2：从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 性质1：若已知等差数列的首项为a1，公差为d，则取出数列的前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 等差数列的性质1 性质1：若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则可运用am=an+(m-n)d。 等差数列的性质1 性质1：｛an｝是公差为d的等差数列，若正整数m、n、p、q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 思考 在等差数列｛an｝中，若an=3n+1.那么a1+a5=a2+a4吗？a2+a5=a3+a4成立吗？ 如何解决 课后作业 1+2+3+···+100=? 预习：等差数列的前n项和 THANK YOU 18 $$