专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系直接求值】 1 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 2 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 4 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 5 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 9 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 12 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系直接求值】 例1．（2024·山东淄博·二模）若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式训练】 1．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知实数是方程的两根，则 ． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例2.（23-24八年级下·江苏泰州·期末）方程的两根分别为，，且，则 ． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根．则的值为 ． 2．（23-24八年级下·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例3. （2024·江苏无锡·二模）设是方程的两个根，且，则 ． 【变式训练】 1．（2024·山东潍坊·一模）关于x的方程的两实根为和，若，则 ． 2．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【变式训练】 1.（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例6. （23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 2．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）以2和为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 3．（2024·广东梅州·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西晋城·期末）已知方程的两根分别是矩形相邻两边长，则矩形的周长是（    ） A．6 B．5 C．10 D．8 5．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 二、填空题 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 ． 7．（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 9．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 10．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 12．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 14．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系直接求值】 1 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 2 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 4 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 5 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 9 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 12 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程根与系数的关系直接求值】 例1．（2024·山东淄博·二模）若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知实数是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解：∵实数是方程的两根， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点二 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例2.（23-24八年级下·江苏泰州·期末）方程的两根分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为，，， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根．则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是根与系数的关系，根据题意两根之和为，两根之积为，然后化简 得代入数值即可得到答案． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：8． 2．（23-24八年级下·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 将代入方程，得， 即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点三 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例3. （2024·江苏无锡·二模）设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ 解得 故答案为：6 【变式训练】 1．（2024·山东潍坊·一模）关于x的方程的两实根为和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由一元二次方程根与系数的关系可得，代入求得答案． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的方程有两实根， ∴，且， ∴且， ∴． 故答案为： ． 2．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解，再根据判别式选取符合要求的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两个实数根，， ， ， ， ， 或， 当时，方程，， 此时，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，， 此时，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 【考点四 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 【变式训练】 1.（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 2.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 【考点五 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例5. （23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；D、由，可得出、异号，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】解：A、， ，结论正确，符合题意； B、、是关于的方程的两根， ， 的值不确定， 结论不一定正确，不合题意； C、、是关于的方程的两根， ，结论错误，不合题意； D、， 、异号，结论D错误，不合题意． 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程的两个根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：，， ∵， ， 解得：，故， 故选：C． 2.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 【考点六 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例6. （23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）计算出判别式，再配方即可判断； （2）利用根与系数关系得，把配方为，便于利用根与系数的关系，解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程， ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ， ∴， 即， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，配方法的应用，正确运用配方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：； （2）由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得：，， ∵， 的值为． 2．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ， ， 解得， 即的值为1． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)k的值为8，方程的另一个根为4 (3)k的值为 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得，，再由得到，所以，然后解一次方程即可． 【详解】（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即的值为8，方程的另一个根为4； （3）根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即的值为． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）以2和为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，取找出b、c的值，由此即可得出以2、为根的一元二次方程，理解根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为2和 则，， ∴当时，，， ∴该一元二次方程可以为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故选：B． 3．（2024·广东梅州·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，，故A正确，B、C错误， ∴，故D错误， 故选：A． 4．（23-24九年级上·山西晋城·期末）已知方程的两根分别是矩形相邻两边长，则矩形的周长是（    ） A．6 B．5 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，结合周长的意义解答即可． 【详解】∵方程的两根分别是矩形相邻两边长， ∴两邻边的和为5， 故矩形周长为10， 故选C． 5．（2024·四川乐山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】解：，， ， ， 解得， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的两根之和为，两根之积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：是解题的关键． 根据根与系数的关系得出，求出与的值，然后计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程的两根之和为，两根之积为3， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 8．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 9．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ∴． 故答案为：6． 10．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得：，，结合题意得出或，再分别利用根的判别式验证即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由，可知该方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为， ∵， ∴，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 12．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 14．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】(1)方程是“伴根方程”； (2)或． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； （2）解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$