专题05 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 一元二次方程90道计算题专训（9大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 指定方法解一元二次方程 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 一元二次方程根与系数关系计算 题型九 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 5．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知m，n是方程的两个根．求的值． 7．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的根，求代数式的值． 10．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 19．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 20．（18-19九年级·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 22．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 24．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）解方程：（用配方法） 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 26．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 27．（23-24九年级上·江西赣州·期末）用配方法解方程． 28．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 30．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 32．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 33．（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）（公式法） 34．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）用公式法解方程：． 35．（2023九年级上·全国·专题练习） （公式法）． 36．（23-24九年级上·河南南阳·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求m的值； (2)用公式法解这个方程． 37．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 38．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 39．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程（用公式法） 40．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 42．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 43．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 44．（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，__________，__________；（请写出过程） (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 45．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 46．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 47．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 48．（22-23九年级上·山东临沂·期中）我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 49．（21-22九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，． 再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得． （1）解下列方程： ① ② （2）根据材料给你的启示，求函数的最小值． 50．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【经典例题六 一指定方法解元二次方程】 51．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 52．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 53．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 54．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 55．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用指定方法解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用因式分解法）． 56．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 57．（22-23八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 58．（22-23八年级下·山东威海·期末）按指定方法解方程： (1)；（因式分解法） (2)．（配方法） 59．（21-22九年级上·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 60．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）用指定方法解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【经典例题七 换元法解一元二次方程】 61．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 62．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 63．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 64．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 65．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 66．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： (1)； (2)； (3)． 67．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： (1)填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 68．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程， 我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得 当时，． 当时，． 故原方程的解为． 请借鉴上面的方法解方程． 69．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 70．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，解得，．当时，则，无实数根；当时．即，则，． 根据上述方法，完成下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 【经典例题八 一元二次方程根与系数关系计算】 71．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 72．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 73．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 74．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 75．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 76．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 77．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 78．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 79．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 80．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题九 一元二次方程新定义计算】 81．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 82．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 83．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 84．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 85．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 86．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 87．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 88．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 89．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 90．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程90道计算题专训（9大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 指定方法解一元二次方程 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 一元二次方程根与系数关系计算 题型九 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 答：的值为 4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案． 【详解】是方程 的一个根， ， ， ， ． 5．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知m，n是方程的两个根．求的值． 【答案】 【分析】将m代人方程可得，然后再对变形得到，然后整体代人即可解答；掌握一元二次的解以及代数式的灵活变形是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 7．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将代入关于的一元二次方程，求得，然后将其整体代入整理后的代数式求值即可． 【详解】解：根据题意知，， 所以， 则： ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先将代入方程得到，再由，代入即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴ 整理得，． ∴ ． ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法进行求解． 10．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】2022 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可； （2）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴， ∴， ∴，∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键． 18．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）移项，得，根据平方根的定义，得．即，． （2）根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 19．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得．即，． （2）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 20．（18-19九年级·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无实数根；（2），． 【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解； （2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可. 【详解】（1）移项、合并同类项，得， 两边同除以4，得． 所以原方程没有实数根． （2）原方程可化为， 移项、合并同类项，得， 两边开平方，得． 所以，． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可. 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 22．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 24．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 26．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 27．（23-24九年级上·江西赣州·期末）用配方法解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握配方法解方程是关键． 【详解】解：方程变形得：，即， 变形得：， 开方得：或， 解得：． 28．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 30．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 【答案】(1)② (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 32．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 33．（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）（公式法） 【答案】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． 34．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：公式法，熟记公式是解答本题的关键． 35．（2023九年级上·全国·专题练习） （公式法）． 【答案】， 【分析】根据公式法的步骤即可求解． 【详解】解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟悉一元二次方程的求根公式是关键． 36．（23-24九年级上·河南南阳·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求m的值； (2)用公式法解这个方程． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程； （1）根据一元二次方程的定义可得，，解方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴， ∴， ∵， 解得：； （2）解：当时，原方程为， ∴，， ∴， 解得：． 37．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)无实数根 (2)无实数根 【分析】(1)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． (2)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． 【详解】（1），，，， ∴， ∴该方程无实数根． （2）整理为一般式，得：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根． 【点睛】本题考查了解方程，先计算根的判别式是解题的关键． 38．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． （2）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． 【详解】（1），，，， ∴． （2）整理得：， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 39．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程（用公式法） 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 40．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 方程可化为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 42．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 43．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 44．（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，__________，__________；（请写出过程） (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 【答案】(1)1， (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程、含二次根式的方程； （1）解一元二次方程即可得到答案； （2）两边同时平方，将原方程转化为一元二次方程，求出解后再代入原式检验即可． 【详解】（1）解：方程，整理得， ∴，， 因式分解，得：， 解得：，； 故答案为：1，； （2）解：， 两边平方，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， 解得：，， 经检验，为增根，应舍去． 原方程的解为：． 45．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 46．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据题意将进行换元后分解因式即可． （2）设分解因式后得到或，带回后求未知数的值即可． 【详解】（1）解：设， （2）解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【点睛】本题主要考查利用整体思想及换元法解因式分解来求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键． 47．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 48．（22-23九年级上·山东临沂·期中）我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是，． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，． ∴原方程的解是，，，． 【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． 49．（21-22九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，． 再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得． （1）解下列方程： ① ② （2）根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【答案】（1）①，，；②；（2） 【分析】（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案 ②方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案； （2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）①∵ ∴ ∴，， ②∵ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴（舍去） ∴的解为： （2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得， 当时， ∵x为实数     ∴     ∴且； 当时，得：，方程有解（x的值存在）； ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解． 50．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【经典例题六 一指定方法解元二次方程】 51．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 52．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 53．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 54．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 55．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用指定方法解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用配方法解一元二次方程即可； （2）直接利用平方差公式因式分解解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 56．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 57．（22-23八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用分解因式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：； （3）解： 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 58．（22-23八年级下·山东威海·期末）按指定方法解方程： (1)；（因式分解法） (2)．（配方法） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 整理得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题时要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 59．（21-22九年级上·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为， 等式两边加，得， 由完全平方公式得，， ∴或， 所以原方程的解为，． （2）移项得，， 提取公因式，得， 则或， 解得，． （3）， ∵， 由求根公式得， 所以原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键． 60．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）用指定方法解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，然后确定各项系数，代入求根公式即可得到解方程； （2）先移项，然后提取公因式，令各因式为0，即可解方程． 【详解】（1）解：原方程化为：， ，，， ， ∴， ，； （2）解：原方程化为：， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法步骤是解题关键． 【经典例题七 换元法解一元二次方程】 61．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 62．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）令则原方程可化为，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解：令则原方程可化为， 解得：，， 即或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，换元法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 63．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 64．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将原方程中的用代替，用y代替，即可解答； （2）设，方程可化为，求解n的值后根据进行取舍； （3）设，则原方程可化为：，求解得，，从而或，求解即可． 【详解】（1）∵设，那么， ∴原方程变形为． 故答案为：． （2）设， 原方程可化为， 解得： 即， ∵，， ∴． （3）， 设，则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， 解得：，． 当时，，即， ∵， ∴该方程无解． ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．读懂材料，理解换元法的转化思想是解题的关键． 65．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 故答案为：； （2）设，则，原方程化为 解得， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为； 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 66．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题： 数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，． 请利用以上方法解下面方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则，解得，根据，得出，求解即可； （2）设，则，解得：，分别求解当时，和当时，方程的解即可； （3）设，则，求解，分别求解当时和当时方程 的解即可． 【详解】（1）解：， 设， ， ， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设， ， ， 或， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上：． （3）解：， 设， ， ， ， 或， ， 经检验，，是方程的解， 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是方程的解； 综上：． 【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是正确理解题目所给换元法解方程的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 67．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： (1)填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】（1）由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想； （2）令，则，原方程可化为：．据此即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想 故答案为：换元，转化 （2）解：令，则 原方程可化为： ∴ 解得： 当时， ∴； 当时，，不成立 ∴原方程的解为： 【点睛】本题考查了利用换元法将高次方程转化为一元二次方程求解．注意计算的准确性． 68．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程， 我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得 当时，． 当时，． 故原方程的解为． 请借鉴上面的方法解方程． 【答案】 【分析】解方程，应将看作一个整体，利用换元法解； 【详解】解：设，则， 原方程可变为， ， ； 当时，， 即， ； 当时，， 即 此方程无解； 故原方程的解为． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，属于中考常考题型． 69．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 70．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，解得，．当时，则，无实数根；当时．即，则，． 根据上述方法，完成下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)该方程的解为，，， 【分析】（1）根据题意化简即可； （2）设，然后解关于y的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程； 【详解】（1）解：， 故转化为一元二次方程为：； 故答案为：． （2）设，则原式左边． 故原方程可化为． 因式分解，得，即或， 解得，． 当时，则，解得，． 当时，则，解得，． 综上，该方程的解为，，，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． 【经典例题八 一元二次方程根与系数关系计算】 71．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 72．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 73．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 74．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 75．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 76．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 77．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】(1)详见解析 (2)0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 78．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 79．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，， ． 80．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【经典例题九 一元二次方程新定义计算】 81．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 82．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案． 【详解】解：当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 综上所述，方程的解为：． 83．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 【答案】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：（舍），， 当时，， 解得：，不符合题意， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 84．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 85．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 86．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 87．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程的两根，即可得出结果； （2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线上，然后当于点M时，取得最小值． 【详解】（1）解： 解得，， ∴； （2）解： 解得：， ∵， ∴点M在直线l：上， ∴当于点M时，取得最小值． 如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点M、于点H，则，    ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键． 88．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 89．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 90．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$