第10讲 二元一次方程组及其解法（2大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第10讲 二元一次方程组及其解法（2大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型九 同解方程组 题型十 三元一次方程组的定义及解 知识点01 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解． 知识点02 二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3. 二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【典型例题一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 5．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 【典型例题二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 4．（23-24七年级下·海南儋州·期末）若，请用含有的代数式表示，则 ． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）请你任写出一个解是的二元一次方程组（不含）． 6．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于，的二元一次方程． (1)求，的值； (2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）． 数对 判断数对是否是方程的解 【典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 4．（23-24七年级下·广西来宾·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是 ． 5．（22-23六年级下·全国·课后作业）判断是否为方程组的解． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【典型例题四 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知满足二元一次方程组的y值是，则x和m的值分别为（    ） A．1；7 B．－1；7 C．1；3 D．－1；3 3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知 是方程组 的解，则 ． 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 5．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）已知和都是方的解，求与的值． 6．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【典型例题五 代入消元法】 1．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）把变形成用x表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于方程组，把②变形后代入①得（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则 ． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）将方程变形为用含y的代数式表示x，即 ． 5．（23-24七年级下·北京石景山·期中）解方程组： 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【典型例题六 加减消元法】 1．（23-24七年级下·湖北随州·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知x、y满足方程组 ，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（2023·山东济宁·模拟预测）已知二元一次方程组，则得 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二元一次方程组，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·福建莆田·期末）解方程组：． 6． （23-24七年级下·福建漳州·期中）解方程组： 【典型例题七 二元一次方程组的特殊解法】 1．（22-23七年级下·山东济南·期中）已知x，y满足方程组  则 的值为(   ) A．2023 B． C．1 D． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 4．（2023·山东枣庄·一模）若x，y满足方程组，则 ． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）计算：解方程组 6．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【典型例题八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知方程组的解满足方程，则的值等于（    ） A．3 B． C． D．4 2．（22-23七年级下·四川南充·期末）已知为正整数，且使关于的二元一次方程组，有正整数解，则符合条件的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 4．（22-23七年级下·河南信阳·期末）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为 ． 5．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 6．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，请你求出的值． 【典型例题九 同解方程组】 1．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若关于x，y的方程组的解与方程组的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果方程组和解的相同，则 ， ． 4．（22-23七年级下·广东·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 5．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 6．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 【典型例题十 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知方程组，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 3．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知方程组，则的值是 ． 4．（23-24七年级下·北京·期中）若，则的值是 ． 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 6．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式训练1 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【变式训练2 二元一次方程的解】 1．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（    ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，用的代数式表示，则 ． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【变式训练3 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【变式训练4 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）在一本书上写着方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，不过我们可解出的值为（     ） A． B． C．1 D．3 2．（2024七年级下·天津·专题练习）已知是二元一次方程的一个解，那么k的值是 ． 3．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知关于，的方程组的解是，求的值． 【变式训练5 代入消元法】 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）由方程组可得出与的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 3．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）解方程组∶ (1) (2) 【变式训练6 加减消元法】 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在解关于 x、y 的二元一次方程组 时，若可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可以用等式表示为 ． 3．（2024·江苏连云港·二模）解方程组： 【变式训练7 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知方程组，若，则 ． 3．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 【变式训练8 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23七年级下·浙江台州·期中）已知关于，的方程组，下面结论正确的是 写出所有正确结论的序号 ①当时，是该方程组的解； ②当时，该方程组的解也是方程的解； ③无论取何值，，的值始终互为相反数； ④当取某一数值时，，的值可能互为倒数． 3．（22-23七年级下·吉林白山·期末）（1）解方程组：； （2）在等式中，当时；当时，．试求当时，的值? 【变式训练9 同解方程组】 1．（22-23七年级下·河南商丘·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）关于x，y的方程组和有相同的解． （1） ； （2） ． 3．（23-24七年级下·重庆黔江·阶段练习）已知关于，的方程组和关于，的方程组的解相同，求的值． 【变式训练10 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（    ） A．1 B．3 C．9 D．12 4．（22-23七年级下·湖南常德·期末）若关于x,y的二元一次方程组的解x,y满足，那么k的值是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个解，则 ． 8．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）若关于，的方程组与的解相同，则的值为 ． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 10．（22-23七年级下·北京·阶段练习）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 11．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 12．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值． 13．（22-23七年级下·河南新乡·期中）若和都是关于x，y的二元一次方程的解，试求a与b的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 14．（山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）七年级（1）班的孙老师想为学校花坛搭建一个护栏，需要铁棍若干．孙老师将购买任务交给实践小组的同学完成． 课题 学校花坛护栏搭建采购任务 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 卷尺 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明：建材市场售卖的铁棍a长为17米，搭建护栏所需b，c两种铁棍的长分别为2米和3米．建材市场老板可将铁棍a裁成若干段铁棍b和c. 计算结果 ……… (1)若设1根铁棍a可裁出2米的铁棍x根，3米的铁棍y根．依题意，可列方程：__________． (2)在不浪费材料的前提下，请直接写出裁铁棍的所有方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二元一次方程组及其解法（2大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型九 同解方程组 题型十 三元一次方程组的定义及解 知识点01 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解． 知识点02 二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3. 二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【典型例题一 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．含有两个未知数，且未知数的次数都是1的等式是二元一次方程，据此解题即可． 【详解】解：A．只有一个未知数，为一元一次方程，故A不符合题意； B．有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B符合题意； C．中的次数为2，故不是二元一次方程，故C不符合题意； D．不是等式，故不是二元一次方程，故D不符合题意． 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，且， ∴，且， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 将含有x的项移到等号右边即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 【答案】（3），见解析 【详解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值． 【答案】m=0，n=2 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可确定出m与n的值． 【详解】解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程， ∴n﹣1=1，|m﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2， 若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．． 【典型例题二 二元一次方程的解】 1．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，解决本题的关键是将二元一次方程的解代入方程进行求解即可．将代入求解即可． 【详解】解：将代入可得： ， 解得：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，把，代入，即可． 【详解】∵方程的一组解是， ∴， 解得：． 故选：A． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·海南儋州·期末）若，请用含有的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．把看作已知数求出即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）请你任写出一个解是的二元一次方程组（不含）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 【详解】解：的解是， 故答案为：． 6．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于，的二元一次方程． (1)求，的值； (2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）． 数对 判断数对是否是方程的解 【答案】(1)， (2)是；不是；是；不是 【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，，解得，的值即可； （2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可． 【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 解得，． （2）由（1）可知，关于，的二元一次方程， 当时，，是方程的解， 当时，，不是方程的解， 当时，，是方程的解， 当时，，不是方程的解， 故答案为：是；不是；是；不是 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解，熟练掌握把的值代入原方程验证二元一次方程的解是解决此题的关键． 【详解】A、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； B、把代入方程，左边＝右边，所以是方程的解，不符合题意； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； D、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】 本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．把代入原方程组的两个方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程组中的中， 方程左边右边，所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 4．（23-24七年级下·广西来宾·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，准确理解方程组的定义是解题的关键． 根据方程组的解得定义，应该满足方程组的每一个方程，即可得解 【详解】∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴多项式A可以是； 故答案是：(答案不唯一)． 5．（22-23六年级下·全国·课后作业）判断是否为方程组的解． 【答案】是 【分析】把代入原方程组的两个方程，从而可得答案． 【详解】解：把代入①， 把代入②， 所以同时满足方程①与②， 所以是二元一次方程组的解， 【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【详解】8.解：（1）根据题意，得 （2）是，理由如下： 把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边， 把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边， 所以是二元一次方程组的解． 【典型例题四 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程．把代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：把代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：D 2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知满足二元一次方程组的y值是，则x和m的值分别为（    ） A．1；7 B．－1；7 C．1；3 D．－1；3 【答案】A 【分析】将代入方程组的第一个方程求出x的值，将x与y的值代入第二个方程求出m的值即可． 【详解】解：将代入方程组得： 由①解得：， 将代入②得：，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解方程组时利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知 是方程组 的解，则 ． 【答案】 【分析】把方程组的解代入方程组求出、的值，代入计算得到答案． 【详解】解：将代入中， 得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的定义，使方程组中各个方程都成立的未知数的值称为方程组的解． 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，再求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）已知和都是方的解，求与的值． 【答案】的值是5，b的值是2． 【分析】由题意根据方程的解满足方程，可得关于a，b的方程组，进而解方程组即可得答案． 【详解】解：由和都是方的解， 可得：， 解得：， 的值是5，b的值是2． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，注意利用方程的解满足方程得出关于a，b的方程组是解题的关键． 6．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点． (1)若点为方程的坐标点，则______； (2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】（1）将点代入方程，即可解答． （2）将点代入方程，得再代入，即可解答． 【详解】（1）将点代入方程，得， 解得． （2）由题意得：，，b，c为正整数， ∴或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键 【典型例题五 代入消元法】 1．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）把变形成用x表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是将x看做已知数求出y．把x看做已知数，根据减数=被减数-差可以求出y． 【详解】解：把方程写成用含x的代数式表示y的形式是 故选：A 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于方程组，把②变形后代入①得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法，注意变形准确即可． 【详解】解：由②可得：， 将代入①可得：， 故A错误，C正确； 由②可得：， 将代入①可得：， 故B、D均错误； 故选：C 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个数，把x看成常量，把y看成未知数，求解关于y的一次方程即可． 【详解】解：， 方程移项，得， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）将方程变形为用含y的代数式表示x，即 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解二元一次方程，把y看作已知数求出x即可． 【详解】方程， 移项得：． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·北京石景山·期中）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把①代入②求出y，进而求出x即可． 【详解】解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为． 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查解二元一次方程组，用代入消元法是最基本的方法，熟练掌握基本方法是解题的关键． （1）用代入消元法求解； （2）用代入消元法求解． 【详解】（1）解： 由①得：，代入②得：， 解得：， 将代入，解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 由②得：，代入①得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为． 【典型例题六 加减消元法】 1．（23-24七年级下·湖北随州·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的消元法，熟练掌握消元法的方法是解题的关键．将选项逐一进行计算看是否消元即可． 【详解】 解：A、得：，即，消去了，故选项不符合题意； B、得：，即，没有消元，故选项符合题意； C、得：，即，消去了，故选项不符合题意； D、得：，即，消去了，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知x、y满足方程组 ，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，两方程作差后，得出是解题的关键．利用方程，可得出，再在方程的两边同时除以3，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， ∴． 故选：B． 3．（2023·山东济宁·模拟预测）已知二元一次方程组，则得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组解法中的加减消元法．利用减法可得答案． 【详解】解：得， 故答案为： 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，把两个方程相减后，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； 故答案为：4． 5．（23-24七年级下·福建莆田·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案，熟记加减消元法解二元一次方程组的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 得； 把代入①， 得； 原方程组的解为． 6．（23-24七年级下·福建漳州·期中）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤． 先用求出，再将代入①，求出y的值，即可解答． 【详解】解： ，得， 即． 把代入①，得， 解得． ∴ 【典型例题七 二元一次方程组的特殊解法】 1．（22-23七年级下·山东济南·期中）已知x，y满足方程组  则 的值为(   ) A．2023 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用，可得出，再在方程的两边同时除以3，即可求出，再代入求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，两方程相加后，得出是解题的关键． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用换元法求解方程组的解． 【详解】解：方程组可以变形为：方程组， 设，，则方程组可变为， ∴m＝3，n＝4， 即，， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键． 3．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先将②-①得，即可求得答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 4．（2023·山东枣庄·一模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】5 【分析】由，即可求解． 【详解】解：， 由得：． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）计算：解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴方程组的解为：． 6．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 【典型例题八 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（22-23七年级下·山东聊城·期末）已知方程组的解满足方程，则的值等于（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】先把两个方程相加得到：再方程两边都除以，得到，结合已知条件，消去，从而可得答案． 【详解】解： ①＋②得： 两边都除以得：， ， 故选D． 【点睛】本题考查的是方程的同解问题，掌握同解方程的含义，及利用整体思想解决同解问题是解题的关键． 2．（22-23七年级下·四川南充·期末）已知为正整数，且使关于的二元一次方程组，有正整数解，则符合条件的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先把两个方程相减得到：，即可化为：再结合都为正整数，可得答案． 【详解】解： ②－①得：． 当时， 为正整数，则为正整数且是的约数． ∴或 ． ∴或． ∵为正整数， 不符合题意，故舍去， 此时方程组的解为： 所以符合条件的有个． 故选A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法以及二元一次方程组的正整数解的问题，掌握解二元一次方程组及对解的分析是解题的关键． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 【详解】 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河南信阳·期末）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由x与y的值互为相反数得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值． 【详解】解：由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得：， 解得：，， 则m的值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 5．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 6．（22-23八年级上·江西景德镇·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，请你求出的值． 【答案】 【分析】先求出的解为，然后把代入可求出a的值． 【详解】解：， 由，可得， 解得：， 将代入①，得： ， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴将代入方程，可得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 【典型例题九 同解方程组】 1．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若关于x，y的方程组的解与方程组的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题，根据题意可得是方程组的解，则，得，即． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， ∴得，即， 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解和绝对值，理解二元一次方程的解的定义是做题的关键．由题意可得同解方程的解必须同时满足和，据此求解即可． 【详解】解：A．不满足，故不符合题意； B．不满足，故不符合题意； C．∵，∴或，故不符合题意； D．∵，∴，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果方程组和解的相同，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得 解得． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·广东·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，由方程组可得，再建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ②①得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：1 5．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可． 【详解】解：解方程组 解得： 把代入另外两方程得： 解得：． 6．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，再由得到，则． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， ∴ 【典型例题十 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知方程组，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组三方程相加即可求出所求． 【详解】解：， 得： ， ， ， 故选：A． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 3．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知方程组，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】因为， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 4．（23-24七年级下·北京·期中）若，则的值是 ． 【答案】0 【分析】此题考查方程组的解法，注意把三元变为二元，把其中一个未知数看作已知数是解决问题的关键．首先把，，建立关于、的二元一次方程组，求出的解用表示，进一步代入求得结果即可． 【详解】解：由，得， ， 解得， 代入． 故答案为：0 5．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 6．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的基本方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 把④代入③得：， 解得：， 得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，，代入③得： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式训练1 二元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：A、未知数的最高次项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、不是等式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1，是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 【变式训练2 二元一次方程的解】 1．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（    ） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设用个大箱，个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，用的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，根据移项的法则，把含有的项移到方程的一边，其它项移到方程的另一边即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解， （1）根据和都是关于x、y的二元一次方程的解，得出，问题随之得解； （2）根据也是方程的解，得出，求出b的值即可． 【详解】（1）依题意得：， ， 解得； （2）由（1）得：， 是方程的一个解， 即． 【变式训练3 判断是否是二元一次方程组的解】 1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】A选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解； C选项：将代入方程，左边右边，所以是方程的解； D选项：将代入方程，左边右边，所以不是方程的解． 故选：C 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键． 2．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【变式训练4 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）在一本书上写着方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，不过我们可解出的值为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据方程组的解为，结合，可得，继而得到，代入解答即可． 本题考查了方程组的解，正确理解方程组解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据方程组的解为，且， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 2．（2024七年级下·天津·专题练习）已知是二元一次方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解．根据方程的解满足方程，可得关于k的方程，再解方程，可得答案． 【详解】解：由是二元一次方程的一个解，得 ， 解得， 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知关于，的方程组的解是，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入原方程组，可得出关于，的二元一次方程组，求得，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：将代入原方程组得：， 解得， ． 【变式训练5 代入消元法】 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）由方程组可得出与的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．将第一个方程代入第二个方程消去m即可求解． 【详解】解：， 把①代入②，得， 则， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．把看作已知数求出即可． 【详解】解： ， 故答案为 ：． 3．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）解方程组∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代入消元法，是基础知识要熟练掌握． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）， 将②代入①得，得， 解得， 把代入②，得． 故原方程组的解为． （2）， 由②得， 将代入①得，得， 解得， 把代入，得． 故原方程组的解为． 【变式训练6 加减消元法】 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 观察两方程中m的系数，找出两系数的最小公倍数，然后把两方程相减即可． 【详解】解：A、既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； B．既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； C．能消去未知数m，此选项符合题意； D、不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意． 故选C． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在解关于 x、y 的二元一次方程组 时，若可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可以用等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 根据求差后直接消去y，令y的系数为0即可． 【详解】解：，得， ∵可以直接消去一个未知数， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·二模）解方程组： 【答案】 【分析】运用加减消元法求解即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 【变式训练7 二元一次方程组的特殊解法】 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键．先整理所求方程得到，关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为，据此可得答案． 【详解】解：整理方程组得， ∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解为，即， 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知方程组，若，则 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得关于的方程，解方程即可得．根据方程组的特点灵活求解是关键． 【详解】解：， 由得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2022． 3．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题 (1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组 (2)已知x、y满足方程组求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握整体思想． （1）根据题干提供的信息，解二元一次方程组即可； （2）求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形：，即③， 把方程①代入③得：， 解得， 把代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）解：原方程组化为， ，得， ∴． 【变式训练8 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】将原方程组中的两个式子相加便可以得到：，令便可以解出的值； 【详解】     ①＋②得， 即， 解得： 故选：B. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握方程的求解方法是解决本题的关键. 2．（22-23七年级下·浙江台州·期中）已知关于，的方程组，下面结论正确的是 写出所有正确结论的序号 ①当时，是该方程组的解； ②当时，该方程组的解也是方程的解； ③无论取何值，，的值始终互为相反数； ④当取某一数值时，，的值可能互为倒数． 【答案】①②③ 【分析】解方程组，可得该方程组的解为，将a＝1代入，可得结论①正确；当a＝−1时，可得该方程组的解为，代入2x−y＝9a，可得结论②正确；根据相反数和倒数的定义，判断x＋y＝0及xy＝1是否成立，可得出结论③正确，结论④错误． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入， 得． 该方程组的解为． 当时，该方程组的解为， 故结论正确； 当时，该方程组的解为，方程可化为， 将代入， 可知等式成立， 故结论正确； 若，的值互为相反数，则， ， 即无论取何值，成立，，的值始终互为相反数， 故结论正确； 假设，的值互为倒数，则， 即， 得，此时无意义， ，的值不可能互为倒数， 故结论错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解、相反数与倒数的定义．将看作常数，利用加减消元法求出，的值是解题的关键． 3．（22-23七年级下·吉林白山·期末）（1）解方程组：； （2）在等式中，当时；当时，．试求当时，的值? 【答案】（1）；（2）-2 【分析】（1）先将原方程组整理变形，然后利用加减消元法解二元一次方程组； （2）利用题目条件建立关于k，b的二元一次方程组，解方程组求得等式，然后代入求值． 【详解】解：（1）整理，得：， ①，得：③， ②③，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 方程组的解为； （2）把，；，分别代入等式，可得： ， ②①，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ， 当时，． 的值为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键．消元法有：加减消元法和代入消元法． 【变式训练9 同解方程组】 1．（22-23七年级下·河南商丘·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】把代入另外两个方程中得：，得到，求解即可． 【详解】解：把代入另外两个方程中得：，得：， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组同解问题，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）关于x，y的方程组和有相同的解． （1） ； （2） ． 【答案】 10 【分析】联立两个方程组中不含参数的方程可求出y，将x，y的值代入两个参数方程求解即可得到答案． 【详解】解：关于x，y的方程组和有相同的解， 把代入得： ， 解得：， 把，分别代入，中得： ，， 解得：， ． 故答案为：，10． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是根据同解列出新方程组解出解代入求出参数． 3．（23-24七年级下·重庆黔江·阶段练习）已知关于，的方程组和关于，的方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关键是理解两个方程组解相同的意义，求出a、b的值．由解相同，可得一个含未知数x、y，一个含a、b与x、y的两个新方程组，求解只含未知数x、y的方程组，把解代入含a、b与x、y的方程组，求出a、b的值，计算出结果即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴方程组与的解相同， 解方程组得， 把代入得 ， ，得， ，得， ∴ ． 【变式训练10 三元一次方程组的定义及解】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【详解】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 2．（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得：； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． （1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：（1） 原方程组可变为：， 得：， 解得： 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的概念，掌握二元一次方程的概念是解本题的关键． 根据二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，解答即可 【详解】∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴，， 解得：，， 将，，代入得 ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（    ） A．1 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程组中两个方程相加可得，则． 【详解】解： 把方程组中两个方程相加可得， ∴， 故选：A． 4．（22-23七年级下·湖南常德·期末）若关于x,y的二元一次方程组的解x,y满足，那么k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程组，用k表示出x,y，然后代入方程，即可求得k的值. 【详解】解： ①＋②得，解得， 把代入①得， 把，代入得， 解得，故答案选A. 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题关键. 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识．结合题意，根据二元一次方程的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）若关于，的方程组与的解相同，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意易得两个方程组的解为，把此解分别代入两个方程组中的第二个方程，可得关于a与b的两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，即可求出a与b的值，从而求得结果． 【详解】由题意知，两个方程组的相同解为，把代入第一个方程组中的第二个方程得：；把代入第二个方程组中的第二个方程得：； 解方程组，得 ，则 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，关键和难点是对方程组的解的理解． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能对第二个方程组进行变形，并对比第一个方程组得出关于x，y的方程组是解决此题的关键．设，则方程组可变为．根据方程组的解是，得出，代入得出，求出结果即可． 【详解】解：设，则方程组可变为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴ 解得：， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·北京·阶段练习）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于，的二元一次方程和关于，的二元一次方程的公共解， ∴关于，的二元一次方程组的解是 故答案为：． 【点睛】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解． 11．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 12．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可求解，熟练掌握同解方程组的解的意义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． 13．（22-23七年级下·河南新乡·期中）若和都是关于x，y的二元一次方程的解，试求a与b的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 【答案】，，不是，验证见解析 【分析】把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，检验即可． 【详解】解：把和代入方程得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程为， 把代入方程得：左边，右边， 左边右边， 不是这个方程的解． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程组，掌握二元一次方程的解的定义以及解一元二次方程组的方法是解题的关键． 14．（山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）代入消元法，一（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据代入消元法解方程组，进行作答即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法；以上求解步骤中，小权同学从第一步用表示时就开始出错，正确的表示为：． 故答案为：代入消元法；一； （2）由①，得③； 由，得． 将代入①，得， 原方程组的解为 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）七年级（1）班的孙老师想为学校花坛搭建一个护栏，需要铁棍若干．孙老师将购买任务交给实践小组的同学完成． 课题 学校花坛护栏搭建采购任务 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 卷尺 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明：建材市场售卖的铁棍a长为17米，搭建护栏所需b，c两种铁棍的长分别为2米和3米．建材市场老板可将铁棍a裁成若干段铁棍b和c. 计算结果 ……… (1)若设1根铁棍a可裁出2米的铁棍x根，3米的铁棍y根．依题意，可列方程：__________． (2)在不浪费材料的前提下，请直接写出裁铁棍的所有方案． 【答案】(1) (2)具体方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设1根铁棍a可裁出2米的铁棍x根，3米的铁棍y根，根据截取前后的铁棍总长度相等即可列出方程； （2）根据题意列出方程，然后求出满足方程的所有整数解即可 【详解】（1）解：设1根铁棍a可裁出2米的铁棍x根，3米的铁棍y根． 依题意得，． （2）解：由（1）得，其中都为正整数， ① 当时，； ② 当时，； ③ 当时，； 故共有3种方案． 方案一：1根铁棍a可裁出2米的铁棍1根，3米的铁棍5根； 方案二：1根铁棍a可裁出2米的铁棍4根，3米的铁棍3根； 方案三：1根铁棍a可裁出2米的铁棍7根，3米的铁棍1根． 学科网（北京）股份有限公司 $$