2.2 充分条件、必要条件、充要条件（七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课程标准 学习目标 1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2、会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3、会判断、证明充要条件. 4、通过学习，弄清对条件的判断应该归结为． 1、数学抽象: 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 2、逻辑推理: 对命题真假的判断 3、数学运算: 通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 【即学即练1】（2024·高一·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 【即学即练2】（2024·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【即学即练3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【方法技巧与总结】 判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1-1】（2024·高一·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式1-2】（2024·全国·高一假期作业）设：或；：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2024·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：充要条件的判断 【典例2-1】（2024·高一·云南临沧·期末）二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【典例2-2】（2024·高二·重庆北碚·期末）已知p：，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 判断p是q的充要条件，关键是判断及这两个命题是否都成立. 【变式2-1】（2024·高一·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式3-2】（2024·高一·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【典例4-2】（2024·高一·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式4-1】（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【典例5-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式5-1】（2024·高一·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【变式5-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 题型六：充分条件、必要条件的探求 【典例6-1】（2024·高二·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 (1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p. 【变式6-1】（2024·高一·江苏·专题练习）的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·安徽芜湖·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型七：充要条件的证明 【典例7-1】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【典例7-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【方法技巧与总结】 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 【变式7-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 1．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高三·北京房山·期末）“”是“”的（　　）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 5．（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 6．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 7．（2024·高一·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．（2024·高一·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 9．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 11．（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 12．（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 13．（2024·高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 14．（2024·高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课程标准 学习目标 1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2、会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3、会判断、证明充要条件. 4、通过学习，弄清对条件的判断应该归结为． 1、数学抽象: 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 2、逻辑推理: 对命题真假的判断 3、数学运算: 通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 【即学即练1】（2024·高一·河南·期末）已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄， 所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立． 故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件． 故选：C. 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若，， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 【即学即练2】（2024·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【即学即练3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 【解析】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以. 先证充分性:因为，且，所以. 再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知， 对于任意，均有成立的充要条件是. 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 【典例1-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1-1】（2024·高一·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】由题，可得；但由，可得或， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A． 【变式1-2】（2024·全国·高一假期作业）设：或；：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据题意可得，， 易知是的真子集，所以， 因此，是的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-3】（2024·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集； 反之，A是B的真子集，则必有，都有， 故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分条件， 故选：B 题型二：充要条件的判断 【典例2-1】（2024·高一·云南临沧·期末）二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【解析】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 【典例2-2】（2024·高二·重庆北碚·期末）已知p：，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得：，即， 即，所以， 故p是q的充要条件. 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断p是q的充要条件，关键是判断及这两个命题是否都成立. 【变式2-1】（2024·高一·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为方程有一正根和一负根，则有， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：C 【变式2-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】从充分性和必要性两个方面，分和讨论，分别求解证明即可.当 ，时，此时成立， 当，时，此时成立， 即可以推出， 反之，若，则中至少有一个负数， 若均为负数，必然有， 若，则， 因为，则必有， 所以可以推出， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 【变式3-2】（2024·高一·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【典例4-2】（2024·高一·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式4-1】（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 【变式4-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 【典例5-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式5-1】（2024·高一·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【解析】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 题型六：充分条件、必要条件的探求 【典例6-1】（2024·高二·上海松江·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 【典例6-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为，，与无包含关系， 所以不等式的一个必要不充分条件可以是B项. 故选：B. 【方法技巧与总结】 (1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p. 【变式6-1】（2024·高一·江苏·专题练习）的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：是的充要条件.判断错误； 选项B：是的必要条件但不是充分条件.判断正确； 选项C：是的充分不必要条件条件. 判断错误； 选项D：是的既不充分也不必要条件. 判断错误. 故选：B 【变式6-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解 ，解得：， 易见B选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，A正确； C选项中，不可推导出，C错误； D选项中， 不可推导，D错误， 故选：A. 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·安徽芜湖·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意，不等式， ，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是，或. 故选：CD. 题型七：充要条件的证明 【典例7-1】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【典例7-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【解析】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【方法技巧与总结】 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 【变式7-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【解析】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是． 充分性：在△ABC中，若，则不是直角， 假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D， 则由勾股定理得， ， 即，与“”矛盾， 故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立； 必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②， 则由勾股定理得， ， 即，故必要性成立． 故△ABC为锐角三角形的充要条件为． 1．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵ ∴当，时，满足，则 当，时，，则 当，时，，则 当，时，无解 ∴可推出 ∵ ∴当时，，满足 当时，满足 当时，，满足 ∴可推出 综上，“”是“”的充要条件 故选C 2．（2024·高三·北京房山·期末）“”是“”的（　　）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，且， ，即， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C． 3．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 故选：BCD 4．（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 5．（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 【答案】或或或 【解析】一元二次方程有实数根, ，解得， 又，. 故答案为：或或或． 6．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 7．（2024·高一·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 8．（2024·高一·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 9．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）时，， ，故或， 故或； （2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集， ，， 故，解得， 故实数的取值范围是 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）时，，故或， ，或， 故； （2）由题意得是的真子集， 若，则，解得， 若，则或， 解得， 故的取值范围是或 11．（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解析】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 12．（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【解析】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 13．（2024·高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【解析】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 14．（2024·高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【解析】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$