专题1.4 因式分解法解一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题1.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 3 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 7 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 9 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 11 【考点六 换元法解一元二次方程】 13 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程： (1)． (2)． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （2024·浙江丽水·一模）小红解方程的过程如下： 解：，……① ，……② ，……③ ．……④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） (1)小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； (2)请写出此题正确的解答过程． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得．……第一步 方程两边同时除以，得．……第二步 解得．……第三步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；错误原因是 ； (2)写出正确的解答过程． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）对于实数，，定义运算“”如下：，例如，，若，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）【阅读材料】解方程． 解：设,则原方程可变形为． 当时， 当时，,此方程无实数根． ∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程． 2．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）解方程：． 解：设，则原方程变为：，解得，，． 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴原方程的解为：，，，． 上面解方程的方法简称换元法． 请利用上述方法，解方程： (1)； (2)． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24九年级上·广东中山·期末）对于实数a， b， 定义运算“※” ∶   例如： 若， 则x的值为（     ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）一元二次方程的解为 ． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）方程的解为 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）解方程． (1)． (2)． 14．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 16．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 3 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 7 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 9 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 11 【考点六 换元法解一元二次方程】 13 【过关检测】 16 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或 ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ∴，. 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 方程可化为， 或， 解得． （2）解：， 得， 或， 解得． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （2024·浙江丽水·一模）小红解方程的过程如下： 解：，……① ，……② ，……③ ．……④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)② (2)或，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）观察解方程过程可知，在第②步方程两边直接除以，没有考虑到的情况； （2）先提取公因式得到，据此解方程即可． 【详解】（1）解：观察解方程过程可知，在第②步方程两边直接除以，没有考虑到的情况； （2）解： 或 解得或． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） (1)小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)二，如果则两边不能同时除以； (2)，，过程见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：嘉淇的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案为：二，如果则两边不能同时除以； （2）解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得．……第一步 方程两边同时除以，得．……第二步 解得．……第三步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；错误原因是 ； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，错误运用等式的性质； (2)过程见解析 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程： （1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误； （2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是错误运用等式的性质； 故答案为：二，错误运用等式的性质； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 由 ∴， 解得：或 依题意，这个直角三角形的三边分别为， ∴这个直角三角形的周长为， 故选：C． 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程求解以及与定义新运算的综合，分类讨论是解本题的主要思想．根据方程求得其解为：2或4，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可． 【详解】解：解方程，得或． 当，时，， 当，时，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）对于实数，，定义运算“”如下：，例如，，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据新运算列方程并解方程即可． 【详解】由题意可得， 整理得，， 解得，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握定义的新运算列方程，解方程，是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）【阅读材料】解方程． 解：设,则原方程可变形为． 当时， 当时，,此方程无实数根． ∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解并正确运用换元法是解题的关键． 先设，把原方程变形为关于的方程，解方程得到的值，再代入中求出的值． 【详解】解：设，则原方程可变形为． 解得：， 当时，，解得， 当时，，解得． ∴原方程的解为． 2．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）解方程：． 解：设，则原方程变为：，解得，，． 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴原方程的解为：，，，． 上面解方程的方法简称换元法． 请利用上述方法，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点． （1）设，则原方程化为，然后利用因式分解法求得y，再求出x即可； （2）设，则原方程转化为，然后利用因式分解法求得t的值，再求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 解得：， 当时，则，即，解得：，； 当时，则，即，解得：，； ∴原方程的解为：，，，； （2）解：设，则原方程转化为， ， 或， 解得：， 当时，则，即，解得：； 当时，则，即，解得：； 当，时，， ∴原方程的解为：，． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 4．（23-24九年级上·广东中山·期末）对于实数a， b， 定义运算“※” ∶   例如： 若， 则x的值为（     ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1 【答案】A 【分析】此题主要考查了新定义下实数的运算，解方程，乘方等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据定义，得，整理得， 解方程，得， 故选A． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 二、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先提公因式再令每个因式为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 解得 故答案为： 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法即可解答，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 可得或， 解得或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，根据换元法求解方程作答即可． 【详解】令，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【答案】 是 4或16/16或4 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”； （2）解方程， 可得，， ∵是“倍根方程”， ∴当是8的2倍时，即有， 当8是的2倍时，即有． 故答案为：（1）是；（2）4或16． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 12．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）解方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 或， ． （2）， ， ， 或， 14．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 16．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$