专题1.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题（5大易错）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 9 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 13 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 3．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2014·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（2024·山东泰安·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 3．（2024·山东泰安·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，． (1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求k的值． 3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若两个实数根分别是，，且，求m的值． 4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·期中）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ． 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的长？ (2)当a为何值时，是菱形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 9 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 13 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得，， 故答案为3 3．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故解得， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴这个方程为， 故答案为：，． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2014·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出，且，是解此题的关键．把代入一元二次方程得到，且，求出即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：，且， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义； 把代入方程求出m可能的值，然后根据一元二次方程的定义进一步得出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（2024·山东泰安·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 3．（2024·山东泰安·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的非零实数m，并求出此方程的根． 【答案】(1)且； (2)当时，， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解即可； （2）因为方程的两个根都是有理数．所以根的判别式为有理数，且不为零，可当时，然后代入解方程即可． 【详解】（1）由题意可得， ， 解得， 又， ∴， ∴的取值范围：且； （2）∵方程的两个根都是有理数， ∴为有理数且不为0， 即为有理数且不为0， ∴当时，原方程化为， ∴ ∴或 解得，． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，． (1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件： （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）分当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论k为任意实数值方程，总有实数根； （2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或， ∴底边长为2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长为． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得或， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围； （2）根据根与系数的关系得到，，由题意得出关于的方程，则可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； 的取值范围是． （2）根据题意得，， ，满足， ， ， ， ， 经检验是原方程的根， ， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义． 3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ， 即； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得或， 而， 的值为． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，． 4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)的值为，另一个根为 (2)的值为 【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程得，， 解得 设另一个根为，则， 解得 ∴的值为，另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得或， ∵ ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·期中）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ． 【答案】23 【分析】本题考查了解一元二次方程及三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解一元二次方程，并用三角形的三边关系得出第三边，再利用三角形的周长即可求解． 【详解】解：， 解得：，， 由，则 4、9、14不能构成三角形； 由， 则4、9、10能构成三角形，则三角形周长为． 故答案为：23． 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 【答案】5 【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0． ∴， 解得：k=2． 此时原方程化为， ∴==2，即b=c=2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， ∴△ABC的周长为：1+2+2=5； ②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1， ∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0， 解得k=1， ∴此时方程为， 解得=1，=2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴此情况舍去． 综上所述，所求△ABC的周长为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 2．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 【答案】 2 10 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）把代入方程 得， 解得； （2）方程化为， 解得，， ∵， ∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2， ∴的周长为． 故答案为：2，10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，也考查了三角形三边的关系．注意等腰三角形的问题要分类讨论，考虑周全． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ ∴ 解得， ∴是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的长？ (2)当a为何值时，是菱形？ 【答案】(1)AD的长为5 (2) 【分析】（1）根据题意可知，是关于x的方程的实数根，将代入原方程可求出a值，进而可得出原方程为，再利用因式分解法，即可求出方程的两个实数根，进而可得出的长； （2）利用菱形的性质，可得出关于x的方程有两个相等的实数根，根据，可求出a的值，将其代入原方程中，解之可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出此时菱形的周长． 【详解】（1）解：∵的长为2， ∴根据题意，得． 解得． ∴方程为：． 解得，． ∴求得AD的长为5． （2）解：∵是菱形， ∴． ∴ 解得，． 经检验，当时，解得，不合题意，舍去． ∴当时，是菱形． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，求出a的值；（2）利用菱形的性质及根的判别式，求出a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$