22.2 一元二次方程的解法（8个知识点+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

22.2 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的解法； ②一元二次方程的判别式； ③一元二次方程的根与系数的关系； 1.掌握一元二次方程的解法. 2.掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系. 3.会用换元法及配方法解决问题. 知识点01 直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即学即练1】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 知识点02 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【即学即练1】 1．解方程： (1). (2)； 知识点03 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【即学即练1】 1．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 知识点04 公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【即学即练1】 1．解方程：． 知识点05 换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【即学即练1】 1．． 知识点06 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【即学即练1】 1．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 知识点07 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 【即学即练1】 1．用配方法说明，无论取何值，代数式的值总小于0． 知识点08 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； 【即学即练1】 1．设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】解方程：． 【变式1】已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】若，则等于（    ） A．4 B． C． D．或4 【变式3】方程的一个较小的根为 ． 【变式4】解方程：． 题型02 因式分解法解一元二次方程 【典例1】关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【变式1】已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程的解是 ． 【变式3】一元二次方程的较大的根是 ． 【变式4】解一元二次方程：． 题型03 配方法解一元二次方程 【典例1】解方程：（用配方法） 【变式1】用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【变式4】解方程： 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】解方程：； 【变式1】解方程：；     【变式2】解方程：； 【变式3】解方程：． 【变式4】解方程：． 题型05 换元法 【典例1】如果实数x满足，那么的值是 ． 【变式1】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数、满足等式，则 ． 【变式3】已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【变式4】解方程：． 题型06 根的判别式 【典例1】关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【变式1】一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【变式2】关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【变式4】设是方程的两个根，且，则的值为 ． 题型07 配方法的应用 【典例1】无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　 　） A． B． C．＜ D．＞ 【变式2】已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【变式3】若，则M的最小值为 ． 【变式4】阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 题型08 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【典例1】设，是一元二次方程的两个根，则 . 【变式1】若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【变式3】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【变式4】已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 1．一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 4．已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 6．关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 7．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 9．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ 　　） A．1 B． C．3或 D．1或 10．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题 11．写出方程的一个解 ． 12．解方程： ． 13．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 14．多项式有最 值为 ． 15．用公式法解方程，计算 ． 16．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 18．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 三、解答题 19．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 20．已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 21．关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 22．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 23．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 24．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 25．阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的解法； ②一元二次方程的判别式； ③一元二次方程的根与系数的关系； 1.掌握一元二次方程的解法. 2.掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系. 3.会用换元法及配方法解决问题. 知识点01 直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【即学即练1】 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 知识点02 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【即学即练1】 1．解方程： (1). (2)； 【答案】(1)或；(2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答. （1）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. （2）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. 【详解】（1）解： ,即:或, ∴或； （2）解：, , ,即: 或, ∴或． 知识点03 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【即学即练1】 1．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得，即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得，即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 知识点04 公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【即学即练1】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得： 知识点05 换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【即学即练1】 1．． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 知识点06 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【即学即练1】 1．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】A、的根的判别式，方程有两个相同的实数根，不符合题意 B、的根的判别式，方程没有实数根，不符合题意； C、的根的判别式，方程没有实数根，不符合题意； D、的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 知识点07 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 【即学即练1】 1．用配方法说明，无论取何值，代数式的值总小于0． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查配方的应用，将配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据这一性质即可证得． 【详解】证明：， ， ， ， 无论为何实数，代数式的值总小于零． 知识点08 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； 【即学即练1】 1．设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）； 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 【变式1】已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次方程，方程的解等知识点，先求出方程的解，再把x的值代入方程，求出m的值即可，先求出x的值，再代入方程是解决此问题的关键． 【详解】， 解得：， 把代入方程得： ，解得：，故选：C． 【变式2】若，则等于（    ） A．4 B． C． D．或4 【答案】D 【分析】用直接开方法求解即可， 本题考查了，直接开方法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握直接开方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴或， ∴或， 故选：． 【变式3】方程的一个较小的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 【变式4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 题型02 因式分解法解一元二次方程 【典例1】关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式1】已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 【变式2】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 【变式3】一元二次方程的较大的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，先运用因式分解法解一元二次方程，再根据两根的大小得到较大的根，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解： 或， 解得，， 较大的根是， 故答案为：． 【变式4】解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以． 题型03 配方法解一元二次方程 【典例1】解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 【变式1】用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 【变式2】用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的问题，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； B、应在方程左右两边同时加上4，故符题意； C、原方程移项得，应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； D、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； 故答案为：B． 【变式3】把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式4】解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：配方得，即， 开方得， ， ∴，． 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】解方程：； 【答案】，； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．利用公式法解该一元二次方程即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【变式1】解方程：；     【答案】； 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握相应的解法步骤是解本题的关键；先计算，再利用公式法解方程即可； 【详解】解： ∵，，， ∴ ∴ ∴ 【变式2】解方程：； 【答案】，； 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可； 【详解】解：， ，，， 则， ， 即，； 【变式3】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得：，． 【变式4】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， 其中， ∴， ∴， ，． 题型05 换元法 【典例1】如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 【变式1】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 【变式2】已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 【变式3】已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可； 【详解】方程，如果设， 则， ， 故答案为：； 【变式4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 题型06 根的判别式 【典例1】关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 【变式1】一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式2】关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故选：A． 【变式3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：对于关于的方程， 当时，可有，解得； 当时，该方程为一元二次方程， 则有， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】设是方程的两个根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以利用根的判别式计算即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟记根的判别式． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：． 题型07 配方法的应用 【典例1】无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 【变式1】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 【变式2】已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 【变式3】若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 【变式4】阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 题型08 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【典例1】设，是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 【变式2】已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 【变式3】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式4】已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 1．一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 直接开方得：， ∴， 故选：A． 2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 4．已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了配方法的应用，非负数的性质，坐标与图形性质，关键是得到点到直线的距离是． 点到直线的距离是，利用配方法即可得到点到直线的最小值． 【详解】解：点到直线的距离是， 当时，点到直线的最小值为1． 故选：B． 5．若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 6．关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，把数值代入，且结合，进行化简计算即可作答． 【详解】解：∵a，b，c满足， ， ， 即， ∴方程有实数根． 故选C． 7．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可． 【详解】解：当时，即，这时方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，则， 解得且， 综上所述，m的取值范围是， 故选A． 8．若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 9．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ 　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 10．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 二、填空题 11．写出方程的一个解 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用直接开平方法解方程即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 12．解方程： ． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．首先移项进而提取公因式，进而分解因式求出即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 故答案为：，． 13．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 14．多项式有最 值为 ． 【答案】 大 2 【分析】本题考查了配方法求最值，解题的关键是配方成完全平方公式． 对代数式进行两次配方得到，即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴ 当时，取得最大值2． 15．用公式法解方程，计算 ． 【答案】13 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一般式，直接把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：13 16．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键；根据根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 18．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 三、解答题 19．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)，；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 20．已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)，；(2)方程有两个实数解．理由见详解；(3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 21．关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 【答案】(1)理由见解析；(2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法， （1）根据判别式公式得出，结合，异号，得到的正负情况，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把和用表示出来，代入方程，整理后，解之即可； 解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，异号，，， ∴， ∴此方程有两个不等实数根； （2）∵关于的方程的根是，， ∴，， ∴，， ∵方程， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或， ∴方程的根为或． 22．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)，；(2)；(3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 23．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 【答案】(1)；(2)； 【分析】本题考查利用公式法因式分解、平方的非负性， （1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可求解； （2）先利用题目中的方法进行因式分解可得，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴多项式的最小值． 24．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1)；(2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即，解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或．解得：或． 即方程的两根分别是和． 25．阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1)；(2)；(3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$