15.1分式 　 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

15.1 分式 第十五章 分式 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 分式的概念 分式有意义和无意义的条件 分式的值为0 的条件 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 知识点 分式的概念 知1－讲 1 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的“三要素”：(1)形如的式子； (2)A，B 为整式；(3)分母B 中含有字母. 知1－讲 2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式与分数区别是分式中含有字母．由于字母可以表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性. 分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 知1－讲 特别解读 1.分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用. 2 .判断一个式子是不是分式，要看式子原本的样子，不能化简后再判断.如：是分式. 3.分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母.特别注意π表示圆周率，是常数. 知1－练 例 1 下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，－2x2，，，，，(3x－y)，， ，. 解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是看分母中是否有字母. 虽然分母中含有字母，但分子不是整式，所以不是分式 知1－练 解: 分式有，，， ； 整式有－2x2，， ， (3x－y)， . π是数字不是字母. 知1－练 1-1. [中考· 怀化] 式子x，，，x2－，，中，属于分式的有(　　) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 B 知2－讲 知识点 分式有意义和无意义的条件 2 1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0时，分式 才有意义. 分母不能为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0. 知2－讲 2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义. 知2－讲 特别提醒 1.分式有(无)意义仅与分母有关，与分子无关. 2.讨论分式有(无)意义，一定要对原分式进行讨论，而不能将原分式化简后再讨论. 3.没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的，即分式中的分母不等于0. 知2－练 [母题 教材P128例1]x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)；(2)； (3)； (4). 例 2 解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义. (1)； (2)； 知2－练 解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式有意义； 当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式有意义； (3)； (4). 知2－练 解：∵无论x取什么值，都有x2＋3 ＞ 0， ∴ x取任何实数，分式都有意义； 当(x－2)(x＋4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时， 分式有意义. 知2－练 2-1.[中考· 广西] 若分式有意义，则x 的取值范围是( ) A. x ≠ －1 B. x ≠ 0 C. x ≠ 1 D. x ≠ 2 A 知2－练 2-2. 下列各式中，无论x 取何值， 分式都有意义的是( ) A. B. C. D. D 知2－练 分式中的x满足什么条件时分式无意义？ 解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义. 例 3 解：要使分式无意义，则分母x2－16＝0， 即x2＝16，解得x＝±4. ∴当x＝±4 时，分式 无意义. 方法总结：1. 求分式有意义时字母的取值范围的方法：根据分式有意义的条件—— 分式的分母不为0 列不等式(组)求解，得分式有意义时字母的取值范围. 2 . 求分式无意义时字母的取值的方法：令分母为0 构造方程，求出相应字母的值，即为分式无意义时字母的取值. 知2－练 3-1. 已知x=2 时，分式无意义，则□所表示的代数式可能是( ) A. x－2 B. x＋2 C. x D. 2x A 知3－讲 知识点 分式的值为0的条件 3 1. 分式的值为0的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时，＝0. 知3－讲 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知3－讲 特别提醒 1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式 的值为0 的条件：A＝0且B ≠ 0，二者缺一不可. 2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母. 知3－练 当x取何值时，下列分式的值为0 ？ (1)；(2)；(3)；(4). 例 4 解题秘方：分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0. (1)； 知3－练 解：由得x＝－2， ∴当x＝－2 时，分式的值为0. (2)； 知3－练 解：由得x =2 . ∴当x =2 时，分式的值为0 . 知3－练 解：∵无解， ∴没有使分式的值为0 的x 的值. (3)； 知3－练 解：由得x=±. ∴当x =±时，分式的值为0 . (4). 知3－练 4-1.[中考· 常州] 若分式的值是0，则实数x 的值是( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 B 知3－练 4-2. 当x＝1时，下列分式的值为0的是( ) A. B. C. D. B 知3－练 4-3. 当x＝________时，分式的值为0. －3 知4－讲 知识点 分式的基本性质 4 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 知4－讲 特别解读 1. 应用此性质时，要理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式. 2. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式. 3.若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括起来. 知4－讲 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示： (1)＝＝－＝－； (2)－＝－＝＝ . 知4－练 [母题 教材P129例2]写出下列等式中未知的分子或分母： (1)=； (2)=； (3)=； (4) =. 例 5 知4－练 解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子. 知4－练 解：(1) (2) (3) (4) 答案：(1)a2－ab (2)x (3)2x (4)(m－n)2 知4－练 知4－练 5-1.[期中·烟台莱州市] 下列式子一定成立的是( ) A.= B.= C. = D.= B 38 知4－练 5-2. 根据分式的基本性质填空： (1)=； (2)=； (3)=； (4)=. 15x a2b m＋n x 知4－练 不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号. (1)；(2)；(3)；(4)－. 例 6 解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变. (1)； (2)； (3)； (4)－. 知4－练 解：＝； ＝－； ＝－； －＝. 知4－练 6-1.[中考·扬州] 分式可变形为( ) A. B.－ C. D. － 6-2. 不改变分式的值， 使分子、分母的第一项系数都是正数，则= __________. D 知4－练 把分式(n ≠ 0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______________. 例 7 缩小为原来的 思路引导： 知4－练 解：把分式(n ≠0)中的m和n同时扩大为原来的2 倍，可将分式变为＝＝= ×，因此分式的值缩小为原来的. 知4－练 7-1. 若x，y(x，y均不为0)的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( ) A. B. C. D. D 知4－练 不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数. (1)；(2). 例 8 思路引导： (1)； (2). 知4－练 解：＝＝； ＝＝. 知4－练 8-1. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数. (1)； 知4－练 (2). 知5－讲 知识点 分式的约分 5 1. 分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分. 知5－讲 特别解读 1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式. 2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式. 3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式. 4.分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变，即“形变值不变” 知5－讲 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 知5－练 约分：(1)；(2)；(3). 例 9 解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分. (1)； (2)； 知5－练 解： ＝＝； ＝ ＝； (3). 知5－练 解：＝＝＝－. 知5－练 9-1. 下列约分正确的是( ) A.=x3 B.= C.=0 D.= B 知5－练 下列各式中，最简分式有_____________. ，，，. 解题秘方：根据最简分式的定义识别. 例10 解：＝＝， ＝ ＝，∴最简分式有和 . 知5－练 10-1. [中考·滨州] 下列分式中， 最简分式是( ) A. B. C. D. A 知6－讲 知识点 分式的通分 6 1. 分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 2. 最简公分母 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 通分的关键是确定几个分式的最简公分母 知6－讲 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 知6－讲 知6－讲 特别解读 约分与通分的联系与区别： 1. 约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变. 2. 约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式. 知6－讲 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 知6－练 把下列各组分式通分： (1)和；(2)和； (3)，和. 例11 解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分. 先因式分解，再取多项式因式的最高次幂. 知6－练 解：最简公分母是12x3y2z3， ＝＝， ＝＝. (1)和； 4和6的最小公倍数是12，x，y，z分别取最高次幂. 知6－练 解：最简公分母是(x＋1)(x－1)， ＝ ＝＝， ＝＝＝. (2)和； 两个多项式的积. 知6－练 解：最简公分母是3(x－y)2， ＝＝＝， ＝－＝－＝－， ＝＝＝. (3)，和. 相同因式的最高次幂 知6－练 11-1. 分式与的最简公分母是_________ . 11-2 .和的最简公分母是 __________． 12a3bc 4(y－1)2 知6－练 11-3. 通分： (1)与； 知6－练 (2)，与. 分式 分 式 分式有意义 的条件 分式的值为 0的条件 分式的基 本性质 约分 通分 解：＝＝； 解：＝＝ 解：最简公分母是3(x＋2)(x－2)． 通分后分别为，－. 解：最简公分母是m(2m＋3)(2m－3)． 通分后分别为， －，. $$