第11讲 二元一次方程组的应用（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第11讲 二元一次方程组的应用（3大知识点+15大典例+变式训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型四 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型五 工程问题(二元一次方程组的应用) 题型六 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型七 年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型八 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型十一 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型十二 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型十三 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型十五 三元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 知识点02 基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点03 应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 类型七：里程碑上的数 类型八：年龄问题 【典型例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·云南德宏·期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分． 2． （22-23七年级下·福建厦门·期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了5个大人和3个小孩，共花了56元钱；乙说她家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，丙家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？ 4．（2023·山西大同·模拟预测）“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ 5．（2024七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【典型例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·四川宜宾·阶段练习）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 2．（22-23八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    3．（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米， 题中的两个相等关系： (1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________； (2)小长方形的长____________，可列方程为：____________． 【典型例题三 方案问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 2．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 3．（22-23八年级上·山东济南·期末）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）疫情期间，学校为了学生在班级将生活垃圾和废弃口罩分类丢弃，准备购买A,B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需270元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用80元．求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？学校购买A型垃圾桶8个，B型垃圾桶16个，共花费多少元？ 5．（22-23八年级上·山东济南·期中）为响应济南市政府发出的创文明城市号召，某校八年级班决定拿出一些班费购买鲜花装饰班级，班委会的同学们购买了康乃馨和玫瑰花共朵，其中康乃馨每朵元，玫瑰花每朵元，总共花费元，请问康乃馨和玫瑰花各买了多少朵？ 【典型例题四 行程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·天津河北·期末）列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 2．（22-23七年级下·天津蓟州·阶段练习）一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．那么这条轮船在静水中每小时行多少千米？ 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 4.（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 5．（2024七年级下·天津·专题练习）已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． 【典型例题五 工程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23八年级上·陕西西安·期中）列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 2．（22-23八年级上·山西太原·期末）太原市积极开展“举全市之力，创建文明城市”活动，为年进入全国文明城市行列奠定基础．某小区物业对面积为平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化平方米，乙园林队每天绿化平方米，两队共用天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 4．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 5．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【典型例题六 数字问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 2．（23-24七年级下·甘肃天水·阶段练习）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 3．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 4．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【典型例题七 年龄问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 2．（22-23八年级上·甘肃酒泉·期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 4．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    5．（2023·江苏徐州·中考真题） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄. 【典型例题八 分配问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 2．（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 3．（2024·陕西宝鸡·二模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【典型例题九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）超市开展“端午佳节至，浓浓粽香情”促销活动，蛋黄肉粽打八折，红豆粽打七折．已知购买一盒蛋黄肉粽和一盒红豆粽打折前需120元，打折后需92元．求打折前蛋黄肉粽和红豆粽每盒的价格．（用二元一次方程组解决问题） 2．（23-24七年级下·海南儋州·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型和购买7台B型机器人模型的费用共4600元．求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 3．（2024·云南楚雄·模拟预测）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，昆明市某中学为了丰富学生的课余生活，让学生感受大自然，描绘大自然的美景，计划为学生购买画笔与画板两种写生工具若干套已知购买7盒画笔比购买3个画板多345元，购买3盒画笔比购买9个画板少45元．求每盒画笔和每个画板的价格． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）某地开展“电动自行车以旧换新”活动期间，凡购买甲、乙两种品牌电动自行车的本地居民均可得到该电动自行车售价的财政补贴，小张购买了一台甲品牌电动自行车，小刘购买了一台乙品牌电动自行车，两人一共得到财政补贴480元，又知乙品牌电动自行车售价比甲品牌电动自行车售价多400元． (1)甲、乙品牌电动自行车的售价各是多少元？ (2)小张和小刘购买电动自行车除财政补贴外实际各需付款多少元？ 5．（23-24七年级下·广西南宁·期中）某市化工厂与地有公路、铁路相连，与地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到地．已知公路运价为1.5元，铁路运价为1.2元．且这次运输共支出公路运费16500元，铁路运费96000元． (1)求购进原料与制成的产品各多少吨？ (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【典型例题十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 3．（2023·吉林白城·模拟预测）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳，已知购买2根A型跳组和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需60元，求购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元？ 4．（2024·海南三亚·二模）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 5．（23-24七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 【典型例题十一 几何问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，用10块形状、大小相同的长方形地砖无缝隙无重叠地拼成一个大长方形图案，求长方形地砖的长与宽． 2．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽． 3．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中小长方形的长和宽各是多少？ 4．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 5．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．若大长方形的长和宽分别为和，求小长方形的长和宽． 【典型例题十二 图表信息题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    2．（2023七年级·全国·专题练习）根据图提供的信息，求杯子和茶瓶的价格． 3．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 4．（22-23七年级下·湖南岳阳·阶段练习）为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【典型例题十三 古代问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？ 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 3．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 4．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 5．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【典型例题十四 其他问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）某学校用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是元/盒，元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ 2．（22-23七年级下·广东东莞·期中）某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 3．（2023·安徽·二模）某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润（利润总产值总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？ 4．（22-23七年级下·广东广州·期末）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有型冰墩墩和型雪容融两种商品．已知购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商吕和2个型商品共需要560元，求每个型商品的售价． 5．（2023·辽宁大连·二模）学校组织春游，每人车费4元．下面是一班的班长小明与二班的班长小红的对话． 小明：我们两班共93人． 小红：我们二班比你们一班多交了12元的车费． 根据上面对话，求一班和二班各有多少人． 【典型例题十五 三元一次方程组的应用】 1．（22-23七年级下·山东·阶段练习）现有三箱精装苹果，其中两箱共个苹果，两箱共个苹果，两箱共个苹果，求每箱各有多少个苹果？ 2．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 3．（22-23八年级上·湖南永州·期末）如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等； （1）求a、b、c 的值； （2）判断a+b﹣c的平方根是有理数还是无理数． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，己知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【变式训练1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·四川·期中）列方程组解下列问题： 八年级班共有学生人，其中男生比女生的倍少人，问该班男生、女生各有多少人？ 2．（2023八年级上·全国·专题练习）一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件？ 3．（22-23七年级下·四川内江·期中）营养对促进中学生机体健康具有重要意义．现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： 根据上述信息回答下面的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共　 　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量； （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9，同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 【变式训练2 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 2．（22-23七年级下·山西晋城·期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．    （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　 　，N＝　 　，L＝　 　． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 3．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________         (2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________ (3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________                        【变式训练3 方案问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23九年级下·湖南衡阳·自主招生）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑台，已知甲型号平板电脑进价元；乙型号平板电脑进价元．若该商店购进这台平板电脑恰好用去元，求购进甲、乙两种型号的平板电脑各多少台？ 2．（22-23七年级上·辽宁盘锦·期末）在2022年冬奥会的开幕式上，其武校的健儿们参演的《立春》节目让全世界人民惊艳和动容．经调查发现：原计划调配若干辆客车接送健儿们，每辆车满载坐55人，则有8人没有座位，若更换车型，每辆车满载坐44人，则用车数量将比原计划增加两辆，且最后一辆车空出3个座位，求一共参演的健儿们有多少名？原计划调配多少辆车？ 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况： 免洗手消毒液 84消毒液 总花费 第一次购买 40瓶 90瓶 1320 第二次购买 60瓶 120瓶 1860 求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ 【变式训练4 行程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·四川资阳·阶段练习）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？ 2．（2023七年级下·全国·专题练习）甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？ 3．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：        乙： (1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组； (2)求这个人在公路上驱车行驶的时间． 【变式训练5 工程问题(二元一次方程组的应用)】 1． （2023·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 2．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？ 3．（22-23八年级上·辽宁锦州·期末）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题： 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建的村路，甲队每天修建，乙队每天修建，共用18天完成． （1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了个不完整的二元一次方程组张红列出的这个不完整的方程组中未知数表示的是______，未知数表示的是_________；张红所列出正确的方程组应该是__________； （2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ 【变式训练6 数字问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的多15，求这个两位数． 2．（22-23八年级上·广东深圳·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【变式训练7 年龄问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 3．（22-23七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【变式训练8 分配问题(二元一次方程组的应用)】 1． （22-23七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 2．（22-23七年级下·吉林·期中）2022北京冬奥会期间，大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配40座新能源客车若干辆，则有8人没有座位；若只调配25座新能源客车，则用车数量将增加3辆，并空出7个座位．计划调配40座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）2021月9月以来，我省闽南地区疫情操发．“一方有难，八方支援”，福州市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区．具体运输情况如下： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 4 8 B型货车的辆数（单位：辆） 5 3 累计运输物资的吨数（单位：吨） 52 76 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)福州市第三批又联系了3辆A种型号货车，9辆B型号货车，所有车辆均满载的情况下．问第三批共能运多少吨的生活物资？ 【变式训练9 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024·海南省直辖县级单位·一模）时下正是定安县水果采摘的季节，王先生带着全家去踏青采摘“潭黎圣女果”和“谭榄洋蓝莓”，若采摘2盒圣女果和1盒蓝莓需付40元，若采摘1盒圣女果和3盒蓝莓需付70元．请问这两种水果每盒各是多少元？ 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元． (1)求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）某文具店用280元购进，两种钢笔，按标价售出后可获得总利润100元，这两种钢笔的进价，标价如表所示 类型 进价（元/支） 8 10 标价（元/支） 10 14 (1)求这两种钢笔各购进的件数； (2)如果种钢笔按标价的9折出售，种钢笔按标价的折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？ 【变式训练10 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 1． （2023·陕西西安·模拟预测）把一根长的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少，那么锯出的两段木棍的长度分别为多少？ 2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某地为进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款46560元购进A，B两种型号的播种机共30台，A种型号的播种机的单价为1600元，B种型号的播种机的单价为1480元，问购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的、两种书籍．若购买2本种书籍和3本种书籍需用160元；若购买6本种书籍与购买7本种书籍的费用相同．求每本种书籍和每本种书籍的价格各为多少元． 【变式训练11 几何问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，用8块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一块长方形地面，且，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽． 2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，求每个小长方形的面积．      图1                        图2 3．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【变式训练12 图表信息题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 2．（22-23七年级上·安徽淮北·期末）根据如图所示给出的信息，求每支钢笔和每支铅笔的价格． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期中）如图，九宫格中填写了一些代数式和数，在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等． 3 -3 2 （1）请你求出，的值； （2）填写九宫格中的另外三个数字． 【变式训练13 古代问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·广东湛江·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．若设兽有个，鸟有只，则兽、鸟各有多少？ 2．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？ 3．（2023·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？ (1)求甲、乙两人各带的钱数； (2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？ 【变式训练14 其他问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）2023年12月18日甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，灾情严重，厦门救援队为甘肃地震灾区捐款捐物，在得知灾区急需帐篷后，立刻到一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．厦门救援队花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住．求厦门救援队采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住的大帐篷． 2．（2024·安徽芜湖·二模）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 4 1 共计（本） 265 110 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）上海迪士尼乐园于2016年6月16日正式开园，它是中国大陆第一个、亚洲第三个，世界第六个迪士尼主题公园．已知上海迪士尼乐园成人门票为370元人，儿童门票为280元人，2017年寒假期间，家住上海的张明和家人（有成人和儿童）一同去该乐园游玩．若张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元． (1)求张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； (2)若张明和家人去上海迪士尼乐园的当天，正好有个优惠活动，每位儿童的门票可以优惠20元，求他们共需支付的门票的费用． 【变式训练15 三元一次方程组的应用】 1．（22-23七年级下·全国·单元测试）在等式中，当时，；当时，；当时，，求这个等式中a、b、c的值． 2．（22-23八年级上·广东深圳·期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 3．（22-23七年级下·全国·假期作业）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二元一次方程组的应用（3大知识点+15大典例+变式训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型四 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型五 工程问题(二元一次方程组的应用) 题型六 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型七 年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型八 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型十一 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型十二 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型十三 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 题型十五 三元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 知识点02 基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点03 应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 类型七：里程碑上的数 类型八：年龄问题 【典型例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·云南德宏·期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分． 【答案】答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 【分析】设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分．根据A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解． 【详解】解：设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分． 据题意得： 解这个方程组得 答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出二元一次方程组． 2．（22-23七年级下·福建厦门·期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 【答案】共7人合伙购物，物价是53钱 【详解】设物价为x钱，人数为y人，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又会差4钱，”列出方程组，即可求解． 解：设共人合伙购物，物价是钱， 依题意得：， 解得：． 答：共7人合伙购物，物价是53钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了5个大人和3个小孩，共花了56元钱；乙说她家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，丙家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？ 【答案】34元 【分析】设成人票x元/张，儿童票y元/张，利用总价=.单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x + 2y）中即可求出结论． 【详解】解：设大人门票为x元/张，小孩门票为y元/张， 由题意，得： ， 解得：， ∴． 答：丙家计划去3个大人和2个小孩，需要34元的门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2023·山西大同·模拟预测）“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜，能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．年某农科所种植谷子亩进行“冬播夏收”技术与传统技术对比试验，共收获谷子千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均每亩产量比采用传统技术种植的谷子多，现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为千克，请问该农科所采用传统技术和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ 【答案】采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩 【分析】根据题意设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩，根据种植亩数，产量列方程组求解即可． 【详解】解：设该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩， 由题意得：， 解得：， ∴该农科所采用传统技术种植谷子亩，“冬播夏收”技术种植谷子亩． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与实际问题的运用，理解题意中的数量关系列方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】(1) (2)总费用为20元 【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组是解决问题的关键．总费用由里程费和耗时费组成，根据小明和小刚打车的费用表格，可以列出两个关于，的等式组成二元一次方程组，解这个方程组即可求出、的值． （2）第一问已求得里程费和耗时费的单价、，根据小华打车的里程和耗时分别乘以单价得到里程费与耗时费，两者之和即是打车总费用． 【详解】（1）解：根据题意得方程组 解方程组得 （2）解： 小华的里程数是12公里，时间为16分钟． 总费用是：（元）． 答：总费用是20元． 【典型例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·四川宜宾·阶段练习）（1）写出一个解为的二元一次方程组； （2）以（1）中所写的二元一次方程组，编一道生活中的实际问题，并设出未知数． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）直接把，的值相加或相减即可得到方程组； （2）先设定长方形长为xcm，宽为ycm，再根据数据构建问题即可． 【详解】解：（1）解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一） （2）小明画了一个长方形，他发现长与宽的和是7cm，长比宽多1cm，请问长方形的长和宽各是多少厘米？设长为xcm，宽为ycm．（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，二元一次方程组的应用，灵活应用未知数的含义构建方程是解本题的关键． 2．（22-23八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 4．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米， 题中的两个相等关系： (1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________； (2)小长方形的长____________，可列方程为：____________． 【答案】(1)小长方形的一个宽；； (2)小长方形的宽；． 【分析】（1）观察图形可知，小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽，即可列出方程； （2）观察图形可知，小长方形的长小长方形的宽，即可列出方程． 【详解】（1）解：小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽； 可列方程为：， 故答案为：小长方形的一个宽；； （2）解：小长方形的长小长方形的宽， 可列方程为：， 故答案为：小长方形的宽；． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，从图形中找出等量关系是解题关键． 【典型例题三 方案问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 【答案】A商品30千克，B商品50千克 【分析】设A商品x千克，B商品y千克，根据数量关系列出二元一次方程组 求解即可. 【详解】解：设A商品x千克，B商品y千克. 由题意得解得 答：A商品30千克，B商品50千克. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，分析题意，找等量关系，列出方程是方程解决实际问题的关键. 2．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 【答案】购买全价票张，半价票张． 【分析】可设购买全价票张，半价票张，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：购买全价票张，半价票张，根据题意得： 解得： 答：购买全价票张，半价票张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设出变量，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（22-23八年级上·山东济南·期末）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件 (2)188元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件， 由题意可列方程： ， 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件． （2）由题意得：（元）， 答：总费用为188元． 【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）疫情期间，学校为了学生在班级将生活垃圾和废弃口罩分类丢弃，准备购买A,B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需270元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用80元．求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？学校购买A型垃圾桶8个，B型垃圾桶16个，共花费多少元？ 【答案】A型垃圾桶50元，B型垃圾桶60元；共需花费1360元． 【分析】设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需270元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用80元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，即可求解. 【详解】解：设A型垃圾箱每个x元，B型垃圾箱每个y元,依题意列方程组得： ， 解之得：， 故A型垃圾桶每个50元，B型垃圾桶每个60元； 学校购买A型垃圾桶8个，B型垃圾桶16个，共花费8×50+16×60=1360元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组是解题的关键. 5．（22-23八年级上·山东济南·期中）为响应济南市政府发出的创文明城市号召，某校八年级班决定拿出一些班费购买鲜花装饰班级，班委会的同学们购买了康乃馨和玫瑰花共朵，其中康乃馨每朵元，玫瑰花每朵元，总共花费元，请问康乃馨和玫瑰花各买了多少朵？ 【答案】康乃馨、玫瑰花各购买了12朵和8朵 【分析】购买康乃馨朵，玫瑰花朵，根据题意列出和的二元一次方程组，解方程组求出和的值即可． 【详解】设购买康乃馨朵，玫瑰花朵， 依题意得：， 解得：， 答：康乃馨、玫瑰花各购买了12朵和8朵． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【典型例题四 行程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·天津河北·期末）列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时 【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距6千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ，解得：， 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 2．（22-23七年级下·天津蓟州·阶段练习）一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．那么这条轮船在静水中每小时行多少千米？ 【答案】这条轮船在静水中每小时行18千米． 【分析】由题意可知，本题中的等量关系是“顺水速度”和“逆水速度”，根据船速+水速=顺流速度，船速-水速=逆流速度列方程组求解即可． 【详解】解：设这条轮船在静水中每小时行x千米，水流的速度是y千米/小时． 则 解得 答：这条轮船在静水中每小时行18千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 【答案】小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可． 【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时． ， 解得： 答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时． 5．（2024七年级下·天津·专题练习）已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． 【答案】此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时 【分析】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度水流速度顺水速度，静水速度水流速度逆流速度”这一关系式也必须掌握． 本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解． 【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得： ， 解得：． 答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时． 【典型例题五 工程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23八年级上·陕西西安·期中）列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【答案】该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个． 【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可; 【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x个,y个,由题意得: 解得 答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键． 2．（22-23八年级上·山西太原·期末）太原市积极开展“举全市之力，创建文明城市”活动，为年进入全国文明城市行列奠定基础．某小区物业对面积为平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化平方米，乙园林队每天绿化平方米，两队共用天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了天，乙园林队工作了天． 【分析】设甲园林队工作了天，乙园林队工作了天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解，得， 答：甲园林队工作了天，乙园林队工作了天． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 【答案】甲每天做零件90个，乙每天做零件30个 【分析】分析已知和所求，可设甲、乙两人每天各做x、y个机器零件，根据甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成，可得方程；由乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成可得． 解两个方程组成的方程组，即得甲、乙两人每天各做的机器零件数． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用，根据题意正确的列出方程组是解题的关键． 【详解】设甲每天做零件个，乙每天做零件个．根据题意，得 ， 解得． 答：甲每天做零件90个，乙每天做零件30个． 4．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 5．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【典型例题六 数字问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 2．（23-24七年级下·甘肃天水·阶段练习）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 3．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 【答案】原两位数是35． 【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字． 4．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【典型例题七 年龄问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 2．（22-23八年级上·甘肃酒泉·期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 5．（2023·江苏徐州·中考真题） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄. 【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁， 根据题意得： 解得： ． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【典型例题八 分配问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 【答案】分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架，根据题意列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架， 由题意，得，解得， 答：分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架． 2．（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【答案】应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，根据题意抽象出两个二元一次方程，再求解是解题关键．设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件， 由题意，得：， 解得：． 答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 3．（2024·陕西宝鸡·二模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【答案】参加此次研学活动的师生共有600人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆， 根据题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生共有600人． 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【典型例题九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）超市开展“端午佳节至，浓浓粽香情”促销活动，蛋黄肉粽打八折，红豆粽打七折．已知购买一盒蛋黄肉粽和一盒红豆粽打折前需120元，打折后需92元．求打折前蛋黄肉粽和红豆粽每盒的价格．（用二元一次方程组解决问题） 【答案】打折前蛋黄肉粽的单价为80元/盒，红豆粽的单价为40元/盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设打折前蛋黄肉粽的单价为元，红豆粽每盒的单价为元，根据购买一盒蛋黄肉粽和一盒红豆粽打折前需120元，打折后需92元．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设打折前蛋黄肉粽的单价为x元/盒，红豆粽的单价为y元/盒． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：打折前蛋黄肉粽的单价为80元/盒，红豆粽的单价为40元/盒． 2．（23-24七年级下·海南儋州·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型和购买7台B型机器人模型的费用共4600元．求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 【答案】型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．根据型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台A型机器人模型和购买7台B型机器人模型的费用共4600元．列出方程组，求解即可． 【详解】解：设型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元， 由题意，， 解得， 答：型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元． 3．（2024·云南楚雄·模拟预测）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，昆明市某中学为了丰富学生的课余生活，让学生感受大自然，描绘大自然的美景，计划为学生购买画笔与画板两种写生工具若干套已知购买7盒画笔比购买3个画板多345元，购买3盒画笔比购买9个画板少45元．求每盒画笔和每个画板的价格． 【答案】每盒画笔的价格为60元，每个画板的价格为25元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设每盒画笔的价格为x元，每个画板的价格为y元．根据购买7盒画笔比购买3个画板多345元，购买3盒画笔比购买9个画板少45元．再建立方程组解题即可． 【详解】解：设每盒画笔的价格为x元，每个画板的价格为y元． 根据题意，得， 解得， 答：每盒画笔的价格为60元，每个画板的价格为25元． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）某地开展“电动自行车以旧换新”活动期间，凡购买甲、乙两种品牌电动自行车的本地居民均可得到该电动自行车售价的财政补贴，小张购买了一台甲品牌电动自行车，小刘购买了一台乙品牌电动自行车，两人一共得到财政补贴480元，又知乙品牌电动自行车售价比甲品牌电动自行车售价多400元． (1)甲、乙品牌电动自行车的售价各是多少元？ (2)小张和小刘购买电动自行车除财政补贴外实际各需付款多少元？ 【答案】(1)甲、乙品牌电动自行车的售价分别为2200元和2600元 (2)小张购买甲品牌电动自行车除财政补贴外实际付款1980元，小刘购买乙品牌电动自行车除财政补贴外实际付款2340元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）可根据：两人一共得到财政补贴480元；又知乙品牌电动自行车售价比甲品牌电动自行车售价多400元来列出方程组求解． （2）根据（1）得出甲、乙品牌电动自行车的售价根据补贴的规定来求出两人实际的付款额． 【详解】（1）解：设甲品牌电动自行车的售价为x元，乙品牌电动自行车的售价为y元， 根据题意，得， 解得， 所以甲、乙品牌电动自行车的售价分别为2200元和2600元； （2）（元）， （元） 所以小张购买甲品牌电动自行车除财政补贴外实际付款1980元，小刘购买乙品牌电动自行车除财政补贴外实际付款2340元． 5．（23-24七年级下·广西南宁·期中）某市化工厂与地有公路、铁路相连，与地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到地．已知公路运价为1.5元，铁路运价为1.2元．且这次运输共支出公路运费16500元，铁路运费96000元． (1)求购进原料与制成的产品各多少吨？ (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】(1)400吨，300吨 (2)887500元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用． （1）设购进原料吨，制成产品吨，依题列出方程组求解即可； （2）题目求解即为销售款减去原料费减去运输费即可． 【详解】（1）解：设购进原料吨，制成产品吨，依题得 解得 答：购进原料400吨，制成产品300吨； （2）依题得（元） 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多887500元． 【典型例题十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 【答案】安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出题目中的数量关系、列出方程组是解题的关键． 设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元，根据“安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元”列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元， 根据题意得：，解得：． 答：安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元． 3．（2023·吉林白城·模拟预测）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳，已知购买2根A型跳组和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需60元，求购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元？ 【答案】购买1根A型跳绳需要10元，1根B型跳绳需要15元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设购买1根A型跳绳需要x元，1根B型跳绳需要y元，根据购买2根A型跳组和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需60元列出方程组求解即可． 【详解】解：设购买1根A型跳绳需要x元，1根B型跳绳需要y元， 由题意，得， 解得， 答：购买1根A型跳绳需要10元，1根B型跳绳需要15元． 4．（2024·海南三亚·二模）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． 5．（23-24七年级下·北京西城·期中）列方程（组）解应用题 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？ 【答案】造型3的成本是22元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可． 【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：造型3的成本是22元． 【典型例题十一 几何问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，用10块形状、大小相同的长方形地砖无缝隙无重叠地拼成一个大长方形图案，求长方形地砖的长与宽． 【答案】长方形地砖的长为20厘米，宽为5厘米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 先设长方形地砖的长为厘米，宽为厘米，然后根据图形，即可列出相应的方程组，再求解即可． 【详解】解：设长方形地砖的长为厘米，宽为厘米， 由图可得：， 解得， 答：长方形地砖的长为20厘米，宽为5厘米． 2．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽． 【答案】小长方形长为8，宽为3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形长为x，宽为y，根据长加宽的3倍等于17，长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为x，宽为y， 由题意得，， 解得：， 答：小长方形长为8，宽为3． 3．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】图中小长方形的长和宽各是、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， 答：图中小长方形的长和宽各是、． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 5．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．若大长方形的长和宽分别为和，求小长方形的长和宽． 【答案】长米，宽5米 【分析】本题考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，能够在图形中找到隐含等量关系式是解决问题的关键．设小长方形的长和宽分别为x米、y米，根据图形中隐含的等量关系列出方程组并解之即可得解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x米、y米， 根据图形可得，， 解得：． 故小长方形的长和宽分别为米，5米． 【典型例题十二 图表信息题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（2023七年级·全国·专题练习）根据图提供的信息，求杯子和茶瓶的价格． 【答案】杯子8元，茶瓶35元 【分析】设茶瓶每个元，杯子每个元，结合1个茶瓶，2个杯子共51元，2个茶瓶，3个杯子共94元，再列方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设茶瓶每个元，杯子每个元，则 ②①得：③ ①③得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为；， 答：杯子每个8元，茶瓶每个35元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据图片信息确定相等关系是解本题的关键． 3．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（22-23七年级下·湖南岳阳·阶段练习）为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 (1)求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ (2)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 【答案】(1)基本价为2元，市场价为元 (2)70元 【分析】（1）设每吨水的基本价为元，市场价为元，根据小明家3、4月份的用水量及收费费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据应交水费基本价月份用水量市场价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每吨水的基本价为元，市场价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每吨水的基本价为2元，市场价为元． （2）（元）． 答：他家应交水费70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用；（2）根据数量关系，列式计算． 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 【典型例题十三 古代问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？ 【答案】该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克，根据“唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克”列方程组求解即可． 【详解】解：设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克， 根据题意可得： 解得： 答：该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 【答案】购买清酒2斗，醑酒3斗 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设购买清酒x斗，醑酒y斗，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设购买清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得： 解得： 答：购买清酒2斗，醑酒3斗． 3．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可． 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． 5．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 【典型例题十四 其他问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）某学校用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，免费发放给全校师生，甲，乙两种口罩的售价分别是元/盒，元/盒，求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ 【答案】甲种口罩盒，购进乙种口罩盒 【分析】设学校购进甲种口罩盒，购进乙种口罩盒，根据学校元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出答案． 【详解】解：设学校购进甲种口罩盒，购进乙种口罩盒， ∴，解得，， ∴学校购进甲种口罩盒，购进乙种口罩盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广东东莞·期中）某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 【答案】每台电脑万元，每台电子白板万元 【分析】设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意可得： ，解得，， ∴每台电脑万元，每台电子白板万元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 3．（2023·安徽·二模）某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润（利润总产值总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？ 【答案】总产值，总支出分别是720万元和320万元 【分析】设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元，根据题意列二元一次方程组解题即可． 【详解】解：设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元， 则， 解得：， ∴今年的总产值为：万元， 总支出为万元， 答：今年的总产值，总支出分别是720万元和320万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量列方程组是解题的关键． 4．（22-23七年级下·广东广州·期末）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有型冰墩墩和型雪容融两种商品．已知购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商吕和2个型商品共需要560元，求每个型商品的售价． 【答案】120元 【分析】设每个型商品的售价是元，每个型商品的售价是元，根据购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商吕和2个型商品共需要560元即可列出二元一次方程组，解之可得出结论． 【详解】解：设每个型商品的售价是元，每个型商品的售价是元， 依题意得：， 解得：； 答：每个型商品的售价是120元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 5．（2023·辽宁大连·二模）学校组织春游，每人车费4元．下面是一班的班长小明与二班的班长小红的对话． 小明：我们两班共93人． 小红：我们二班比你们一班多交了12元的车费． 根据上面对话，求一班和二班各有多少人． 【答案】一班45人，二班48人 【分析】设一班x人，二班y人，根据“两班共93人”和“二班比你们一班多交了12元的车费．”列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设一班x人，二班y人， 则 ， 解得：， 即一班45人，二班48人． 答：一班45人，二班48人． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【典型例题十五 三元一次方程组的应用】 1．（22-23七年级下·山东·阶段练习）现有三箱精装苹果，其中两箱共个苹果，两箱共个苹果，两箱共个苹果，求每箱各有多少个苹果？ 【答案】A箱有48个，B箱有52个，C箱有54个 【分析】可以列三元一次方程组来求解，设A箱有x个苹果，B箱有y个苹果，C箱有z个苹果，三句话可以列三个等式，解出三元一次方程组即可 【详解】解：设A有x个，B有y个，C有z个，依题意可得：    解得 故答案为A箱有48个苹果，B箱有52个苹果，C箱有54个苹果. 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，会根据题目给出的信息找出等量关系是关键. 2．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【答案】甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解． 首先假设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，，根据选手中甲乙两校共16名；乙丙两校共20名；丙丁两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按甲、乙、丙、丁中学的顺序选派的，得到．进而判断出的取值，根据方程组依次得到、、的值． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有， 甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 3．（22-23八年级上·湖南永州·期末）如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等； （1）求a、b、c 的值； （2）判断a+b﹣c的平方根是有理数还是无理数． 【答案】（1）a=3，b=1，c=±2；（2）无理数． 【分析】（1）根据正方体相对两面的代数式的值相等可列出方程组，从而解出即可得出答案． （2）根据（1）的结果，将各组数据分别代入可判断出结果． 【详解】（1）依题意，得  ， 由 ①、②得方程组：， 解得：， 由③得：c=±2， ∴a=3，b=1，c=±2． （2）当a=3，b=1，c=﹣2 时 a+b﹣c=3+1+2=6， a=3，b=1，c=2时 a+b﹣c=3+1﹣2=2． ∵和都是无理数， ∴a+b﹣c的平方根是无理数． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，对于本题来说，正确的列出并解出三元一次方程组是关键，注意第二问要在第一问的基础上进行． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 【答案】每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 5．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，己知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【变式训练1 根据实际问题列二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·四川·期中）列方程组解下列问题： 八年级班共有学生人，其中男生比女生的倍少人，问该班男生、女生各有多少人？ 【答案】男生有人，女生有人 【分析】根据八年级班共有学生人，其中男生比女生的倍少人，两个等量关系，即可列出方程，求出结果． 【详解】设男生有人，女生有人， 根据题意得： ， 解得． 答：男生有人，女生有人． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组应用，准确找出等量关系是解题关键． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件？ 【答案】甲每天做50个，乙每天做30个 【分析】设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，根据题意列出方程组，最后解答． 【详解】解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个． 【点睛】本题主要考查对于二元一次方程组的应用，要注意找好题中的等量关系． 3．（22-23七年级下·四川内江·期中）营养对促进中学生机体健康具有重要意义．现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： 根据上述信息回答下面的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共　 　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量； （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质＝8：1：9，同时三者含量为总质量的90%．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 【答案】（1）150；（2）这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克；（3）不符合，符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 【分析】(1)总质量乘以百分率即可得结果； (2)设矿物质质量为x克，则蛋白质质量为3x克，脂肪质量为y克，列方程组可解； (3)分别计算出碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量，计算它们的比值，看是否符合“理想比”；再按理想比计算出脂肪、矿物质的质量即可． 【详解】(1)300×50%=150(克) 故答案为：150； (2)设矿物质质量为x克，则蛋白质质量为3x克，脂肪质量为y克，由题意得 ， 解得：， 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克； (3)碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量分别为：120克，60克，90克 ∴碳水化合物：脂肪：蛋白质=4：2：3，不符合理想比． 300×90%=270(克) 270÷(8+9+1)=15(克) 300×(1﹣90%)=30(克) 答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 【点睛】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【变式训练2 根据几何图形列二元一次方程组】 1．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 2．（22-23七年级下·山西晋城·期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．    （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　 　，N＝　 　，L＝　 　． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 【答案】（1）7，3，10；（2）①；②11 【分析】（1）将多边形DEFGHI拆分为直角三角形DEF，直角三角形DFI与正方形FGHI可求面积，再数出格点数即可； （2）①将条件中的S＝2，N＝0，L＝6，以及（1）中所得的数据代入S＝aN+bL﹣1，建立方程组求解；②将N＝5，L＝14代入①中所得的关系式求解． 【详解】解：（1）观察图形，可得N＝3，L＝10， 故答案为：7，3，10； （2）①根据题意得： 解得： ②∵S＝N+L﹣1， ∴将N＝5，L＝14代入可得S＝5+14×﹣1＝11． 【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键． 3．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________         (2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________ (3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________                        【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ， 【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可. （2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可. （3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可. 【详解】(1)设A的边长为x，B的边长为y，则 ①+②得：2x=11 x=5.5 即A和B的面积之和为36.5. （2） 解得：x=, y= A、B面积之和= = (3)= 由题意得： 解得： 【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键. 【变式训练3 方案问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23九年级下·湖南衡阳·自主招生）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑台，已知甲型号平板电脑进价元；乙型号平板电脑进价元．若该商店购进这台平板电脑恰好用去元，求购进甲、乙两种型号的平板电脑各多少台？ 【答案】购进甲型号平板电脑台，乙型号平板电脑台； 【分析】设购进甲型号平板电脑x台，乙型号平板电脑y台，利用总价=单价×数量，结合购进这台平板电脑恰好用去元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设购进甲型号平板电脑台，乙型号平板电脑台，依题意得：， 解得：． 答：购进甲型号平板电脑台，乙型号平板电脑台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系． 2．（22-23七年级上·辽宁盘锦·期末）在2022年冬奥会的开幕式上，其武校的健儿们参演的《立春》节目让全世界人民惊艳和动容．经调查发现：原计划调配若干辆客车接送健儿们，每辆车满载坐55人，则有8人没有座位，若更换车型，每辆车满载坐44人，则用车数量将比原计划增加两辆，且最后一辆车空出3个座位，求一共参演的健儿们有多少名？原计划调配多少辆车？ 【答案】一共参演的健儿们有393名，原计划调配客车7辆． 【分析】设参演的健儿们共x人，原计划调配55座客车y辆．根据题意可列出方程组，解出x、y即可． 【详解】解：设参演的健儿们共x人，原计划租用55座客车y辆． 根据题意，得， 解得， 答：一共参演的健儿们有393名，原计划调配客车7辆． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况： 免洗手消毒液 84消毒液 总花费 第一次购买 40瓶 90瓶 1320 第二次购买 60瓶 120瓶 1860 求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？ 【答案】每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元 【分析】 设每瓶免洗手消毒液的价格是元，每瓶84消毒液的价格是元，根据总价单价数量，结合两次购买的数量及总花费，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】 解：设每瓶免洗手消毒液的价格是元，每瓶84消毒液的价格是元， 依题意得：， 解得：． 答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系列出方程组． 【变式训练4 行程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·四川资阳·阶段练习）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？ 【答案】1536千米 【分析】设两码头之间的距离为千米，货轮的速度为千米小时，根据逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，列方程组求解． 【详解】解：设两码头之间的距离为千米，货轮在静水中的速度为千米小时， 由题意得，， 解得：． 答：两码头之间的距离为1536千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 2．（2023七年级下·全国·专题练习）甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【答案】甲的速度是千米每小时，乙的速度是千米每小时． 【分析】设甲的速度是千米时，乙速度是千米时，根据甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2小时相遇可列方程求解． 【详解】解：设甲的速度是千米时，乙速度是千米时， 依题意得：， 解得：， 答：甲的速度是千米每小时，乙的速度是千米每小时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是设出甲、乙的速度，以路程作为等量关系列方程求解． 3．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：        乙： (1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组； (2)求这个人在公路上驱车行驶的时间． 【答案】(1)见解析 (2)这个人在公路上驱车行驶的时间为． 【分析】（1）甲设公路长，市区道路长，根据题意列出方程组；乙设公路行驶，市区道路行驶，根据题意列出方程组即可； （2）设公路行驶，市区道路行驶，列出二元一次方程组，解之即可． 【详解】（1）解：甲设公路长，市区道路长， 根据题意得； 乙设公路行驶，市区道路行驶， 根据题意得； （2）解：设公路行驶，市区道路行驶， 根据题意得， ①②得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴， 答：这个人在公路上驱车行驶的时间为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 【变式训练5 工程问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得， 解得， 答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 2．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？ 【答案】甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元． 【分析】根据“两个公司合作需6天完成，共需费用9.6万元；甲单独做2天，乙还需8天才能完成，共需费用9.2万元．”作为等量关系，设甲、乙两个装饰公司每天分别收取x万元、y万元，则可得关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲装饰公司平均每天收取万元，乙装饰公司平均每天收取万元． ， 解得． 答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（22-23八年级上·辽宁锦州·期末）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题： 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建的村路，甲队每天修建，乙队每天修建，共用18天完成． （1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了个不完整的二元一次方程组张红列出的这个不完整的方程组中未知数表示的是______，未知数表示的是_________；张红所列出正确的方程组应该是__________； （2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ 【答案】（1）甲（工程）队修建的天数；乙（工程）队修建的天数；；（2）甲队修建了12天，乙队修建了6天． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可得方程组为，然后进行求解方程组即可． 【详解】（1）由题意得： 未知数p表示的是甲（工程）队修建的天数， 未知数q表示的是乙（工程）队修建的天数， ， 故答案为：甲（工程）队修建的天数，乙（工程）队修建的天数，； （2）设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路，根据题意，得： ， 解得， 所以，甲队修建的天数（天）， 乙队修建的天数（天）． 答：甲队修建了12天，乙队修建了6天． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确建立方程组和熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【变式训练6 数字问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的多15，求这个两位数． 【答案】63 【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意列二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得， 解得：， ∴这个两位数为63． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（22-23八年级上·广东深圳·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 【答案】这个两位数为36 【分析】设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，然后根据题意可直接列方程组进行求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，由题意得： ， 解得：， ∴这个两位数为36． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 【变式训练7 年龄问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·安徽芜湖·一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 3．（22-23七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【变式训练8 分配问题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 【答案】用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张 【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料=10；②4×桌面个数=桌腿个数．据此可列方程组求解． 【详解】解：设用x立方米的木料做桌面，y立方米的木料做桌腿，即做桌面50x个，做桌腿300y条，此时恰好能配成方桌50x张，根据题意得 解得 则能配成方桌（张） 故用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系． 2．（22-23七年级下·吉林·期中）2022北京冬奥会期间，大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配40座新能源客车若干辆，则有8人没有座位；若只调配25座新能源客车，则用车数量将增加3辆，并空出7个座位．计划调配40座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ 【答案】计划调配40座新能源客车4辆，该大学共有168名志愿者 【分析】设计划调配40座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，列出二元一次方程组，解出未知数即可． 【详解】解：设计划调配40座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者， 由题意得： 解得： 答：计划调配40座新能源客车4辆，该大学共有168名志愿者． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 3．（22-23七年级下·福建福州·期中）2021月9月以来，我省闽南地区疫情操发．“一方有难，八方支援”，福州市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区．具体运输情况如下： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 4 8 B型货车的辆数（单位：辆） 5 3 累计运输物资的吨数（单位：吨） 52 76 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)福州市第三批又联系了3辆A种型号货车，9辆B型号货车，所有车辆均满载的情况下．问第三批共能运多少吨的生活物资？ 【答案】(1)8，4 (2)60 【分析】（1）设A型货车每辆装载x吨，B型货车每辆装载y吨，列出方程，求解即可； （2）根据第一问的结论，结合第二问的数据即可求出答案． 【详解】（1）解：设A型货车每辆装载x吨，B型货车每辆装载y吨， 根据题意，列出方程：， 解得， 答：A型货车每辆装载8吨，B型货车每辆装载4吨； （2）3辆A种型号货车，9辆B型号货车均满载， 则3×8＋9×4=60吨， 答：第三批共能运60吨生活物资． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理清题意，列出方程组是解题的关键． 【变式训练9 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2024·海南省直辖县级单位·一模）时下正是定安县水果采摘的季节，王先生带着全家去踏青采摘“潭黎圣女果”和“谭榄洋蓝莓”，若采摘2盒圣女果和1盒蓝莓需付40元，若采摘1盒圣女果和3盒蓝莓需付70元．请问这两种水果每盒各是多少元？ 【答案】“潭黎圣女果”每盒10元，“谭榄洋蓝莓”每盒20元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设“潭黎圣女果”每盒x元，“谭榄洋蓝莓”每盒y元，由题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设“潭黎圣女果”每盒x元，“谭榄洋蓝莓”每盒y元 由题意得： 解得 答：“潭黎圣女果”每盒10元，“谭榄洋蓝莓”每盒20元． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元． (1)求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元； (2)①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型； ②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型； ③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意， 得， ， ，b均为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 所有购买方案如下： ①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型； ②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型； ③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型． 3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）某文具店用280元购进，两种钢笔，按标价售出后可获得总利润100元，这两种钢笔的进价，标价如表所示 类型 进价（元/支） 8 10 标价（元/支） 10 14 (1)求这两种钢笔各购进的件数； (2)如果种钢笔按标价的9折出售，种钢笔按标价的折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)A型钢笔支，购进B型钢笔支 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设购进A型钢笔x支，购进B型钢笔y支，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论列出算式进行计算即可求解． 【详解】（1）(1)解：设购进A型钢笔x支，购进B型钢笔y支，根据题意得： ，解得：， 答：设购进A型钢笔支，购进B型钢笔支． （2）解：元)， 答：文具店比标价出售少收入元． 【变式训练10 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）把一根长的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少，那么锯出的两段木棍的长度分别为多少？ 【答案】、 【分析】设较短的一段长为，较长的一段长为 ，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设较短的一段长为，较长的一段长为， 由题意得：或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：锯出的两段木棍的长度分别为、． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某地为进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款46560元购进A，B两种型号的播种机共30台，A种型号的播种机的单价为1600元，B种型号的播种机的单价为1480元，问购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 【答案】A，B两种型号的播种机分别为18台，12台 【分析】设购进A，B两种型号的播种机分别为x台，y台，根据A，B两种型号的播种机共30台，A，B两种型号的播种机共花费46560元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设购进A，B两种型号的播种机分别为x台，y台，根据题意得： ， 解得：， 答：A，B两种型号的播种机分别为18台，12台． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算． 3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的、两种书籍．若购买2本种书籍和3本种书籍需用160元；若购买6本种书籍与购买7本种书籍的费用相同．求每本种书籍和每本种书籍的价格各为多少元． 【答案】每本种书籍的价格为35元，每本种书籍的价格为30元 【分析】设每本种书籍的价格为元，每本种书籍的价格为元，根据购买2本种书籍和3本种书籍需用160元；若购买6本种书籍与购买7本种书籍的费用相同，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设每本种书籍的价格为元，每本种书籍的价格为元， 由题意可得：， 解得：． ∴每本种书籍的价格为35元，每本种书籍的价格为30元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【变式训练11 几何问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，用8块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一块长方形地面，且，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽． 【答案】每块地砖的长为,宽为 【分析】通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼成的大长方形的长=小长方形的长小长方形的宽+小长方形的长，拼成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组．再求解． 【详解】解：设每块地砖的长为,宽为. 根据题意得 ， 解这个方程组得. 答：每块地砖的长为,宽为. 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，懂得看图示，从题意和图示找出合适的等量关系：拼放成的大长方形的长=小长方形的长小长方形的宽+小长方形的长，拼放成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．列出方程组，再求解． 2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，求每个小长方形的面积．      图1                        图2 【答案】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形 其边长为， 设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形面积为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9；15 (2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）． 故答案为：9；15． （2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：（个） 答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 【变式训练12 图表信息题(二元一次方程组的应用)】 1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（22-23七年级上·安徽淮北·期末）根据如图所示给出的信息，求每支钢笔和每支铅笔的价格． 【答案】每支铅笔1元、每支钢笔10元 【分析】设每支铅笔x元、每支钢笔y元，根据买了3支铅笔和2支钢笔，用了23元；乙买了2支铅笔和3支钢笔，用了32元．列出方程组解方程组即可． 【详解】解：设每支铅笔x元、每支钢笔y元，根据题意可得： 解得： 答：每支铅笔1元、每支钢笔10元． 【点睛】此题考查实际问题抽出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期中）如图，九宫格中填写了一些代数式和数，在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等． 3 -3 2 （1）请你求出，的值； （2）填写九宫格中的另外三个数字． 【答案】（1）x=-2，y=1；（2）见解析 【分析】（1）根据每行3个数、每列3个数和斜对角的3个数之和均相等，可得出方程组，解出即可； （2）根据（1）的结果，填写表格即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：； （2）根据题意填表如下： 0 5 -1 3 -3 2 【点睛】此题考查了有理数的加法，理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”，从而列出关于x、y的二元一次方程组，使问题得解． 【变式训练13 古代问题(二元一次方程组的应用)】 1．（2023·广东湛江·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．若设兽有个，鸟有只，则兽、鸟各有多少？ 【答案】兽有只，鸟有只 【分析】设兽有个，鸟有只，根据兽与鸟头的总数是头和脚的总数为只，列方程即可解答． 【详解】解：设兽有个，鸟有只， 根据题意可得， 原方程组可化简为， 解得， 答：兽有只，鸟有只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，找准等量关系正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？ 【答案】每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩 【分析】设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据“若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩， 可列方程组为 ， 解得 ， 答：每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准数量关系是解题关键． 3．（2023·广东佛山·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？ (1)求甲、乙两人各带的钱数； (2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？ 【答案】(1)甲带钱，乙持钱 (2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本 【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答． 【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y， 根据题意得： ， 解得：， 答：甲带钱，乙持钱； （2）分开买：（本）； 合起来买：（本）， 即：（本）， 即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本． 【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的关键． 【变式训练14 其他问题(二元一次方程组的应用)】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）2023年12月18日甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，灾情严重，厦门救援队为甘肃地震灾区捐款捐物，在得知灾区急需帐篷后，立刻到一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．厦门救援队花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住．求厦门救援队采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住的大帐篷． 【答案】厦门救援队采购了顶3人小帐篷，顶10人住的大帐篷 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设厦门救援队采购了顶3人小帐篷，顶10人住的大帐篷，根据厦门救援队花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住，列出二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设厦门救援队采购了顶3人小帐篷，顶10人住的大帐篷，由题意，得： ， 解得：； 答：厦门救援队采购了顶3人小帐篷，顶10人住的大帐篷． 2．（2024·安徽芜湖·二模）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 4 1 共计（本） 265 110 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 【答案】九（1）班有35人，九（2）班有40人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可． 【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人 由题意得：解得： 答：九（1）班有35人，九（2）班有40人． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）上海迪士尼乐园于2016年6月16日正式开园，它是中国大陆第一个、亚洲第三个，世界第六个迪士尼主题公园．已知上海迪士尼乐园成人门票为370元人，儿童门票为280元人，2017年寒假期间，家住上海的张明和家人（有成人和儿童）一同去该乐园游玩．若张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元． (1)求张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； (2)若张明和家人去上海迪士尼乐园的当天，正好有个优惠活动，每位儿童的门票可以优惠20元，求他们共需支付的门票的费用． 【答案】(1)张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人 (2)他们共需支付的门票的费用是2740元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； （2）根据（1）中的答案和题意可以求得他们共需支付的门票的费用． 【详解】（1）设张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有人，儿童有人， ， 解得，， 答：张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人； （2）由题意可得， 他们共需支付的门票的费用是：， 答：他们共需支付的门票的费用是2740元． 【变式训练15 三元一次方程组的应用】 1．（22-23七年级下·全国·单元测试）在等式中，当时，；当时，；当时，，求这个等式中a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键． 2．（22-23八年级上·广东深圳·期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米 【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解． 【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得： ， 解得． 答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变． 3．（22-23七年级下·全国·假期作业）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格． 【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元. 【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可. 【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元， 由题意得 解得 答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元. 【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$