专题15等腰三角形（5大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题16 等腰三角形 考点01 利用等腰三角形求角度 1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（    ） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【分析】由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解； 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 2．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，求出，根据等边对等角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】四边形为矩形 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 考点02 利用等腰三角形求线段长3 3．（2022·湖北荆门·中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(   ) A．20 B．60 C．30 D．30 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝30， ∴∠B＝∠A＝45°， ∴BC＝AC＝30， ∴AB＝， 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键． 4．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 ． 【答案】 【分析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°， ， ， ∴∠BCE=90°-30°=60°， 又， ， ∴∠ECD=45°=∠D， ∴， ， ， ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用． 考点03 等腰三角形与三角函数 5．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 【答案】51 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 考点04 等腰三角形与三角形、四边形 7．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∴，，， 作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：，． 8．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可； （2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可； （3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可； （4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可． 【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作； （2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作； （3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作； （4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作． 9．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 10．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 11．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可． 【详解】证明：为等边的中线，   ， ， ， 【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键． 13．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ．    （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ．    【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 14．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到； （2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 15．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 16．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴， ∴BF=4， ∴， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 17．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在与中， ， ∴≌（SAS）； （2）解：由（1）得， 又∵和都是等腰直角三角形， ∴且， 在中∵且 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 18．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 19．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．    (1)求证：DF=CF； (2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD； （2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在△DCF和△DCO中， ， ∴△DCF≌△DCO（ASA）， ∴DF=DO，CF=CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴DF=CF=OC=OD； （2）解：∵△DCF≌△DCO， ∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6， 又∵OD=OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD=OD=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 20．（2022·湖北武汉·中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S． (1)填空：当，，时， ①如图1，若，，则_____________，_____________； ②如图2，若，，则_____________，_____________； (2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由： (3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小． 【答案】(1)①，25；②4； (2)S= (3)S= 【分析】（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=，利用三角函数求出AE=ADcos30°=6，DF=DE=，BF=DFtan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可； （2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可； （3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可． 【详解】（1）解：①∵，，，是的角平分线， ∴四边形DECF为矩形，DE=DF， ∴四边形DECF为正方形， ∵， ∴∠A=90°-∠B=45°=∠B， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴CD⊥AB，且AD=BD=m, ∵， ∴BD=n=， ∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5， ∴S= ； 故答案为，25； ②∵，，，是的角平分线， ∴四边形DECF为矩形，DE=DF， ∴四边形DECF为正方形， ∵， ∴∠A=90°-∠B=30°， ∴DE=，AE=ADcos30°=6，DF=DE=， ∵∠BDF=90°-∠B=30°， ∴BF=DFtan30°=2， ∴BD=DF÷sin60°=4， ∴BD=n=4， ∴S=， 故答案为：4；； （2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI， ∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°， ∴四边形DGCH为矩形， ∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC， ∴DG=DH， ∴四边形DGCH为正方形， ∴∠GDH=90°， ∵， ∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°， ∴∠FDG=∠EDH， 在△DFG和△DEH中， ， ∴△DFG≌△DEH（ASA） ∴FG=EH， 在△DBG和△DIH中， ， ∴△DBG≌△DIH（SAS）， ∴∠B=∠DIH，DB=DI=n， ∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°， ∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°， ∴S△ADI=， ∴S=； （3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S， ∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC， ∴DP=DQ， ∵∠ACB=60° ∴∠QDP=120°， ∵， ∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°， ∴∠FDQ=∠EDP， 在△DFQ和△DEP中， ， ∴△DFQ≌△DEP（ASA） ∴DF=DE，∠QDF=∠PDE， 在△DBQ和△DRP中， ， ∴△DBQ≌△DRP（SAS）， ∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR， ∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE， ∵DB=DE，DB=DR， ∴△DBF≌△DRE， ∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°， ∴S=S△ADR=． 【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键． 21．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知菱形中，是边的中点，是边上一点． (1)如图1，连接，．，． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，连接，．若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据可证得：，即可得出结论； ②连接，可证得是等边三角形，即可求出； （2）延长交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长． 【详解】（1）（1）①∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴. ②如图，连接. ∵是边的中点，， ∴， 又由菱形，得， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴. （2）如图，延长交的延长线于点， 由菱形，得，， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，而为公共角. ∴， ∴， 又∵， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键. 22．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见解析 (2)[问题拓展] 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【详解】（1）[问题探究]：（1）如图， 中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）[问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点05 等腰三角形与圆 23．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 25．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 26．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 【详解】（1）连接、，   ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2），， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 27．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①3；②2 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径； ②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，   点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图，连接，   是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为； ②由（1）可知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键． 28．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长． 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D． ∴， ∵是等腰直角三角形，，点O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵ ∴， 在中， 连接，过O作于点H， ∴， ∴ ∵， ∴．    【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键． 29．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可． 【详解】如图，连接，， ∵等圆和相交于A，B两点 ∴, ∵和是等圆 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵,, ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键． 30．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(    )    A． B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M，    在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 31．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）    A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论． 【详解】解：由作图得，， ∴为等腰三角形， ∴ ∵∠BCA＝150°， ∴ ∵l1l2 ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键． 32．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案． 【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F． ∵△ABC是等边三角形，BC=2， ∴CF=BF=1． 在Rt△ACF中，． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键． 33．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， ∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4， 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴的长为：＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题16 等腰三角形 考点01 利用等腰三角形求角度 1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（    ） A．60° B．70° C．80° D．90° 2．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 考点02 利用等腰三角形求线段长3 3．（2022·湖北荆门·中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(   ) A．20 B．60 C．30 D．30 4．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 ． 考点03 等腰三角形与三角函数 5．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 考点04 等腰三角形与三角形、四边形 7．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ． 8．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 9．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 10．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    11．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 12．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    13．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 14．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 15．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 16．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 17．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 19．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．    (1)求证：DF=CF； (2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 20．（2022·湖北武汉·中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S． (1)填空：当，，时， ①如图1，若，，则_____________，_____________； ②如图2，若，，则_____________，_____________； (2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由： (3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小． 21．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知菱形中，是边的中点，是边上一点． (1)如图1，连接，．，． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，连接，．若，，求的长． 22．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 考点05 等腰三角形与圆 23．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 25．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 27．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 28．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 29．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 30．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(    )    A． B．7 C．8 D． 31．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）    A．10° B．15° C．20° D．30° 32．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 33．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（    ） A． B． C． D．2 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$