重难点01 与集合有关的参数问题（五大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

重难点01 与集合有关的参数问题 【题型归纳目录】 【方法技巧与总结】 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 【经典题型】 题型一：根据元素与集合的关系求参数 【典例1-1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【变式1-1】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【变式1-2】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【变式1-3】（2024·高一·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：根据集合中元素的个数求参数 【典例2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【典例2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【变式2-1】（2024·高一·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【变式2-2】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【变式2-3】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 题型三：根据集合的包含关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·北京朝阳·期中）设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【典例3-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若，求a的取值范围． 【变式3-1】（2024·高一·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式3-2】（2024·高二·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型四：根据两个集合相等求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【典例4-2】（2024·高一·安徽池州·期中）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【变式4-2】（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则 . 【变式4-3】（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）已知，，且，则 ． 题型五：根据集合的交、并、补求参数 【典例5-1】（2024·高二·吉林四平·期末）设集合，，若，，则 . 【典例5-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知全集，集合，，且，，则 . 【变式5-1】（2024·高一·上海杨浦·阶段练习）设集合，.若，则实数的取值范围为 【变式5-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-3】（2024·高三·天津·开学考试）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式5-4】（2024·高一·浙江湖州·期末）已知，,． (1)当a＝1时，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【过关测试】 1．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2024·高一·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 5．（2024·高一·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 6．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 7．（2024·高一·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 8．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 . 9．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）已知集合，且，则 ． 10．（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数 . 11．（2024·高一·上海普陀·期中）若集合，且，则实数a取值的集合为 12．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，且，则 . 13．（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，若，则 . 14．（2024·高二·湖北黄冈·期末）已知数集，且有下列说法：①；②；③，则满足的数值有 组. 15．（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．（2024·高一·广东佛山·期中）已知集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 18．（2024·高二·重庆大足·期末）设全集,集合,,集合. (1)当时,求,; (2)若,求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 与集合有关的参数问题 【题型归纳目录】 【方法技巧与总结】 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 【经典题型】 题型一：根据元素与集合的关系求参数 【典例1-1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【变式1-2】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 【变式1-3】（2024·高一·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 题型二：根据集合中元素的个数求参数 【典例2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 【典例2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1） 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【变式2-1】（2024·高一·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【变式2-2】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 【变式2-3】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【解析】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 题型三：根据集合的包含关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·北京朝阳·期中）设为全集，集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 （2）由(1)知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为 【典例3-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若，求a的取值范围． 【解析】依题意知，则，其中，故， 记，则在恒成立， 又，故只需，解得， 故a的取值范围是． 【变式3-1】（2024·高一·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 【变式3-2】（2024·高二·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 【变式3-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 题型四：根据两个集合相等求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 【典例4-2】（2024·高一·安徽池州·期中）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【变式4-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则 . 【答案】521 【解析】根据题意可知， ①若正确，则，不合题意； ②若正确，则，不合题意； ③若正确，则，符合题意， 所以. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，，且，则，解得， 因此，. 故答案为：. 题型五：根据集合的交、并、补求参数 【典例5-1】（2024·高二·吉林四平·期末）设集合，，若，，则 . 【答案】 【解析】根据题意和集合的运算可求得答案.设集合，，若，， 由题可知，则. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知全集，集合，，且，，则 . 【答案】-1 【解析】由，，所以，解得： ，，所以，解得： ， 当时，，解得：或，即成立， 当时， ，解得：或，即成立， 所以. 故答案为：-1 【变式5-1】（2024·高一·上海杨浦·阶段练习）设集合，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】∵， ∴， ∵，， ∴当，即时，，符合题意； 当，即时，由得，，解得， ∴实数的范围是， 故答案为：． 【变式5-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，故，即，解得或. 当时，，不满足； 当时，，，满足. 综上有. （2）因为，，故或或 ①当即时，满足， 此时； ②当时，由（1）满足； ③当时，，解得，解得或； 当时，，不满足； 当时，，满足. 综上有 【变式5-3】（2024·高三·天津·开学考试）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 【变式5-4】（2024·高一·浙江湖州·期末）已知，,． (1)当a＝1时，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【解析】（1），解得，故， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 解得：， 所以实数a的取值范围为 【过关测试】 1．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 2．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 4．（多选题）（2024·高一·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【解析】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 5．（2024·高一·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 【答案】或 【解析】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 6．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【解析】由题意，方程只有一个解， 当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解， 只需，解得， 综上，或， 故答案为： 7．（2024·高一·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. 故答案为：. 8．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 . 【答案】，且 【解析】由题意知有两个不等实根， 所以且， 解得，且. 故答案为：，且 9．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】2 【解析】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到， ∴a=2． 故答案为：2 10．（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 即，所以. 当时，，，满足，故. 故答案为：1. 11．（2024·高一·上海普陀·期中）若集合，且，则实数a取值的集合为 【答案】 【解析】由，所以集合可以是， 当时，则，解得； 当时，可得； 当时，可得； 所以取值的集合为. 故答案为：. 12．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，且，则 . 【答案】3 【解析】根据集合，则所对应的元素相同，即可得到方程组，解得即可；因为集合，，且 所以，所以，所以集合，，满足 所以 故答案为：3 13．（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，若，则 . 【答案】 【解析】因为，且， 所以或，则总有， 故答案为： 14．（2024·高二·湖北黄冈·期末）已知数集，且有下列说法：①；②；③，则满足的数值有 组. 【答案】. 【解析】，，，则的取值可以是或. ①时，，，即数组为； ②时，则，或，，即数组为和. 因此，符合题中条件的数组有组，故答案为. 15．（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 16．（2024·高一·广东佛山·期中）已知集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得，所以， 所以或， 因为，所以， （2）因为，，， 所以， 所以实数的取值范围为， 17．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 【解析】（1）， 由可知，， 即，解得：或， 当时，，此时，满足， 当时，，此时，满足. 所以实数的值是或； （2）U=R，A∩(B)=A，，则 ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需，， 将2代入方程得或，将1代入方程得，得， 综上可知，的取值范围是且且 18．（2024·高二·重庆大足·期末）设全集,集合,,集合. (1)当时,求,; (2)若,求实数的取值范围. 【解析】(1)∵ ∴当时, ∵, ∴ (2)∵,∴,或 ∵,且, ∴,或∴,或 所以实数的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$