精品解析：广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试 （时间120分钟，共150分） 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2. 下列各组向量中,可以作为基底的是 A. B. C. D. 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 5. 设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则与不垂直 6. 已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A 与独立 B. 与独立 C. 与独立 D. 7. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为内一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部逸对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对应的点在复平面的第三象限 C. 为纯虚数 D. 10. 在平行四边形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 12. 如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若.，则动点的轨迹长度是 D. 过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 三､填空题（每小题5分，共20分）. 13. 已知向量，，若，则__________. 14. 是关于的方程的一个根，则实数__________. 15. 对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________. 16. 在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________. 四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，正明过程或验算步骤）. 17. 的内角的对边分别为，且满足. （1）证明：为等腰三角形 （2）若，求的面积. 18. 为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）求甲运动员的样本数据第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （3）射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由. 注：一组数据的平均数为，它的方差为 19. 如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： （1）证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 （2）平面平面. 20. 一个不透明袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜 （1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的. （2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 21. 四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成的角的正切值； （3）求钝二面角余弦值. 22. 在中，内角对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试 （时间120分钟，共150分） 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法法则、和虚部概念计算即可. 【详解】，虚部为-2， 故选：. 2. 下列各组向量中,可以作为基底的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可 【详解】由题,作为基底的向量不共线,当,,若,则, 对于选项A,,与任意向量共线,故A错误； 对于选项B,,故与不共线,故B正确； 对于选项C,,故,故C错误； 对于选项D,,故,故D错误, 故选:B 【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角. 【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角， 因为为正三角形，所以与所成的角为， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 4. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平均数和方差公式计算即可． 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 则，， 所以的平均数是， 方差是 故选：A. 5. 设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则与不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间的点、线、面的位置关系可依次判断各选项. 【详解】对于A，缺少条件，错误； 对于B，与夹角不固定，错误； 对于C，可能会出现，错误； 对于D，若，又，所以，这矛盾，故与不垂直，正确. 故选：D 6. 已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A. 与独立 B. 与独立 C. 与独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算各事件及相应交事件的概率，结合独立事件的定义，验证各选项. 【详解】， 有， 即两两独立，ABC正确； 但，故D错误. 故选：D. 7. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故选：C 8. 已知为内一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，方法一：延长至点，令，从而可得三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故. 故选B： 二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部逸对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对应的点在复平面的第三象限 C. 为纯虚数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数模的计算判断A；根据复数的几何意义判断B；根据复数的乘除法判断CD. 【详解】A.，错误 B.，对应的点在复平面的第三象限，正确 C.，为纯虚数，正确 D.，正确 故选：BCD 10. 在平行四边形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，选择基向量，求出的值.对于A，只需利用平面向量基本定理分解即得；对于B，由A结论，利用向量的模长公式计算即得；对于C，将与分别用表示，计算数量积即得；对于D，利用投影向量定义理解计算即得. 【详解】 如图，设则 对于A项，故A项正确； 对于B项，由A项可得，，两边取平方， ，则，故B项错误； 对于C项，因，， 则故C项正确； 对于D项，在上的投影向量为故D项错误. 故选：AC. 11. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图众数的定义判断选项A；补全频率分布直方图求指定组的频率判断选项B；由频率计算频数判断选项C；由频率分布直方图平均数的算法判断选项D. 【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确； 对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误； 对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体， 总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确； 对D,样本平均数为，D选项正确. 故选：ACD. 12. 如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若.，则动点的轨迹长度是 D. 过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可. 【详解】对于选项，因为，所以， 由余弦定理可知， 即，解得， 所以，即，同理可得， 又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点， 所以，故错误； 对于选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②， 圆与相交于点，与相交于点， 过点作，垂足为，，垂足为， 为上靠近点四等分点，则，， 又，由勾股定理得， 由于，所以，故， 故动点的轨迹长度是，故C错误； 对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有， 平面，平面，平面， 同理平面，，平面 所以平面平面， 所以即为平面截该四棱台所得截面多边形， ，所以， 所以截面多边形的面积为，故D正确， 故选：AD. 【点睛】方法点睛：空间图形中的轨迹问题，根据已知条件判断轨迹形状，再根据形状求轨迹长度；截面问题，先由截面的特征，结合已知的平行和垂直关系，作出截面图形，由图形求面积. 三､填空题（每小题5分，共20分）. 13. 已知向量，，若，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接求解. 【详解】，则，则或， 故答案为：或. 14. 是关于的方程的一个根，则实数__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由方程的两个根为共轭复数，利用韦达定理求的值. 【详解】若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数， 即为该方程的两根，由韦达定理，. 故答案为：10. 15. 对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________. 【答案】 ①. 54 ②. ## 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数与方差的计算公式代入计算，即可求解. 【详解】设分别为总样本均值和方差， 则， ， 故答案为：；. 16. 在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体外接球得半径公式求出半径，再求出外接球体积及三棱锥体积，最后求出比列即可. 【详解】由于，故. 将三棱锥补形为边长分别为的长方体， 则其外接球半径， 故. 故答案为：. 四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，正明过程或验算步骤）. 17. 的内角的对边分别为，且满足. （1）证明：为等腰三角形 （2）若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用两角差的正弦公式即可； （2）利用余弦定理即可得到，再求出，最后利用三角形面积公式即可. 【小问1详解】 因为，结合正弦定理边角关系， 所以，则. 又，所以， 故，即，则为等腰三角形. 【小问2详解】 由，则， ，即， 因为，则， 所以. 18. 为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）求甲运动员的样本数据第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （3）射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由. 注：一组数据的平均数为，它的方差为 【答案】（1）10 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的含义，即可求得答案； （2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案； （3）分析甲乙两人的平均值以及方差的大小，结合两人的成绩提升情况，即可得答案. 【小问1详解】 根据题意可知，把甲的数据按从小到大排列如下： ， 因为 所以第9个数据是第85百分位数， 所以第85百分位数为10. 【小问2详解】 ， ， ， ； 【小问3详解】 由（2）知， 平均数 方差 命中9环及9环以上次数 甲 7 4.6 3 乙 7 1.2 1 （i）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且，则乙的成绩比甲稳定； （ii）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强. （iii）乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生； 故确定人选时，甲更有潜力. 19. 如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： （1）证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可得证四点共面；与是两条相交的直线，证明直线过它们的交点即可得证三线共点. （2）证明平面和平面即可根据面面平行的判定定理得证平面平面. 【小问1详解】 分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. 【小问2详解】 分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 20. 一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜 （1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的. （2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况，结合游戏方式，即可求出答案； （2）确定甲要获胜，他先得4分有几种情况，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况， 记游戏1与游戏2的样本空间分别为， ， ，，， 记“在游戏1中甲获胜”，记“在游戏2中甲获胜” ，， 故游戏1是公平的. 【小问2详解】 记“甲获得第局游戏胜利”，，记"“甲获得比赛胜利” 由（1）， 21. 四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成的角的正切值； （3）求钝二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得平面，进而根据面面垂直的判定求证， （2）根据线面垂直可得是与平面所成角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可由向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：四边形为菱形，， 为等边三角形，， 在中，是中点，， 平面平面， 平面平面， 平面， 平面平面平面. 【小问2详解】 平面斜线在平面内的射影为， 即是与平面所成角的平面角， 平面平面， 在中，， 在中，， 平面平面， 在中，， 与平面所成角的正切值为. 【小问3详解】 作中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建系 设分别为平面PCB，平面法向量 ，即，取，即 ，即，取，即 ， 则钝二面角的余弦值为 其他建系方法（i）：作中点，以为轴，为轴，为轴建系 设分别为平面PCB，平面法向量 ，即，取，即 ，即，即 ， 则钝二面角的余弦值为 其他建系方法（ii）：作中点，以轴，为轴建系 设分别为平面PCB，平面法向量 ，即，取，即 ，即，，即 ， 则钝二面角的余弦值为 22. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； 【小问2详解】 设，设，则， 在中，，即 中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$