2.1 命题、定理、定义（四大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

2.1 命题、定理、定义 课程标准 学习目标 1、理解命题、定理、定义的概念. 2、会判断命题的真假. 3、能把命题改写成“若p，则q”的形式． 1、数学抽象：命题、定理、定义概念的理解； 2、逻辑推理：命题真假的判断； 3、数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算； 知识点01 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 【即学即练1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【即学即练2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 题型一：命题、定理、定义的概念 【典例1-1】（2024·高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【典例1-2】（2024·高一·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 依据命题的定义判断．若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题． 【变式1-1】（2024·高一·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2024·高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：判断命题的真假 【典例2-1】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【典例2-2】（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行． 【变式2-1】（2024·四川成都·模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（    ） ①一位正在喝酒的男性； ②一位正在喝果汁的女性； ③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性； ④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性． A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 题型三：命题的条件与结论 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【典例3-2】（2024·高一·江苏·假期作业）命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 【方法技巧与总结】 要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论． 【变式3-1】（2024·高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【变式3-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【变式3-3】（2024·高一·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 题型四：根据命题的真假求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【方法技巧与总结】 根据命题的真假求参数，是数学和逻辑中的常见问题。这类问题通常涉及分析命题的结构，确定使命题成立或不成立的条件，进而求解参数。解题关键在于准确理解命题含义，恰当运用逻辑联结词和数学工具，通过代数运算或逻辑推理得出参数的具体值或取值范围。 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 1．（2024·高一·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 2．（2024·高三·江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 3．（2024·高一·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 4．（多选题）（2024·高一·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 5．（多选题）（2024·高一·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 6．（2024·高一·广西南宁·期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 .（格式正确，描述清楚即可） 7．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 9．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 10．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 11．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 命题、定理、定义 课程标准 学习目标 1、理解命题、定理、定义的概念. 2、会判断命题的真假. 3、能把命题改写成“若p，则q”的形式． 1、数学抽象：命题、定理、定义概念的理解； 2、逻辑推理：命题真假的判断； 3、数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算； 知识点01 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 【即学即练1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 知识点02 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【即学即练2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【解析】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 题型一：命题、定理、定义的概念 【典例1-1】（2024·高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【典例1-2】（2024·高一·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【方法技巧与总结】 依据命题的定义判断．若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题． 【变式1-1】（2024·高一·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 【变式1-2】（2024·高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 题型二：判断命题的真假 【典例2-1】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【解析】p为假，q为真, 故选：B 【典例2-2】（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 【方法技巧与总结】 对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行． 【变式2-1】（2024·四川成都·模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（    ） ①一位正在喝酒的男性； ②一位正在喝果汁的女性； ③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性； ④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性． A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【解析】要检验命题，需要保证喝酒的人已经年满20岁，因此需要检测①；同时要保证未满20岁的人没有在喝酒，因此需要检查④． 故选：C． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【解析】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 题型三：命题的条件与结论 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【解析】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 【典例3-2】（2024·高一·江苏·假期作业）命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 【答案】 两个角是对顶角 它们相等 【解析】若两个角是对顶角，则它们相等. 所以命题“对顶角相等”中的条件为两个角是对顶角，结论为它们相等. 故答案为：两个角是对顶角；它们相等 【方法技巧与总结】 要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论． 【变式3-1】（2024·高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【解析】（1），互为相反数． （2），． （3），． 【变式3-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【变式3-3】（2024·高一·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解析】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型四：根据命题的真假求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【解析】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 【方法技巧与总结】 根据命题的真假求参数，是数学和逻辑中的常见问题。这类问题通常涉及分析命题的结构，确定使命题成立或不成立的条件，进而求解参数。解题关键在于准确理解命题含义，恰当运用逻辑联结词和数学工具，通过代数运算或逻辑推理得出参数的具体值或取值范围。 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【解析】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 【变式4-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 1．（2024·高一·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 2．（2024·高三·江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 3．（2024·高一·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【解析】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 4．（多选题）（2024·高一·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【解析】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 5．（多选题）（2024·高一·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当时，，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数， 则C是真命题． 对选项D：由，，得，则，则D是真命题． 故选：ACD. 6．（2024·高一·广西南宁·期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 .（格式正确，描述清楚即可） 【答案】若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分 【解析】命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分， 故答案为：若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分 7．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 8．（2024·高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 9．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 10．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 【解析】（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行； （2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行； （3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数； （4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号； （5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数； （6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等； （7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等； （8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角. 11．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$