第09讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第09讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练） 题型一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型五 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型六 方案选择(一元一次方程的应用) 题型七 数字问题(一元一次方程的应用) 题型八 几何问题(一元一次方程的应用) 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 知识点01 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【典型例题一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 2．（23-24七年级上·吉林·期中）张华和李明登一座山，张华每分钟登高米，并且先出发分钟，李明每分钟登高米，两人同时登上山顶．求山高． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 4．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 5．（2023·安徽·模拟预测）已知张强家到学校的路程为，放学后张爸爸从家出发以的速度开车前往学校，同时张强从学校出发以的速度步行回家，这样张爸爸恰好在途中一处容易掉头的路口接到张强并按原速返回家中．如果张强上车和汽车掉头时间忽略不计，那么张强每次从学校到家需要多长时间？ 【典型例题二 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·福建南平·期中）几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 2． （22-23七年级上·吉林四平·期末）某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，求应安排多少个工人挖土？ 3．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）铜仁十中计划购买一批型和型课桌凳，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元，且购买套型和套型课桌凳共需元．求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程应用题 （1）某车间有55名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．一个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （2）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 【典型例题三 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成．现在甲、乙合做3天，甲因有事离去，剩下的工程由乙、丙合作做完成，求乙共做了多少天？ 2．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 3．（22-23七年级上·安徽淮北·期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？ 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 5．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【典型例题四 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）生活中处处都有数学，一家服装店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的9折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售12件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）随着3D打印技术越来越成熟，家用3D打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用3D打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元，若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元．求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 4．（22-23七年级上·江苏·周测）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，其中成人票是每张8元，学生票是每张5元，筹得票款6950元．求成人票售出多少张． 5．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏．盈亏多少． 【典型例题五 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）某中学举办的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分．小强考了68分，求小强答对了多少道题？ 2．（2023·安徽·一模）2019年国际泳联第十八届世界游泳锦标赛7月28日晚在韩国光州落下帷幕．中国队共获得了枚奖牌，其中铜牌枚，金牌比银牌多枚，本次大赛中国队共获得了多少枚金牌? 3．（2024·陕西西安·模拟预测）为响应阳光体育运动的号召，学校足球社团组织队员进行了足球友谊赛，每场比赛均决出胜负，每队胜一场得3分，负一场扣2分．已知甲队在参与的8场比赛中最终得到9分，则甲队胜了多少场？ 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 5．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 【典型例题六 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 2．（22-23七年级上·北京·期末）列方程解应用题：我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数与车数． 3．（22-23七年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 用纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过页时，每页收费元；复印页数超过页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元，复印页数为多少时，两处的收费相同？ 4．（22-23七年级上·天津滨海新·期末）国庆节期间，甲、乙两商场以相同价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出的部分打八五折收费；在乙商场累计购物超过元后，超出的部分打九折收费．设小华预计累计购物x元（）． (1)计算一下，小华预计累计购物多少元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同？ (2)如果小华预计累计购物元的商品，她选哪个商场购物比较合适？说明理由． 5．（22-23七年级上·湖北咸宁·期末）公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟再付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算． (1)如果一个月的通话时间为100分钟，按甲种方式应付话费多少元？按乙种方式应付话费多少元？ (2)若某月两种方式付费相同，求该月通话时长： (3)如果某人一个月的通话时间在300到400分钟之间，此人如何选择更合算的付费方式？请自接给出合理化的建议． 【典型例题七 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24六年级上·上海闵行·期中）一个数的减去，再加上等于，求这个数． 2．（22-23六年级上·上海奉贤·期中）一个数与的积等于与的差，求这个数． 3．（22-23七年级上·北京·期中）列方程解应用题 有一列数，按一定规律排列成1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，……其中某三个相邻数的和是﹣1701，这三个数各是多少？ 4．（2023·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 5．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．（直接写结果） 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）把一瓶的盐水倒入底面周长是厘米，高是厘米的圆柱形水杯中，最多能倒满几杯？（取） 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）一根长米的铁丝围成一个长是宽的倍的长方形，求这个长方形的宽． 3．（22-23八年级上·广东梅州·开学考试）已知三个角的度数之比为3：4：5，且三个角的和是．求：这三个角的度数各是多少？ 4．（22-23六年级上·山东济宁·期末）小红家用10m长的铁丝在墙边围成了一个长方形鸡棚，若鸡棚的长AB比宽BC多5m，且宽的一边有一扇1m宽的门，求该鸡棚的面积． 5．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1． （22-23七年级上·广东惠州·期中）已知的和为13，求的值． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）把一批图书分给七年级（5）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余25本，若每人分4本，则缺30本，这个班有多少学生？ 3．（22-23七年级下·海南海口·期中）为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分5本，则剩余20本；如果每户分6本，则还缺20本．这个村有几户村民？ 4．（2023·安徽合肥·三模）为了防控疫情，某区抽调党员干部下沉社区支持防疫工作，今年5月份，该区下派的268名党员中，男性党员比女性党员的3倍少12人，求男性党员的人数？ 5．（22-23七年级上·福建福州·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？ 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过吨，每吨按2元收费，超过吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 2．（22-23七年级上·湖北恩施·期末）某学校9月的水费为元，电费比水费的2倍多40元，10月的水费比9月多支出了25%，电费比9月节约了25%． （1）用表示该校9月的电费是多少元？ （2）用表示该校10月的水、电费各是多少元？ （3）如果该校10月的水、电费共1130元，那么10月的水电费与9月相比超支或节约了多少元？ 3．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某地实行居民生活用电按阶梯标准收费： ①若每户每月不超过60度的用电量，则按m元/度收费； ②若每户每月超过60度，但不超过100度，则超过60度的部分每度加价0.2元，未超过的部分按①的标准收费； ③若每户每月超过100度，则超过100度的部分按每度在m元的基础上加价0.3元收费，未超过100度的部分按②的标准收费． （1）用含m的式子表示用电90度时所需缴纳的电费． （2）小辉家今年9月份用电150度，缴纳电费203元，求m的值． 4．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2元/ m3计算：月用水量超过20 m3时，其中的20 m3仍按2元/ m3计算，超过部分按2.6元/ m3计算．设某户家庭月用水量x m3 月份 4月 5月 6月 用水量 15 17 a (1)用含x的式子表示： 当时，水费为______；当时，水费为______； (2)小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小花家6月份用水量a的值？ 5．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量 360 立方米及以下，价格为每立方米 2.53 元 年用天然气量超出 360 立方米，不足 600 立方米时，超过 360 立方米 部分每立方米价格为 2.78 元 年用天然气量 600 立方米以上，超过 600 立方米部分价格为每立方 米 3.54 元 例：若某户 2019 年使用天然气 400 立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：2.53×360+2.78×(400-360) =1022（元） （1）若小明家 2019 年使用天然气 300 立方米，则需缴纳天然气费为 元（直接写出结果）； （2）若小红家 2019 年使用天然气 560 立方米，则小红家 2019 年需缴纳的天然气费为多少元？ 【典型例题十一 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）七年级某班学生参加体育活动，原来每组5人，后来根据需要重新分组，每组9人，结果比原来减少4组，问原来分了多少组？这个班级共有学生多少人？ 2．（22-23七年级上·湖北黄石·阶段练习）列方程解应用题： 2018年元月初，我国中东部地区普降大雪，某武警部队战士在两个地方进行救援工作，甲处有130名武警部队战士，乙处有70名武警部队战士，现在又调来200名武警部队战士支援，要使甲处的人数比乙处人数的2倍多10人，应往甲、乙两处各调来多少名武警部队战士？ 3．（2024·陕西宝鸡·二模）春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 4．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 5． （24-25八年级上·全国·假期作业）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【典型例题十二 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 3．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 4．（23-24七年级上·江苏·周测）下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 5．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）如图，这是2022年11月份的日历，小康在此日历上用一个“十字”框出了5个数，若框出的5个数中最大数与最小数的和为30，求这5个数的和．    【典型例题十三 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）小红和爸爸现在年龄之和是岁，年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 2．（2024·陕西榆林·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为5，求输入x的值． 3．（2024·吉林长春·一模）如图，天平的两个盘内分别盛有102g和96g的糖，问应从盘A中拿出多少糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 4．（23-24七年级上·陕西铜川·期末）为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人剪10张，则剩余6张彩纸未剪；若每人剪12张，则缺少6张彩纸．这个小组的学生共有多少人？ 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系： (1)一个人的体温有可能达到吗，试说明理由？ (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 3．（2024·陕西西安·模拟预测）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 4．（2024·安徽合肥·二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 5．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【变式训练1 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米．A、B两地相距多少千米？ 2．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 【变式训练2 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有80名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或150个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 3．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【变式训练3 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？ 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）某大厦用无人智能配送车给大厦里的工作人员配送快递．若配送车A单独送，3小时才能送完；配送车B单独送，4小时才能送完．如果两辆车同时配送，多少小时可以将这些快递送完．（用方程解） 3．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【变式训练4 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得的利润，求该商品每件的进价． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）超市销售甲、乙两种商品，乙种商品的单价比甲种商品少元．由于市场供需变化，超市决定将甲种商品提价，乙种商品降价，调价后，乙种商品的单价是甲种商品的一半．求调价后甲种商品的单价． 3．（2024·吉林·二模）根据图中两姐妹的对话记录，求姐姐购买一部华为手机的预算为多少元？ 【变式训练5 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 2．（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 3．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【变式训练6 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）电信部门推出两种电话计费方式如表： A B 月租费元月 通话费元分钟 当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？ 3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）在“十一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据表中的信息，解答后面的问题： 票价 成人：每张35元； 学生：按成人票价 5 折优惠； 团体票（16 人以上含16人）：按成人票价6折优惠． 大人门票是每张 35 元，学生门票 5 折优惠，我们一共 12人，共需 350元． 爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 说明理由． 【变式训练7 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们在前面章节的学习中已经知道，单独的一个数可以用一个字母来表示，例如，可以用a表示3，b表示5，x表示56等等，但对于一个几位数，用组成它的各个数位上的数字来表示它却不是这样简单的事，比如，用a、b、c分别表示三位数123的百位、十位和个位上的数，不能写成abc，这样会误认为是三个字母所表示的数相乘了，而要表示成：． 阅读以上材料，请解答下面的问题： 一个两位数，十位数字比个位数字小3，若把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165，求原两位数．设其十位数字为x，请列出方程， 【变式训练8 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，大矩形由5个全等的小长方形和1个边长为的正方形拼成，求大长方形的周长．    2．（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，求原正方形的边长． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边；八四一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为120cm，宽为33cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．    【变式训练9 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 3．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【变式训练10 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？ 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）某市一学校“社会实践兴趣小组”做了一下调查：下表是该市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米， 用水量/立方米 单价/（元/立方米） a 超出40的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费28.8元，求a的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费155.2元，请问该用户用水多少立方米？ 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）某城市对居民用水实行三级阶梯水价，收费标准如表： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 2 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过立方米的部分 4 (1)若小明家去年1月份用水量是立方米，他家应缴费 元． (2)若小明家去年2月份用水量是立方米，缴费元，请求出用水在立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米． 【变式训练11 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·天津·期中）10位同学在植树节这天共种了26棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，则男生和女生分别有多少人？ 2．（22-23六年级下·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 3．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【变式训练12 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表，若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由． 2．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图1是2022年1月的月历． (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？如果可以，请写出这三个数． (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请通过列式计算说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 3．（22-23七年级上·黑龙江鹤岗·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ (1)在上图的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【变式训练13 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）某文具店的A牌钢笔比B牌钢笔每只贵10元，小彬买了3支A牌钢笔、2支B牌钢笔，一共花了130元．B牌钢笔每支多少钱？ 2．（2024·安徽合肥·一模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）某快餐店有线上和线下两种消费方式．2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是．2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与2022年相比，年收入总额增长了，其中线上收入增长了．求该快餐店2023年的线下收入的增长率． 【变式训练14 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 2．（2023·安徽淮南·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程． 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练） 题型一 行程问题(一元一次方程的应用) 题型二 配套问题(一元一次方程的应用) 题型三 工程问题(一元一次方程的应用) 题型四 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型五 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型六 方案选择(一元一次方程的应用) 题型七 数字问题(一元一次方程的应用) 题型八 几何问题(一元一次方程的应用) 题型九 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型十 电费和水费问题(一元一次方程的应用) 题型十一 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十二 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 题型十四 古代问题(一元一次方程的应用) 知识点01 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【典型例题一 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 【答案】A港和B港相距120千米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设A港和B港相距x千米，根据时间=路程÷速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设A港和B港相距x千米．根据题意，得 解得： 答：A港和B港相距120千米． 2．（23-24七年级上·吉林·期中）张华和李明登一座山，张华每分钟登高米，并且先出发分钟，李明每分钟登高米，两人同时登上山顶．求山高． 【答案】山高为米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，根据两人同时登上山顶，列方程求解． 【详解】解：设山高为米， 根据题意得 解方程得，． 答：山高为米． 故答案为：山高为米． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 【答案】60km 【分析】设静水速度为 km/h，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，利用路程不变即可建立方程求解． 【详解】解：设静水速度为 km/h， 则： 解得： ∴ 即：甲乙两码头之间的距离为60km 【点睛】本题考查行程问题与一元一次方程．注意正确理解题意． 4．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 【答案】10分钟，50米 【分析】设从出发到两人相遇用了x分钟，根据两人走的路程和列出方程，解方程求出x的值，进一步即可得到相遇地点距离电影院的距离． 【详解】解：设从出发到两人相遇用了x分钟， ， 解得， ∴（米）， （米）． 答：从出发到两人相遇用了10分钟，相遇地点距离电影院有50米． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 5．（2023·安徽·模拟预测）已知张强家到学校的路程为，放学后张爸爸从家出发以的速度开车前往学校，同时张强从学校出发以的速度步行回家，这样张爸爸恰好在途中一处容易掉头的路口接到张强并按原速返回家中．如果张强上车和汽车掉头时间忽略不计，那么张强每次从学校到家需要多长时间？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设张强和张爸爸相遇时的时间为，根据两人的路程和为，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设张强和张爸爸相遇时的时间为． 由题意，得， 解得， ． 答：张强每次从学校到家需要． 【典型例题二 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·福建南平·期中）几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 【答案】有6人参与种树，树苗共77棵． 【分析】设参与种树的有人，再根据两种分配方式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设参与种树的有人， 由题意得：， ， ， ， 当时，（棵）， 答：有6人参与种树，树苗共77棵． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 2．（22-23七年级上·吉林四平·期末）某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，求应安排多少个工人挖土？ 【答案】应安排45个工人挖土． 【分析】设应安排x个工人挖土，根据“挖出的土及时被运走”列出方程求解即可． 【详解】解:设应安排x个工人挖土，则应安排（）个工人运土．     由题意，得 ．        解得       ．        答： 应安排45个工人挖土． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，设未知数，找准等量关系列方程是解题的关键． 3．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 【答案】原计划40天完成任务． 【分析】设原计划x天完成任务，利用“订货任务的数量”作为相等关系列方程求解． 【详解】解：设原计划x天完成任务， 由题意得：20x+100=23x-20， 解得：x=40， 答：原计划40天完成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）铜仁十中计划购买一批型和型课桌凳，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元，且购买套型和套型课桌凳共需元．求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ 【答案】一套型课桌凳需元，则一套型课桌凳元 【分析】设购买一套型课桌凳需要元，购买一套型课桌凳需要元，根据“购买套型和套型课桌凳共需元”，即可得出一元一次方程，解之即可； 【详解】解：设一套型课桌凳需元，则一套型课桌凳元，根据题意得， ， 解得， 所以， 答：购买一套型课桌凳需元，一套型课桌凳需元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程应用题 （1）某车间有55名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．一个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （2）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 【答案】（1）应安排生产螺钉和螺母的工人各25和30名；（2）每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 【分析】（1）设应安排x名工人生产螺钉，（55﹣x）名工人生产螺母，根据题意列出方程即可求出答案． （2）设每件衬衫降价x元，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：（1）设应安排x名工人生产螺钉，（55﹣x）名工人生产螺母 根据题意，得2000（55﹣x）＝2×1200x， 解得，x＝25， 55﹣x＝30， 答：应安排生产螺钉和螺母的工人各25和30名 （2）设每件衬衫降价x元，根据题意，得 120×400+（120﹣x）×100＝80×500×（1+45%）， 解得，x＝20， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【典型例题三 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成．现在甲、乙合做3天，甲因有事离去，剩下的工程由乙、丙合作做完成，求乙共做了多少天？ 【答案】乙共做了6天 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找出合适的等量关系是解题的关键． 设乙共做了x天，根据题意，找出等量关系式，根据等量关系式，列出方程，解答即可． 【详解】 解：设乙共做了x天， ， 解得， 答：乙共做了6天． 2．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 【答案】 【分析】设这条路一共长为，题目中存在等量关系：路长的路长的一半，据此可得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】设这条路一共长为． 根据题意，得 ． 解得 ． 答：这条路一共长为． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能用含有未知数的式子表示出题目中的等量关系是解题的关键． 3．（22-23七年级上·安徽淮北·期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？ 【答案】设A工程队整治河道180米 【分析】设A工程队整治河道x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队整治河道x米， 根据题意得：， ． 答：设A工程队整治河道180米． 【点睛】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要天完成；若乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为万元，问甲队和乙队各得报酬多少钱？ 【答案】(1)天 (2)甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元 【分析】（1）根据题意分别算出甲队、乙队的工作效率，由此可求出甲乙合作的工作量，余下的工作量，根据工程问题的数量关系即可求解； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量的比，由此即可求解． 【详解】（1）解：甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成， ∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲乙两队同时施工天后余下的乙队做了天， ∴，解得，（天）， ∴余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务． （2）解：甲队的工作效率为，施工时间为天， ∴甲队的工作量为， 同理，乙队的工作效率为，施工时间为（天）， ∴乙队的工作量为， ∴甲队的报酬为（万元），乙队的报酬为（万元）， ∴甲队的报酬为万元，乙队的报酬为万元． 【点睛】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． 5．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【答案】(1)7米 (2)10天 【分析】（1）设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量； （2）根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得，， 解得， 所以甲工程队每天掘进7米． （2）解：（天）； ∴甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键． 【典型例题四 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）生活中处处都有数学，一家服装店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的9折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售12件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价为120元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，这种服装每件的标价为x元，根据按这种服装每件标价的9折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售12件的销售额相等列出方程求解即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价为x元， 由题意得，， 解得， 答：这种服装每件的标价为120元． 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 【答案】该运动上衣的成本价为200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由折扣的定义，根据售价=成本+利润，即可列出方程． 【详解】设该运动上衣的成本价为x元， 根据题意得： 解得． 答：该运动上衣的成本价为200元． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）随着3D打印技术越来越成熟，家用3D打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用3D打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元，若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元．求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【答案】每台甲型打印机的进价为4000元，每台乙型打印机的进价为3000元． 【分析】此题考查一元一次方程的应用．根据总价=数量×单价，设每台乙型打印机的进价为元，则每台甲型打印机的进价为元，由若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元列方程即可， 【详解】解：设每台乙型打印机的进价为元，则每台甲型打印机的进价为元， 依题意得：，解得， 每台甲型打印机的进价为， 答：每台甲型打印机的进价为4000元，每台乙型打印机的进价为3000元． 4．（22-23七年级上·江苏·周测）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，其中成人票是每张8元，学生票是每张5元，筹得票款6950元．求成人票售出多少张． 【答案】成人票售出650张，学生票售出350张． 【分析】设售出的成人票为张，根据等量关系：筹得票款6950元，列出方程求解即可． 【详解】解：设售出的成人票为张，依题意有 ， 解得， ． 答：成人票售出650张，学生票售出350张． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 5．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏．盈亏多少． 【答案】盈利49元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．正确理解正负数的意义；设星期六为元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和，根据等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设星期六为元，则：， ， ， 因为49为正数，故星期六是盈利，盈利49元， 答：星期六是盈利49元． 【典型例题五 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）某中学举办的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分．小强考了68分，求小强答对了多少道题？ 【答案】16道 【分析】设小强答对了道题，根据条件列出关于的方程，解出即可． 【详解】解：设小强答对了道题． 依题意，列方程得， 解得． 答：小强答对了16道题． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，从题目中列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023·安徽·一模）2019年国际泳联第十八届世界游泳锦标赛7月28日晚在韩国光州落下帷幕．中国队共获得了枚奖牌，其中铜牌枚，金牌比银牌多枚，本次大赛中国队共获得了多少枚金牌? 【答案】本次大赛中国队共获得了枚金牌 【分析】设本次大赛中国队共获得了枚金牌，则银牌为() 枚，列方程即可求解． 【详解】设本次大赛中国队共获得了枚金牌． 由题意可列方程 解得：． 答：本次大赛中国队共获得了枚金牌． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出金、银牌的数量是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）为响应阳光体育运动的号召，学校足球社团组织队员进行了足球友谊赛，每场比赛均决出胜负，每队胜一场得3分，负一场扣2分．已知甲队在参与的8场比赛中最终得到9分，则甲队胜了多少场？ 【答案】5场 【分析】本题考查一元一次方程应用，考查了学生的理解题意能力，先设出胜的场数，以总分作为等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设甲队胜了，那么负了场，根据题意得： 解得， 答：甲队胜了5场． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【答案】该班级胜负场数分别是场和场； 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键，设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为41分，再建立方程求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 5．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 44 (1)根据表格，比赛规则为：答对1道题得 分，答错或不答1题扣 分； (2)求出C同学答对的题数，并将表格补充完整． 【答案】(1)5，2； (2)答对12道题，表格见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解表格得出答对1题及答错或不答1题的得分是解题的关键： （1）根据A学生答对20道题得100分求出答对1道题得分，再利用B学生 的得分求出答错或不答1道题得分； （2）设C同学答对x道题，列得方程，求出x即可． 【详解】（1）∵A学生答对20道题得100分， ∴答对1道题得分， ∴答错或不答1题扣分， 故答案为：5，2； （2）设C同学答对x道题， ， 解得， ∴答对12道题， 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 12 8 44 【典型例题六 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】七年级（1）班共有66名学生 【分析】根据全班同学人数不变以及“将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人”列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． （名） 答：七年级（1）班共有66名学生 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程． 2．（22-23七年级上·北京·期末）列方程解应用题：我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数与车数． 【答案】共有39人，15辆车． 【分析】设有辆车，根据两个乘坐方式下，总人数相同建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设有辆车， 由题意得：， 解得（辆）， 则总人数为（人）， 答：共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 3．（22-23七年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 用纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过页时，每页收费元；复印页数超过页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元，复印页数为多少时，两处的收费相同？ 【答案】复印页数为页时，两处的收费相同． 【分析】设复印页数为x页时，两处的收费相同，根据两处的收费相同列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设复印页数为页时，两处的收费相同． 根据题意得： 解得： 答：复印页数为页时，两处的收费相同． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 4．（22-23七年级上·天津滨海新·期末）国庆节期间，甲、乙两商场以相同价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出的部分打八五折收费；在乙商场累计购物超过元后，超出的部分打九折收费．设小华预计累计购物x元（）． (1)计算一下，小华预计累计购物多少元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同？ (2)如果小华预计累计购物元的商品，她选哪个商场购物比较合适？说明理由． 【答案】(1)500元 (2)甲商场，理由见解析 【分析】（1）根据题意表示出两个商场的费用，列方程即可； （2）分别求出在两个商场的费用比较大小即可． 【详解】（1）解：设小华累计购物x元（），到两个商场购物实际所付的费用相同． 根据题意，得 ． 整理，得， 解得 ． 答：小华累计购物500元商品时，到两个商场购物实际所付的费用相同． （2）解：当累计购物600元商品时， 在甲商场购物所付的费用为（元）， 在乙商场购物所付的费用为（元）． 因为 ， 所以小华选甲商场购物比较合适． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 5．（22-23七年级上·湖北咸宁·期末）公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟再付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算． (1)如果一个月的通话时间为100分钟，按甲种方式应付话费多少元？按乙种方式应付话费多少元？ (2)若某月两种方式付费相同，求该月通话时长： (3)如果某人一个月的通话时间在300到400分钟之间，此人如何选择更合算的付费方式？请自接给出合理化的建议． 【答案】(1)甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元 (2)一个月通话360分钟时两种方式的费用相同 (3)通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算；当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算；当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算 【分析】（1）甲：0.15元/分钟×时间；乙：18+0.10元/分×时间； （2）设一个月通话x分钟时两种方式的费用相同，根据题意可得方程18+0.10x＝0.15x，解方程即可； （3）根据（2）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：甲：（元 乙：（元 答：甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元． （2）解：设一个月通话分钟时两种方式的费用相同， 由题意得： 解得 答：该月通话时长360分钟两种方式付费相同； （3）解：由（2）可知，当通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算， 当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算； 当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系，列出方程是解题的关键． 【典型例题七 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24六年级上·上海闵行·期中）一个数的减去，再加上等于，求这个数． 【答案】 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可，本题主要考查一元一次方程的运用，掌握解一元一次方程的方法（移项、合并同类项、系数化为）是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， ∴， 移项得，，整理得，， 系数化为得，， ∴这个数是：． 2．（22-23六年级上·上海奉贤·期中）一个数与的积等于与的差，求这个数． 【答案】 【分析】根据题中文字描述，得到等量关系，设出未知数，根据等量关系列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：一个数与的积等于与的差， 设这个数为，则， 解得，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决问题，读懂题意，准确找到等量关系列出方程，掌握解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 3．（22-23七年级上·北京·期中）列方程解应用题 有一列数，按一定规律排列成1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，……其中某三个相邻数的和是﹣1701，这三个数各是多少？ 【答案】这三个数依次是． 【分析】先找出这列数的排列规律：每一个数都等于它前面一个数乘以，再设这三个相邻数中的第一个数是，从而可得第二个数是，第三个数是，然后根据“三个相邻数的和是”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：观察可知，这列数的排列规律：每一个数都等于它前面一个数乘以， 设这三个相邻数中的第一个数是，则第二个数是，第三个数是， 由题意得：， 解得， 则，， 答：这三个数依次是． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确发现这列数的排列规律是解题关键． 4．（2023·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【答案】142857 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原数的1后五位数是x，那么根据“六位数左端的数字是1，”可表示这个六位数是：；根据“把左端的数字1移到右端，”可表示这个新六位数是：；再根据“新数=原数×3”可列方程为：，据此即可解答． 【详解】解：设原数的1后五位数是x，则这个六位数是，则新的六位数可表示为，由此可得方程： ， 解得． 答：原数是142857． 5．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）【阅读理解】利用一元一次方程将化成分数，设，则， ∵，∴，化简得，解得，∴． (1)请参照上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程． (2)尝试类比这种方法，把循环小数化为分数为____________．（直接写结果） 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了无限循环小数转化为分数的方法，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程，解方程即可． （1）设，方程两边都乘10，转化为，求出其解即可； （2）设，方程两边同乘100，转化为，求出其解即可． 【详解】（1） 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 【典型例题八 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）把一瓶的盐水倒入底面周长是厘米，高是厘米的圆柱形水杯中，最多能倒满几杯？（取） 【答案】最多能倒满杯． 【分析】设圆柱形水杯的底面半径为，根据圆柱形水杯的底面周长可求得，进而求得圆柱形水杯的体积． 【详解】设圆柱形水杯的底面半径为． 根据题意，得：． 解得：． 圆柱形水杯的体积． ． ． 答：最多能倒满杯． 【点睛】本题主要考查一元一次方程与实际问题、几何问题，能根据题目中的等量关系得到一元一次方程是解题的关键． 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）一根长米的铁丝围成一个长是宽的倍的长方形，求这个长方形的宽． 【答案】长方形的宽为米 【分析】根据长方形的性质，设宽为，则长为，由周长米即可求解． 【详解】解：设宽为，则长为， ∴， 解方程得，， ∴长方形的宽为米． 【点睛】本题主要考查长方形的性质，与一元一次方程的综合运用，掌握题目的数量关系列方程是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东梅州·开学考试）已知三个角的度数之比为3：4：5，且三个角的和是．求：这三个角的度数各是多少？ 【答案】这三个角的度数分别是 【分析】利用方程思想，列方程求解即可； 【详解】解：设三个角的度数分别为3x，4x，5x， ， 解得， ∴三个角的度数分别是． 答：这三个角的度数分别是． 【点睛】本题考查根据比例关系求角的度数．遇到比例问题通常采用方程思想，列方程进行求解． 4．（22-23六年级上·山东济宁·期末）小红家用10m长的铁丝在墙边围成了一个长方形鸡棚，若鸡棚的长AB比宽BC多5m，且宽的一边有一扇1m宽的门，求该鸡棚的面积． 【答案】鸡棚的面积为． 【分析】设长方形的宽，则，根据题意，列出方程求解，然后求面积即可得． 【详解】解：设长方形的宽，则， 根据题意可得：， 解得：，， 即宽，长， ∴面积为：， 答：鸡棚的面积为． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 5．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 【答案】不符合实际情况，理由见解析 【分析】 本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键；设篱笆的长为米，宽为米，再利用篱笆总长为35米建立方程求解，再检验即可． 【详解】解：设篱笆的长为米，宽为米 ∴， 解得：， ∵米米，不符合实际情况． 【典型例题九 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东惠州·期中）已知的和为13，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ； 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确的列出方程，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）把一批图书分给七年级（5）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余25本，若每人分4本，则缺30本，这个班有多少学生？ 【答案】这个班有55名学生 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，设这个班有x名学生，根据题意分别表示这批图书本数，根据这批图书的本数不变方程，求解即可． 【详解】 解：设 这个班有x名学生 ， 解得， 答：这个班有55名学生 3．（22-23七年级下·海南海口·期中）为响应政府号召，海口市某中学组织学生下乡做公益活动，把一些助农书籍分给某村村民阅读，如果每户分5本，则剩余20本；如果每户分6本，则还缺20本．这个村有几户村民？ 【答案】40户 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这个村有户村民，根据书籍的数量一定，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设这个村有户村民，由题意，得：， 解得：； 答：这个村有40户村民． 4．（2023·安徽合肥·三模）为了防控疫情，某区抽调党员干部下沉社区支持防疫工作，今年5月份，该区下派的268名党员中，男性党员比女性党员的3倍少12人，求男性党员的人数？ 【答案】男性党员人数为198人． 【分析】设女性党员人数为x人，则男性党员人数为（3x－12）人，根据“该区下派的268名党员”列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设女性党员人数为x人，则男性党员人数为（3x－12）人， 由题意可得：x＋（3x－12）＝268， 解得x＝70， 3x－12＝3×70－12＝198（人）， 答：男性党员人数为198人． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 5．（22-23七年级上·福建福州·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？ 【答案】共有7人． 【分析】设共有x人，根据该物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有x人， 根据题意得：， 解得：． 答：共有7人． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键． 【典型例题十 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过吨，每吨按2元收费，超过吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 【答案】王老师家三月份用水吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解决问题的关键．设王老师家三月份用水x吨，根据题意即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设王老师家三月份用水x吨， 根据题意：， 解得：， 答：王老师家三月份用水吨． 2．（22-23七年级上·湖北恩施·期末）某学校9月的水费为元，电费比水费的2倍多40元，10月的水费比9月多支出了25%，电费比9月节约了25%． （1）用表示该校9月的电费是多少元？ （2）用表示该校10月的水、电费各是多少元？ （3）如果该校10月的水、电费共1130元，那么10月的水电费与9月相比超支或节约了多少元？ 【答案】（1）元；（2）元；（3）10月水电费比9月节约了110元 【分析】（1）根据题意即可列出代数式； （2）根据题意即可列出代数式； （3）根据该校10月的水、电费共1130元，列出方程求出x，再求出各月的水电费即可比较求解. 【详解】（1）9月的水费为元，则电费是元. （2）10月的水费为，即元. 10月的电费为，即元. （3）由题意列方程： . 解得， . ∴10月水电费比9月节约了110元. 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解. 3．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某地实行居民生活用电按阶梯标准收费： ①若每户每月不超过60度的用电量，则按m元/度收费； ②若每户每月超过60度，但不超过100度，则超过60度的部分每度加价0.2元，未超过的部分按①的标准收费； ③若每户每月超过100度，则超过100度的部分按每度在m元的基础上加价0.3元收费，未超过100度的部分按②的标准收费． （1）用含m的式子表示用电90度时所需缴纳的电费． （2）小辉家今年9月份用电150度，缴纳电费203元，求m的值． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）按照②的标准计算即可； （2）按照③的标准列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）用电90度，超过60度，但不超过100度，按照②的标准计算， 所需缴纳的电费为：， （2）小辉家今年9月份用电150度，缴纳电费203元， 按照③的标准计算可列方程为，， 解得，， 答：m的值为1.2． 【点睛】此题考查了列代数式和一元一次方程应用，明确不同度数电费的算法，准确列出方程是解决本题的关键． 4．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2元/ m3计算：月用水量超过20 m3时，其中的20 m3仍按2元/ m3计算，超过部分按2.6元/ m3计算．设某户家庭月用水量x m3 月份 4月 5月 6月 用水量 15 17 a (1)用含x的式子表示： 当时，水费为______；当时，水费为______； (2)小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小花家6月份用水量a的值？ 【答案】(1)2x元；元 (2) 【分析】（1）分类讨论：当0≤x≤20时，水费为2x元；当x＞20时，水费为[20×2+2.6（x﹣20）]元； （2）小花家4月份，5月份共交水费30+34＝64，则可知6月份交了53元，则a＞20，可列出方程求出a的值． 【详解】（1）解：当时，水费为2x元； 当时，水费为元； 故答案为：2x元；元． （2）解：由题意，小花家4月份和5月份共交水费（元）， 则6月份交水费（元）， ， ∴6月份用水量大于20吨， 设小花家6月份的用水为a吨，则超过20吨的部分为（）吨， ∴， 解得：． 答：小花家6月份用水25吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，用代数式表示数量并建立等量关系是解题关键． 5．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量 360 立方米及以下，价格为每立方米 2.53 元 年用天然气量超出 360 立方米，不足 600 立方米时，超过 360 立方米 部分每立方米价格为 2.78 元 年用天然气量 600 立方米以上，超过 600 立方米部分价格为每立方 米 3.54 元 例：若某户 2019 年使用天然气 400 立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：2.53×360+2.78×(400-360) =1022（元） （1）若小明家 2019 年使用天然气 300 立方米，则需缴纳天然气费为 元（直接写出结果）； （2）若小红家 2019 年使用天然气 560 立方米，则小红家 2019 年需缴纳的天然气费为多少元？ 【答案】（1）759；（2）1466.8元 【分析】（1）依题意可知，小明家天然气用量在第一档，列算式计算可得； （2）依题意可知，小红家天然气用量在第二档，列算式计算可得； 【详解】（1）根据题意可知，若小明家2019年使用天然气300立方米， 则需缴纳天然气费为：2.53×300=759（元）； 故答案为：759 （2）若小红家2019年使用天然气560立方米， 则小红家2019年需缴纳的天然气费为：2.53×360+2.78×（560-360）=1466.8（元）； 答：小红家2019年需缴纳的天然气费为1466.8元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用的知识，解答此类题目确定费用档位是关键，属基础题． 【典型例题十一 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）七年级某班学生参加体育活动，原来每组5人，后来根据需要重新分组，每组9人，结果比原来减少4组，问原来分了多少组？这个班级共有学生多少人？ 【答案】原来分成9组，这个班共有学生45人． 【分析】设原来共有x组，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来共有x组，则 所以这个班有学生人， 答：原来分成9组，这个班共有学生45人． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 2．（22-23七年级上·湖北黄石·阶段练习）列方程解应用题： 2018年元月初，我国中东部地区普降大雪，某武警部队战士在两个地方进行救援工作，甲处有130名武警部队战士，乙处有70名武警部队战士，现在又调来200名武警部队战士支援，要使甲处的人数比乙处人数的2倍多10人，应往甲、乙两处各调来多少名武警部队战士？ 【答案】应往甲处调去140名，往乙处调去60名武警部队战士 【分析】设应往甲处调来x名武警部队战士, 则向乙处调来(200-x) 个武警部队战士, 根据调派后甲处的人数比乙处人数的2倍多10人, 即可得出关于ェ的一元一次方程, 解之即可得出结论. 【详解】设应往甲处调去x名武警部队战士，则向乙处调去(200－x)名武警部队战士． 根据题意，得130＋x＝2(70＋200－x)＋10， 解得x＝140， ∴200－x＝60. 答：应往甲处调去140名，往乙处调去60名武警部队战士． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程式解题的关键. 3．（2024·陕西宝鸡·二模）春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 【答案】从写“福”字的同学中调20人去写春联 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设从写“福”字的同学中调人去写春联，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设从写“福”字的同学中调x人去写春联， 根据题意得，解得． 答：从写“福”字的同学中调20人去写春联． 4．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为153本． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲捐书 本，则乙捐书 本，丙捐书为本，根据他们共捐374本，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为本， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴，，， 答：甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本．． 【典型例题十二 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【答案】(1)， (2) (3)不能 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到数据的规律，列出正确的方程是本题的关键． （1）设中间的数为，其他四个数分别为，即可得最小的数和最大的数； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，可求为，可得是的倍数，则在第列，则这个数的和不可能是； （4）根据表中数据分别求出五个数的最大值和五个数的最小值，在作差即可． 【详解】（1）设中间的数为，其他四个数分别为，则最小的数，最大的数为 ， 故答案为： （2）由（1）得: ， 解得， 答：这个数中间的数为； （3）不能，理由为： 由 （1）得:， 解得， ， ∴是第列的数， ∴这个数的和不可能是； （4）当这个数的和最大时，，则， ， 当这个数的和最小时 ，则 ， ， 故答案为:． 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确表示出对应的4个数是解题的关键． （1）根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可； （2）设被框住的最小的数为x，假设被框住的4个数的和能等于100，则，解方程求出x的值，进而求出其他三个数，看是否符合日历的特点即可． 【详解】（1）解：被框住的最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴被框住的这4个数的和为， 故答案为：； （2）解：设被框住的最小的数为x， 假设被框住的4个数的和能等于100， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意， ∴被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为． 3．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和能是124，最小的数为25，理由见解析 【分析】（1）根据框中数的规律写出其他三个数分别为，和，相加即可； （2）根据第一问结论列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵框中最小的数为x， ∴另外3个数为，和． ∴4个数的和为； （2）框中4个数的和能是124， 根据题意得：， 解得， ∴最小的数为25． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据列表找到框中四个数的规律． 4．（23-24七年级上·江苏·周测）下图是某月份的月历，由图回答下列问题：    (1)如果十字框框出的5个数的和为55，那么十字框中间的数是多少？ (2)十字框框出的5个数的和可以是110吗？ 【答案】(1)11 (2)不可以，理由见解析 【分析】（1）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为55”列方程求解； （2）设十字框中间的数是，根据“十字框框出的5个数之和为110”列方程求解，再根据月历中的位置判断即可． 【详解】（1）解：设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∴十字框中间的数是11； （2）设十字框中间的数是， 由题意可得：， 解得：， ∵22在最右边的位置， ∴十字框框出的5个数之和不可以是110． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 5．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）如图，这是2022年11月份的日历，小康在此日历上用一个“十字”框出了5个数，若框出的5个数中最大数与最小数的和为30，求这5个数的和．    【答案】 【分析】设最大数为，则其余四个数分别为，，，，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设最大数为，则其余四个数分别为，，，， 根据题意得， 解得， ∴最大数为22， ∴5个数分别为8，14，15，16，22． 这5个数的和为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，表示出每个数，根据题意列出方程． 【典型例题十三 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）小红和爸爸现在年龄之和是岁，年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 【答案】小红今年年龄是岁，爸爸今年年龄是岁． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小红今年年龄是岁，爸爸今年年龄是岁．根据题意可列方程求解． 【详解】解：设小红今年年龄是岁，爸爸今年年龄是岁． 由题意得：， 解得：， ∴ 答：小红今年年龄是岁，爸爸今年年龄是岁． 2．（2024·陕西榆林·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为5，求输入x的值． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是能准确理解并运用程序规定计算方法进行运算．根据题意，得，再求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 即输入x的值为2． 3．（2024·吉林长春·一模）如图，天平的两个盘内分别盛有102g和96g的糖，问应从盘A中拿出多少糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 【答案】从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设从盘A中拿出糖放到盘B中，根据两者所盛糖的质量相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从盘A中拿出糖放到盘B中，由题意，得： ， 解得：； 答：从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等． 4．（23-24七年级上·陕西铜川·期末）为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人剪10张，则剩余6张彩纸未剪；若每人剪12张，则缺少6张彩纸．这个小组的学生共有多少人？ 【答案】这个小组的学生共有6人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据纸张的数量为定值，列出方程即可．设美术兴趣小组共有x人，则由每人做10张，则剩余6张彩纸未剪，得到计划剪纸的数量为；由每人剪12张，则缺少6张彩纸，得到计划剪纸的数量为；再建立方程求解即可； 【详解】解：设美术兴趣小组共有x人，则 ∴； 解得：． ∴这个小组的学生共有6人． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）在物理学中，华氏温度与摄氏温度之间存在着如下的关系： (1)一个人的体温有可能达到吗，试说明理由？ (2)如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？ 【答案】(1)一个人的体温是有可能达到，理由见解析 (2)此地早晨的华氏温度是 【分析】（1）把代入，计算出c的值即可得到答案； （2）从题干中挖掘出已知条件：，然后将其代入求值即可． 此题主要考查了一元一次方程的应用，代数式的求值，关键是正确理解题意，掌握人的体温范围． 【详解】（1）设对应．有， 解得 即约等于． 答：一个人的体温是有可能达到的． （2）设对应．有． 即等于． 答：此地早晨的华氏温度是． 【典型例题十四 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【答案】21人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中钱的总数列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程， 解得：， 即合伙人有21人． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【答案】15人分112两银 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理清数量关系、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设有x人，然后根据题意列出方程求得x的值，进而求得银的两数． 【详解】解：设有x人， 由题意可得：，解得： 则银两． 答：15人分112两银． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 【答案】共有39人出行，15辆车． 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题． 【详解】解：设有辆车，由题意得： ． 解得 ∴ 答：共有39人出行，15辆车． 4．（2024·安徽合肥·二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 5．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 【变式训练1 行程问题(一元一次方程的应用)】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米．A、B两地相距多少千米？ 【答案】900千米 【分析】本题考查了相遇问题．速度×时间=路程，设A、B两地相距x千米，总路程÷相遇时间=两车速度和，甲行完全程用了（）小时，也是乙车用的时间，总路程÷甲车用的时间=甲车速度，乙车行了（）千米，乙车路程÷乙车用的时间=乙车速度．根据甲车速度+乙车速度=两车速度和，列出方程解答即可． 【详解】解：设A、B两地相距x千米． 则 解得： 答：A、B两地相距900千米． 2．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论． 【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）甲、乙两站间的路程为，一列慢车从甲站开出，每小时行驶，一列快车从乙站开出，每小时行驶． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？ 【答案】(1)两车同时开出，相向而行，相遇． (2)两车同时开出，同向而行，快车才能追上慢车 【分析】本题考查了一元一次方程的行程应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据速度乘时间等于路程进行列式，解方程，即可作答． （2）根据速度乘时间等于路程，再结合路程差的关系进行列式，解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设两车同时开出，相向而行，经过x小时相遇， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，相向而行，相遇． （2）解：设快车经过才能追上慢车， 依题意，得，解得， 答：两车同时开出，同向而行，快车才能追上慢车． 【变式训练2 配套问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有80名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或150个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排48个工人制盒身，32个工人制盒底． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设人制盒身，则人制盒底，根据一个盒身配两个盒底列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设人制盒身，则人制盒底， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：安排48个工人制盒身，32个工人制盒底． 3．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9，15 (2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒 【分析】本题考查一元一次方程的应用 （1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用100张原材料板材裁剪型纸板，用30张原材料板材裁剪型纸板，能做225个纸盒． 【变式训练3 工程问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合做，还需几天完成这项工程？ 【答案】3天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 设还需x天完成这项工程，根据甲先做2天，则甲做了，则乙做了，然后再根据两人完成整个工程，列方程计算即可． 【详解】解：设还需x天完成这项工程． 解得 答：还需3天完成这项工程． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）某大厦用无人智能配送车给大厦里的工作人员配送快递．若配送车A单独送，3小时才能送完；配送车B单独送，4小时才能送完．如果两辆车同时配送，多少小时可以将这些快递送完．（用方程解） 【答案】小时 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题． 将配送总量看成单位“1”，A单独送3小时才能送完，则A车1小时完成总量的；B单独送4小时才能送完，则B车1小时完成总量的；设x小时可以将这些快递送完，根据效率和时间工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设x小时可以将这些快递送完．根据题意，得 答：如果两辆车同时配送，小时可以将这些快递送完． 3．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 【变式训练4 销售盈亏(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得的利润，求该商品每件的进价． 【答案】该商品的进价是250元/件 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系“售价进价利润”，能根据等量关系列出方程是解决此题的关键. 【详解】设该商品的进价是x元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：该商品的进价是250元/件． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）超市销售甲、乙两种商品，乙种商品的单价比甲种商品少元．由于市场供需变化，超市决定将甲种商品提价，乙种商品降价，调价后，乙种商品的单价是甲种商品的一半．求调价后甲种商品的单价． 【答案】元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，设调价前甲种商品的单价是元，则乙种商品的单价是元，根据题意，得． 【详解】设调价前甲种商品的单价是元，则乙种商品的单价是元． 根据题意，得 解得 调价后甲种商品的单价为：(元)． 答：调价后甲种商品的单价是元． 3．（2024·吉林·二模）根据图中两姐妹的对话记录，求姐姐购买一部华为手机的预算为多少元？ 【答案】姐姐购买一部华为手机的预算为7000元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设姐姐购买一部华为手机的预算为元，根据题意列方程解决即可． 【详解】设姐姐购买一部华为手机的预算为元， 根据题意，得， 解得． 答：姐姐购买一部华为手机的预算为7000元． 【变式训练5 比赛积分(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方程求解即可． 【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 2．（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 【答案】9场 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据积分等于胜场积分负场积分列方程解题即可． 【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场， 答：辽宁队在常规赛中负了场． 3．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场记2分，负一场记1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用， （1）设胜一场记分，则负一场记分，根据表格列方程求解即可； （2）设胜场数是，负场数是，根据题意算出的值，结合实际情况即可求解． 【详解】（1）解：设胜一场记分，则负一场记分， 根据题意得：， 解得， ， 答：胜一场记2分，负一场记1分； （2）解：胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数是，负场数是， 依题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴不符合题意， ∴胜场总积分不能等于负场总积分． 【变式训练6 方案选择(一元一次方程的应用)】 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数． 【答案】一班有36名学生 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意，设有名学生，打8折的钱数打9折的钱数，列方程即可． 【详解】解：设一班有名学生， 由题意可知：， 解得：， 答：一班有36名学生． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）电信部门推出两种电话计费方式如表： A B 月租费元月 通话费元分钟 当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？ 【答案】当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．设当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多，根据题意列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】设当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多， ， 解得 ， 即当通话分钟时，按两种计费方式的收费一样多． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）在“十一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据表中的信息，解答后面的问题： 票价 成人：每张35元； 学生：按成人票价 5 折优惠； 团体票（16 人以上含16人）：按成人票价6折优惠． 大人门票是每张 35 元，学生门票 5 折优惠，我们一共 12人，共需 350元． 爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生 (2)购买16张门票更省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据“一共12人，共需350元”列方程求解； （2）计算当购买 16 张门票时的花费，再比较大小． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得， 解得， ∴， 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生； （2）解：购买16张门票更省钱 理由：买 16 张票需要花费（元）， ∵， ∴购买16张门票更省钱 【变式训练7 数字问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西榆林·三模）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的十位上数字为x，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是37． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解把无限循环小数化为分数过程是解题的关键． （1）模仿题意的把无限循环小数化为分数过程来把无限循环小数化为分数，即可作答． （2）若是一个整数部分为0，小数部分都是循环的无限循环小数，得到关于的与有关的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 由 所以 解得： ， 于是； （2）解：∵我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，）， ∴ 解得： ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）我们在前面章节的学习中已经知道，单独的一个数可以用一个字母来表示，例如，可以用a表示3，b表示5，x表示56等等，但对于一个几位数，用组成它的各个数位上的数字来表示它却不是这样简单的事，比如，用a、b、c分别表示三位数123的百位、十位和个位上的数，不能写成abc，这样会误认为是三个字母所表示的数相乘了，而要表示成：． 阅读以上材料，请解答下面的问题： 一个两位数，十位数字比个位数字小3，若把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165，求原两位数．设其十位数字为x，请列出方程， 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意可得原两位数的个位数字为，从而得到原两位数为，交换后的两位数为，再由“把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165”，列出方程，即可． 【详解】解：根据题意得：原两位数的个位数字为， ∴原两位数为， ∴交换后的两位数为， ∵把这个两位数的十位数字与个位数字交换，所得的两位数与原两位数的和为165， ∴． 【变式训练8 几何问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，大矩形由5个全等的小长方形和1个边长为的正方形拼成，求大长方形的周长．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先根据题意得到小长方形的长为，设1个小长方形的宽为，根据2个长等于3个宽加上正方形的边长列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知小长方形的长为．                 设1个小长方形的宽为， 则， 解得， ∴大长方形的宽， ∴大长方形的周长． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，求原正方形的边长． 【答案】 【分析】设出大正方形的边长为，用大正方形的面积减去小正方形的面积使其等于，即可求出的值．此题考查了正方形的剪纸问题，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．能够正确找到题目中的等量关系，是解决此题的关键． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 即， 解得：， 则原正方形的边长为． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边；八四一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为120cm，宽为33cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．    【答案】边的宽为，天头长 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设天头长，则地头长，则左、右边的宽为，根据题意得列方程即可得到结论． 【详解】解：设天头长，则地头长， 根据题意得， 解得， ， 答：边的宽为，天头长． 【变式训练9 和差倍分问题(一元一次方程的应用)】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【答案】(1)经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗 (2)小康此时种植了25棵树苗 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． （1）设小时他俩一共可以种植27棵树苗，根据两人的工作总量是种植27棵树苗，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗，根据两人的工作时间相同，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设小时他俩一共可以种植27棵树苗， 由题意得：， 解得：3， 答：经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗， 由题意得：， 解得：， 则， 答：小康此时种植了25棵树苗． 3．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可． 【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个， 根据题意得：， 解得，， 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个． 【变式训练10 电费和水费问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？ 【答案】 【分析】本题考查考查一元一次方程的实际应用，根据5月份用电100度，共交电费56元，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）某市一学校“社会实践兴趣小组”做了一下调查：下表是该市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米， 用水量/立方米 单价/（元/立方米） a 超出40的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费28.8元，求a的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费155.2元，请问该用户用水多少立方米？ 【答案】(1)a的值为2.88 (2)该商家用水50立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可； （2）先判断用水量超过立方米，然后列出关于x方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 答：a的值为； （2）解：∵用水40立方米时，水费为， ∴， ∴， 解得． 答：该商家用水50立方米． 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）某城市对居民用水实行三级阶梯水价，收费标准如表： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过立方米 2 超过立方米且不超过立方米的部分 a 超过立方米的部分 4 (1)若小明家去年1月份用水量是立方米，他家应缴费 元． (2)若小明家去年2月份用水量是立方米，缴费元，请求出用水在立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米． 【答案】(1) (2) (3)他家8月份的用水量是立方米 【分析】本题考查了一元一次方程在阶梯收费问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）计算即可求解； （2）由题意可列方程，据此即可求解； （3）设他家8月份的用水量是立方米，根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：由表格数据可得：他家应缴费：元， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：设他家8月份的用水量是立方米， 则， 解得：， ∴他家8月份的用水量是立方米． 【变式训练11 比例分配(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级下·天津·期中）10位同学在植树节这天共种了26棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，则男生和女生分别有多少人？ 【答案】男生6人，女生4人 【分析】设男生x人，则女生（10-x）人，根据共种了26棵树苗列方程求解即可． 【详解】解：设男生x人，则女生（10-x）人，根据题意， 得3x+2（10-x）=26， 解得：x=6， 10-x=10-6=4（人）， 答：男生6人，女生4人． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 2．（22-23六年级下·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 【答案】六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册 【分析】设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册，根据他们共捐了374册，列方程求出x，即可得出这三个班级各捐多少册． 【详解】解：设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册， 依题意有：， 解得， ∴，，， 答：六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【答案】60 【分析】设共有客人位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有客人人，依题意可得：． 解之得：． 答：共有客人60人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式训练12 日历问题(一元一次方程的应用)】 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表，若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】设圈出的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，，再根据这5个数的和为120建立方程，解方程求出的值，由此即可得出结论． 【详解】解：设圈出的正中间的数为，则其他四个数分别为，，，， 由题意得：， 解得， 则这5个数分别为， 因为四月没有31号， 所以在某年四月的日历表，若圈出5个数，不存在这5个数的和为120． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 2．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图1是2022年1月的月历． (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？如果可以，请写出这三个数． (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请通过列式计算说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)三个数之和能为36，这三个数是5，12，19； (2)①t不能等于92，理由见解析；②t存在最大值，最大值为84． 【分析】（1）设三个数中中间的一个数为x，根据日历中同一列上下相邻的数相隔7表示另外两个数，根据三个数之和为36列出方程，进而求解即可； （2）①设“7”字型框中最小的数为y，根据日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7表示另外三个数，根据四个数之和为92列出方程，进而求解即可； ②根据2022年1月的月历表，可求出t的最大值． 【详解】（1）解：三个数之和能为36，理由如下： 设三个数中中间的一个数为x， 根据题意得：， 解得， 则． 答：三个数之和能为36，这三个数是5，12，19； （2）解：①t不能等于92，理由如下： 设“7”字型框中最小的数为y， 根据题意得：， 解得， 此时，超出了月历的范围，不合题意舍去． 故t不能等于92； ②根据表格可知，t的最大值为． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 3．（22-23七年级上·黑龙江鹤岗·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ (1)在上图的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)月历中，横行上相邻两数之差（大数减去小数）为1，竖列上相邻两数之差（大数减去小数）为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【分析】（1）观察月历即可得答案； （2）设这一竖列上连续的三个数分别为x-7、x、x+7，根据三个数的和为72列方程即可解答． 【详解】（1）解：月历中，横行上相邻两数之差（大数减去小数）为1，竖列上相邻 两数之差（大数减去小数）为7． （2）解：设这一竖列上连续的三个数分别为、x、 根据题意，得， 解得． 所以，． 答：这三天分别是17号、24号、31号 【点睛】此题考查一次方程的应用，解题的关键是掌握月历的特点，根据已知列方程． 【变式训练13 其他问题(一元一次方程的应用)】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）某文具店的A牌钢笔比B牌钢笔每只贵10元，小彬买了3支A牌钢笔、2支B牌钢笔，一共花了130元．B牌钢笔每支多少钱？ 【答案】B牌钢笔每支20元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设B牌钢笔每支元，根据A牌钢笔比B牌钢笔每只贵10元，小彬买了3支A牌钢笔、2支B牌钢笔，一共花了130元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设B牌钢笔每支元，则：A牌钢笔每支元，由题意，得： ， 解得：； 答：B牌钢笔每支20元． 2．（2024·安徽合肥·一模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度 【答案】慢引线燃烧得速度为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设慢引线的速度为，根据“引线的总长达到了15cm”列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设慢引线的速度为，则快引线燃烧的速度为， ， 解得：， 答：慢引线燃烧得速度为． 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）某快餐店有线上和线下两种消费方式．2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是．2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与2022年相比，年收入总额增长了，其中线上收入增长了．求该快餐店2023年的线下收入的增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设2022年线上收入万元，线下收入万元， 则，解得：， 则，， 即：2022年线上收入20万元，线下收入30万元， 设该快餐店2023年的线下收入的增长率为， 则，解得：， 答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为． 【变式训练14 古代问题(一元一次方程的应用)】 1．（2023·安徽六安·模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【答案】清酒2斗，醐酒有2斗． 【分析】设清酒x斗，则醐酒有斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有斗． 根据题意，得， ∴， ． 答：清酒2斗，醐酒有2斗． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 2．（2023·安徽淮南·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程． 【答案】198里 【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为里，依次往前推，第一天走的路程为里，根据每天的路程加起来为378里，列方程即可解答． 【详解】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 依题意，得：， 解得：， ，（里）， 答：此人第一和第六这两天共走了198里． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确地用未知数表示每一天走的路程是解题的关键． 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 【答案】醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶 【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数． 【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$