22.1 一元二次方程（3个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

22.1 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的概念； ②一元二次方程的一般式； ③一元二次方程的根； ④实际问题建模. 1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程. 2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式. 3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方程的根. 4.会由具体问题构建一元二次方程. 知识点01 一元二次方程的概念 1.概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程满足的条件(三要素) (1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是 2. 3.对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 【即学即练1】 1.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 【即学即练1】 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 知识点03 一元二次方程的解(根) 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 易错点1 忽略二次项系数不为0而致错 特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为 0. 易错点2 没有化为一元二次方程的一般形式而致错 特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式; 2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动. 【即学即练1】 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 题型01 运用一元二次方程概念解题 【典例1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式3】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 题型02 一元二次方程的一般形式 【典例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 【变式1】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式2】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【变式3】方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【变式4】方程的一次项系数是，二次项系数是 2，常数项是 ． 题型03 运用一元二次方程根的定义解题 【典例1】已知为方程的根，那么的值为 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【变式3】若是方程的一个根，则的值为 ． 【变式4】若是关的方程的解，则的值为 ． 题型04 根据实际问题列一元二次方程 【典例1】如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4】4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 2．关于的方程是一元二次方程，则值为（    ） A．2或 B．2 C． D．且 3．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 5．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 6．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．若是方程的根，则代数式的值为(    ) A．1 B．2024 C．2025 D． 8．若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 9．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 10．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 12．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 13．一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 14．若是关于的方程的一个根，则的值是 15．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 16．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 17．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为 ． 18．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 19．如图是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽度应为，可列方程为 ． 20．《九章算术》中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”译文：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？我们用线段和线段来表示芦苇，点和点表示芦苇与水面接触的位置，设水的深度为尺，则可列方程为 ． 21．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 22．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 23．已知是方程的一个根，求的值． 24．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 25．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的概念； ②一元二次方程的一般式； ③一元二次方程的根； ④实际问题建模. 1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程. 2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式. 3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方程的根. 4.会由具体问题构建一元二次方程. 知识点01 一元二次方程的概念 1.概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程满足的条件(三要素) (1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是 2. 3.对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 【即学即练1】 1.下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 【即学即练1】 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 知识点03 一元二次方程的解(根) 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 易错点1 忽略二次项系数不为0而致错 特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为 0. 易错点2 没有化为一元二次方程的一般形式而致错 特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式; 2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动. 【即学即练1】 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴，故选：D． 题型01 运用一元二次方程概念解题 【典例1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个，故选：B． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，解得．故选：C． 【变式3】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即，∴，故选：A. 题型02 一元二次方程的一般形式 【典例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项．故选A． 【变式1】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ，解得：， 则该方程中的一次项系数为5，故选A． 【变式2】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7，故选：C． 【变式3】方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴；故答案为： 【变式4】方程的一次项系数是，二次项系数是 2，常数项是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ． 方程化成一般形式是， 常数项为．故答案为：． 题型03 运用一元二次方程根的定义解题 【典例1】已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ．故答案为：． 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴，故选：． 【变式2】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴，故选：D． 【变式3】若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴即， ∴，故答案为：2021． 【变式4】若是关的方程的解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则，故答案为：2024． 题型04 根据实际问题列一元二次方程 【典例1】如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【详解】解：由题意得，．故选：C． 【变式1】如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得： ．故选：D． 【变式2】我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：．故选：B 【变式3】两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程． 【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为， 根据题意有：，故选：A． 【变式4】4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解． 【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额， ∴．故答案为：． 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2．关于的方程是一元二次方程，则值为（    ） A．2或 B．2 C． D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得．故选：C． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得：，故选：C． 4．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】A．不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意； B．不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意； C．是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意； D．不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意； 故选：C． 5．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（其中a、b、c是常数，且），a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3；；， 故选；B． 6．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴．故选：A． 7．若是方程的根，则代数式的值为(    ) A．1 B．2024 C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值．一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，再根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴，故选：B． 8．若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：；解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以．故选：B． 9．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为故选 10．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 依题意得：．故选：D． 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，，解得，；故答案为：1． 12．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，∴．∴a的值为0．故答案为：0． 13．一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可． 【详解】解： ，故答案为：． 14．若是关于的方程的一个根，则的值是 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，将代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案，熟记及一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则 ，故答案为：． 15．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 16．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 17．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． 根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，，故答案为：． 18．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：．故答案为：． 19．如图是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽度应为，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，列方程为，故答案为：． 20．《九章算术》中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”译文：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？我们用线段和线段来表示芦苇，点和点表示芦苇与水面接触的位置，设水的深度为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若水深x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长为尺，由题意得： ，故答案为：． 21．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1)；(2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 22．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 23．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ，故答案为：． 24．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 25．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，；（2）1.7 【分析】（1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 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