24.2.1 点和圆的位置关系 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第二十四章 圆 24.2.1 点和圆的位置关系 知1－讲 感悟新知 知识点 点和圆的位置关系 1 点和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有： 点和圆的位 置关系 特点 等价关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点 P 在圆外 d﹥r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点 P 在圆上 d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点 P 在圆内 d﹤r 感悟新知 知1－讲 拓宽视野 一个圆将平面分为三个部分： ①圆的外部； ②圆上； ③圆的内部. 感悟新知 特别提醒： 符号“⇔ ”读作“等价于”，它表示从符号“⇔” 的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为因果关系 . 知1－讲 知1－练 感悟新知 如图 24.2-1，已知⊙ O 的半径 r= 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=OD=3 cm，在直线 l 上有 P， Q， R 三点，且有PD=4 cm， QD=5 cm， RD=3 cm，那么 P， Q， R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？ 例1 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：如图 24.2-1，连接 OR， OP， OQ. ∵ PD=4 cm， OD=3 cm，且 OD ⊥ l，∴ OP=5 cm=r. ∴点 P 在⊙ O 上 . ∵ QD=5 cm，∴ OQ= cm﹥5 cm. ∴点 Q 在⊙ O 外 . ∵ RD=3 cm， ∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点 R 在⊙ O 内 . 知1－练 感悟新知 1-1.在矩形 ABCD 中，AB=8， AD=6，以顶点D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A， B， C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是_________ . 6<r<10 知2－讲 感悟新知 知识点 圆的确定 2 1.过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示 过一点 A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 感悟新知 知2－讲 过两点 A， B 作圆 连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同 一条直线 上的三点 A， B，C作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE 和FG 相交于点O，以O为圆心，以OA(或OB，OC)的长为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆 一个 感悟新知 知2－讲 方法点拨 经过不在同一条直线上的任意四点不一定能作出圆，要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上;否则，第四个点不在圆上. 感悟新知 2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆 . (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆 . 知2－讲 “确定”是“有且只有”的意思. 知2－练 感悟新知 如图 24.2－2， 点 A， B， C 在同一条直线上， 点 D在直线 AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例2 知2－练 感悟新知 解题秘方：紧扣两点：(1)四个点中取三个点的组数；(2)去掉三个点共线的组数 . 知2－练 感悟新知 解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，在A，B，C， D四个点中取三个点的组数为：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 而A，B，C三个点在同一条直线上，因此过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是3. 答案：C 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，小明为检验M，N，P，Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM长为半径的圆上的点是(　　) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q C 知2－练 感悟新知 2-2. 平面直角坐标系内的三个点A(4，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)，______确定一个圆(填“能”或“不能”). 不能 感悟新知 知3－讲 知识点 三角形的外接圆 3 1. 三角形的外接圆  经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 .“接”是指三角形的三个顶点都在圆上 . 感悟新知 知3－讲 2. 三角形的外心  (1)定义： 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 . (2)性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径 . 感悟新知 知3－讲 3. 三角形外接圆的作法 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 知3－讲 感悟新知 特别提醒 三角形外心的位置： 锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心是斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部. 感悟新知 知3－练 [中考·邵阳] 如图24.2-3，⊙O是等边△ABC的外接圆， 若AB=3，则⊙O的半径是 (　　) A. B. C. D. 例3 知3－练 感悟新知 思路导引： 解：如图24. 2-3 连接OB，过点O作OE⊥AB 于点E. 易得∠OBE=30°.设⊙O的半径为r，则OE= . 又∵ OE⊥AB，∴ BE=AB=. ∴()2+()2=r2，解得r = (负值不合题意，已舍去). 答案：C 知3－练 感悟新知 3-1.已知点O是△ABC的外心， 且AO=3， 则AO+BO+CO =_______. 3-2.若直角三角形的两条直角边长分别为 3，4，则直角三角形的外接圆的面积为 _____ (结果保留 π ) . 9 感悟新知 知4－讲 知识点 反证法 4 1.定义  假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法 . 感悟新知 知4－讲 2. 步骤  (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 知4－讲 感悟新知 警示误区 1. 假设否定的是命题的结论，而不是已知条件. 2. 在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证. 感悟新知 知4－练 如图 24.2-4， AB， CD 是⊙ O 内非直径的两条弦 . 求证： AB 与 CD 不能互相平分 . 例4 知4－练 感悟新知 解题秘方：利用垂径定理的推论结合垂线的唯一性证明 . 证明： 如图 24.2-4，设 AB， CD 交于点 P，连接 OP. 假设 AB 与 CD 互相平分，则 CP=DP， AP=BP. ∵ AB， CD 是⊙ O 内非直径的两条弦， ∴ OP ⊥ AB， OP ⊥ CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴假设不成立 .∴ AB 与 CD 不能互相平分 . 知4－练 感悟新知 4-1. 用反证法证明 “ △ABC 中至少有两个锐 角”， 第一步应为( ) A. 假设△ ABC 中至多有一个锐角 B. 假设△ ABC 中有一个直角 C. 假设△ ABC 中有两个直角 D. 假设△ ABC 中有两个锐角 A 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 圆外、 圆上、 圆内 三角形的外接圆 确定圆的条件 反证法 课堂小结 π $$