14.3.2 公式法 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

14.3 因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3.2 公式法 知识点 用平方差公式分解因式 知1－讲 1 1. 平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 即：a2－b2＝(a＋b)(a－b). a，b可以是单项式，也可以是多项式 感悟新知 知1－讲 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差. 感悟新知 知1－讲 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式. 2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数之和与两数之差的积的条件后，结果写成这两个数的平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差的形式. 3. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点：系数是平方，指数要成双，减号在中央. 感悟新知 知1－练 例 1 分解因式： (1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1； (3)－＋x4； (4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式. 感悟新知 知1－练 (1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1； (3)－＋x4； 解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)； (a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)； －＋x4 ＝x4－＝ ＝； 看成一个整体 要分解到不能再分解为止 感悟新知 知1－练 解：16(a－b)2－25(a＋b)2 ＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)] ＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b) ＝(9a＋b)(－a－9b) ＝－(9a＋b)(a＋9b). (4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 分别看成一个整体 感悟新知 知1－练 1－1.下列多项式中， 能运用平方差公式分解因式的是(　　) A. a2＋b2 B. 2a－b2 C. a2－b2 D. －a2－b2 C 感悟新知 知1－练 1－2. [期末·重庆合川区]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝_______________. (3m－n)(m－3n) 感悟新知 知1－练 1－3. 分解因式： (1)a2b2－16； (2)100x2－9y2； 解：原式＝(ab＋4)(ab－4)； 原式＝(10x＋3y)(10x－3y)； 感悟新知 知1－练 (3)a4－1； (4)49x2－(5x－2)2. 解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)； 原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)] ＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)． 感悟新知 知2－讲 知识点 用完全平方公式分解因式 2 1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央 感悟新知 知2－讲 完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”. 感悟新知 知2－讲 2. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 感悟新知 知2－讲 3. 公式法分解因式 如果把乘法公式的等号两边交换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用这些公式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 包括用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2 分解因式 感悟新知 知2－讲 4. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了. 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式. 2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解. 3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式. 感悟新知 知2－练 例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________. 解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值. 解：∵ 9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一个完全平方式， ∴ ka＝±2×3a·4＝±24a. ∴ k＝±24. 有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式 ±24 感悟新知 知2－练 2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________． －1或7 感悟新知 知2－练 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2； (3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式. 例 3 感悟新知 (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2； 知2－练 解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2； －6ab－9a2－b2 ＝－(9a2＋6ab＋b2) ＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2] ＝－(3a＋b)2； 感悟新知 (x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81 ＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92 ＝(x2＋6x＋9)2 ＝(x＋3)4. (3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 知2－练 完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底. 解：a2－ab＋b2＝ －2· a·b＋b2＝； 感悟新知 知2－练 3－1. [期末·北京顺义区] 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　) A. x2－2x＋ B. x2－x＋1 C.16x2＋8x＋1 D. x2－6x＋9 A 感悟新知 知2－练 3－2.多项式x2－4x＋4 因式分解的结果是(　　) A. x(x－4)＋4 B. (x＋2)(x－2) C. (x＋2)2 D. (x－2)2 D 感悟新知 知2－练 3－3. 分解因式： (1)4x2＋y2－4xy； (2)9－12a＋4a2； (3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2； 原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2； 原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 感悟新知 知2－练 分解因式： (1)－3a3b＋48ab3； (2)x4－8x2＋16； (3)25x2(a－b)＋36y2(b－a). 解题秘方：先观察有没有公因式，若有，要先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式. 例 4 感悟新知 知2－练 (1)－3a3b＋48ab3； (2)x4－8x2＋16； 解： －3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2) ＝－3ab(a＋4b)(a－4b)； x4－8x2＋16＝[(x＋2)(x－2)]2 ＝(x＋2)2(x－2)2； 感悟新知 知2－练 (3)25x2(a－b)＋36y2(b－a). 解：25x2(a－b)＋36y2(b－a) ＝25x2(a－b)－36y2(a－b) ＝(a－b)(25x2－36y2) ＝(a－b)(5x＋6y)(5x－6y). 感悟新知 知2－练 方法点拨：“一提、二套、三查”是分解因式的步骤 即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是二项式，则考虑用平方差公式，若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底. 感悟新知 知2－练 4－1. [中考·聊城] 把8a3－8a2＋2a进行因式分解， 结果正确的是( ) A. 2a(4a2－4a＋1) B. 8a2(a－1) C. 2a(2a－1)2 D. 2a(2a＋1)2 C 感悟新知 知2－练 4－2. (1)[中考· 扬州] 分解因式：xy2－4x＝____________. (2)[中考·常德] 分解因式：a3＋2a2b＋ab2＝________． x(y＋2)(y－2) a(a＋b)2 感悟新知 知2－练 4－3. 因式分解： (1)－6ab＋3a2＋3b2； (2)y2(2－m)＋x2(m－2)． 解：－6ab＋3a2＋3b2＝3(a2＋b2－2ab)＝3(a－b)2； y2(2－m)＋x2(m－2)＝(m－2)(x2－y2)＝(m－2)(x＋y)(x－y)． 感悟新知 公式法 用公 式法 分解 因式 利用平方差公 式分解因式 利用完全平方 公式分解因式 公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 课堂小结 $$