专题21.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题（5大易错）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题21.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 12 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 3．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2014·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．0或4 B．4或8 C．8 D．4 【变式训练】 1．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B．m≤1 C．且 D．m≤1且 2．（2023·福建福州·校考二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 3．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求k的值． 3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若两个实数根分别是，，且，求m的值． 4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 2．（2023春·浙江·八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长为 ． 3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.6 解题技巧专题：一元二次方程常见的易错问题 目录 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 12 【典型例题】 【考点一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得，， 故答案为3 3．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故解得， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴这个方程为， 故答案为：，． 【考点二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 例题：（2014·河北·一模）一元二次方程的一个根为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出，且，是解此题的关键．把代入一元二次方程得到，且，求出即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：，且， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义； 把代入方程求出m可能的值，然后根据一元二次方程的定义进一步得出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 【考点三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．0或4 B．4或8 C．8 D．4 【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立方程，求出值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（舍去）． ∴k的值为4， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 【变式训练】 1．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B．m≤1 C．且 D．m≤1且 【答案】D 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，m≤1，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 2．（2023·福建福州·校考二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则有且，然后求它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得，且， 即， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法． 3．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故m的取值范围且． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 【考点四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得或， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围； （2）根据根与系数的关系得到，，由题意得出关于的方程，则可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； 的取值范围是． （2）根据题意得，， ，满足， ， ， ， ， 经检验是原方程的根， ， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义． 3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)若两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ， 即； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得或， 而， 的值为． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，． 4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)的值为，另一个根为 (2)的值为 【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可； （2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程得，， 解得 设另一个根为，则， 解得 ∴的值为，另一个根为； （2）解：由题意得：， 同时满足即， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得或， ∵ ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【考点五 利用一元二次方程的根与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为 【答案】15 【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长． 【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， 此时能构成三角形，的周长为： 若为底，则，即方程有两个相等的实根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， ∵ ∴此时不能构成三角形，不能计算周长 综上可得：的周长为15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形． 【变式训练】 1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ． 【答案】5 【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0． ∴， 解得：k=2． 此时原方程化为， ∴==2，即b=c=2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， ∴△ABC的周长为：1+2+2=5； ②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1， ∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0， 解得k=1， ∴此时方程为， 解得=1，=2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴此情况舍去． 综上所述，所求△ABC的周长为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 2．（2023春·浙江·八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】13 【分析】由题意可分当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程进行求解即可；当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程有两个相等的实数根，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： ①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程得： ，解得：， ∴原方程为，解得：， ∴这个等腰三角形的三边长为3、3、7，不符合三角形三边关系，故舍去； ②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴原方程为，解得：， ∴这个等腰三角形的三边长为3、5、5，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长为3+5+5=13； 故答案为13． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法与根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法与根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键． 3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则： （1）m的值为 ； （2）的周长为 ． 【答案】 2 10 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）把代入方程 得， 解得； （2）方程化为， 解得，， ∵， ∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2， ∴的周长为． 故答案为：2，10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，也考查了三角形三边的关系．注意等腰三角形的问题要分类讨论，考虑周全． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$