11.2 实数（4个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

11.2 实数 课程标准 学习目标 1 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应； ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小； ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数. 2.知道实数在数轴上的点一一对应. 3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算，进一步领会数形结合思想. 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即学即练1】 1．下列各数：，0，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：， 无理数有，，（相邻两个1之间依次多一个0），，共3个． 故选：B 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（    ） A．实数与数轴上的点一一对应 B．两个无理数的和仍是无理数 C．0既不是有理数也不是无理数 D．无理数都是带根号的数 【答案】A 【详解】解：A． 实数与数轴上的点一一对应，原说法正确，故该选项符合题意； B． 两个无理数的和不一定是无理数，例如：，0是有理数，则原说法错误，故该选项不符合题意； C． 0是有理数，则原说法错误，故该选项不符合题意； D．π是无理数，不带根号，则原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即学即练3】 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．1.414 【答案】A 【详解】解：的相反数是 故选A． 知识点04 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即学即练4】 4．比较下列两个实数的大小：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型01 有理数和无理数 【典例1】下列实数，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：无理数有，，，共3个． 故选：C． 【变式1】在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，无理数的个数有（　　 ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，，，是有理数， ，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），是无理数， ∴无理数共有3个， 故选：B． 【变式2】是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【详解】解：是一个无理数． 故选：D 【变式3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为81时，输出y的值是_______． 【答案】 【详解】解：当输入是时，取算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 故答案为：． 题型02 实数的分类 【典例1】把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 【答案】见解析 【详解】解：、、 ①无理数集合，，，； ②整数集合0，，，； ③有理数集合，0，、，，，； ④负数集合，，； 故答案为：，，；0，，；，0，、，，；，，． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．无理数是无限小数，无限小数是无理数 B．是无理数 C．实数包括正实数和负实数 D．带根号的数都是无理数 【答案】B 【详解】解：A．无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．是无理数，正确，故该选项符合题意； C．实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，故该选项不符合题意； D．带根号的数不一定都是无理数，例如，，2是有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】是（    ） A．正有理数 B．负有理数 C．正无理数 D．负无理数 【答案】D 【详解】解：是负无理数， 故选： D． 【变式3】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】，，， ，，， ，，，， ，， 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 题型03 实数的大小比较 【典例1】在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D．－3 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， ∴这四个数中，最大的数为， 故选：C． 【变式1】下列实数，0，，，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 最大的数是， 故选：D． 【变式2】在数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵正数负数， ∴数中，，最大的数是． 故选：D． 【变式3】下列实数：，，，0中，最小的无理数是______． 【答案】 【详解】解：，，，0中，，是无理数， ， ， 最小的无理数是． 故答案为：． 题型04 实数的运算 【典例1】已知一个数的绝对值是，则这个数是（　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：∵一个数的绝对值是， ∴这个数是． 故选：D． 【变式1】的绝对值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 【变式2】的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式3】计算：_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 1．无理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：无理数的相反数是，故选：A 2．在这些数中，无理数的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如相邻两个之间的个数逐次增加，由此即可求解．所以，无理数有：，，，，共4个， 故选：C． 3．在实数，，，，，，中，无理数的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 所以，在实数，，，，，，中，无理数，，，，共4个，故选：D． 4．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在，，，中，是无限不循环小数，是无理数，故选：A． 5．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 6．如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（   ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∴若点对应的数是，则点落在点和点之间，故选：C． 7．如图，点是硬币圆周上一点，点与数轴上2所对应的数重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点恰好与数轴上点重合．则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴圆的周长是（个单位）， ∵A与数轴的数2对应的点重合， ∴点表示的数是．故选C． 8．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 9．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 10．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴最小的数是；故选D． 11．已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能是点D． 故选：D． 12．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 13．的绝对值是________，算术平方根是_______． 【答案】 【详解】的绝对值是， ，的算术平方根是． 故答案为：， 14．在实数，，，中，是无理数的是_______． 【答案】 【详解】解：在实数，，，中，属于无理数的是，故答案为：． 15．在，，，，，中，共有_______个无理数． 【答案】 【详解】， ∴在，，，，…，中有20个有理数， 则无理数的个数为．故答案为：． 16．比较大小：（1）_______，（2）_______ 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即：； 故答案为：；． 17．将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时，______． 【答案】 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是______． 【答案】 【详解】解：，，2的算术平方根是， 故答案为：． 19．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为________． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴正方形的边长为． ∴G点距离O的距离为， ∴点G表示的数为． 故答案为：． 20．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为________．    【答案】 【详解】解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 21．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 22．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【答案】(1)2；；(2) 【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 则格点正方形的面积为，则， ∴． 23．将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2， 无理数集合：{____________________________…}； 分数集合：{____________________________…}； 正数集合：{____________________________…}； 负整数集合：|____________________________…}． 【答案】见解析 【详解】解：无理数集合：； 分数集合：； 正数集合：； 负整数集合： 24．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 25．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1)；(2)0和1；(3)5 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 实数 课程标准 学习目标 1 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应； ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小； ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数. 2.知道实数在数轴上的点一一对应. 3.学会比较两个实数的大小，能熟练地进行实数运算，进一步领会数形结合思想. 知识点01 有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即学即练1】 1．下列各数：，0，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（    ） A．实数与数轴上的点一一对应 B．两个无理数的和仍是无理数 C．0既不是有理数也不是无理数 D．无理数都是带根号的数 知识点03 实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【即学即练3】 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．1.414 知识点04 实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【即学即练4】 4．比较下列两个实数的大小：_______． 题型01 有理数和无理数 【典例1】下列实数，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在，，，，0.1010010001……（每个后面依次多一个0），这5个实数中，无理数的个数有（　　 ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 【变式3】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为81时，输出y的值是_______． 题型02 实数的分类 【典例1】把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．无理数是无限小数，无限小数是无理数 B．是无理数 C．实数包括正实数和负实数 D．带根号的数都是无理数 【变式2】是（    ） A．正有理数 B．负有理数 C．正无理数 D．负无理数 【变式3】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 题型03 实数的大小比较 【典例1】在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D．－3 【变式1】下列实数，0，，，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【变式2】在数中，最大的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【变式3】下列实数：，，，0中，最小的无理数是______． 题型04 实数的运算 【典例1】已知一个数的绝对值是，则这个数是（　） A． B． C．3 D． 【变式1】的绝对值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】计算：_______． 1．无理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．在这些数中，无理数的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在实数，，，，，，中，无理数的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 5．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（   ） A．点和点之间 B．点和点之 C．点和点之间 D．点和点 7．如图，点是硬币圆周上一点，点与数轴上2所对应的数重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点恰好与数轴上点重合．则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 8．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 9．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 10．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 11．已知实数，则a在数轴上对应的点可能是（    ） A．A B．B C．C D．D 12．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 13．的绝对值是________，算术平方根是_______． 14．在实数，，，中，是无理数的是_______． 15．在，，，，，中，共有_______个无理数． 16．比较大小：（1）_______，（2）_______ 17．将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时，______． 18．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是______． 19．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点，点表示的数为________． 20．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为________．    21．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 22．在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 23．将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2， 无理数集合：{____________________________…}； 分数集合：{____________________________…}； 正数集合：{____________________________…}； 负整数集合：|____________________________…}． 24．计算：． 25．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 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