1.2.1 矩形的性质与判定（第1课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

2.1 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点） 情境&导入 平行四边形有哪些性质？ 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 边 角 对角线 对称性 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 情境&导入 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 探索&交流 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 探索&交流 矩形的性质 1— 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形. 角的大小. 探索&交流 四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角 ∟ 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形. 特别提醒: (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可. 探索&交流 想一想 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 探索&交流 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？ 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 探索&交流 (2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ (3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. D C B A 矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？ 轴对称图形 探索&交流 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB 相交于点O. 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)． ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 探索&交流 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点 O。 求证：AC = BD. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌∠DCB. ∴AC = DB. 探索&交流 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 探索&交流 矩形的性质 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 探索&交流 做一做 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 探索&交流 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO= AC ? ∴BO= BD= AC. 矩形的性质.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 例2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论. 解：四边形 ADCE 是菱形， 证明：∵ AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形 ADCE 为平行四边形. 又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， D 为 AB 中点， ∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形. 例题欣赏 ☞ 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC， ∴∠1=∠A，∠2=∠C. 又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°， ∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°， 故△ABC 为直角三角形. 练习&巩固 1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 练习&巩固 2.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 练习&巩固 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值. 解：连接OP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB， ∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8=12. 在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10， ∴AO=OD=5， ∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24， ∴PE+PF= . 小结&反思 1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质． 2．性质归纳： (1)边的性质：对边平行且相等． (2)对角线性质：对角线互相平分且相 等． (3)对称性：矩形是轴对称图形． EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$