第1章 集合（章末题型归纳总结）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第1章 集合 章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：集合的基本概念及表示 经典题型二：集合的基本关系 经典题型三：集合的交、并、补运算 经典题型四：利用子集关系求参数 经典题型五：子集、真子集的个数问题 经典题型六：韦恩图的应用 经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题 经典题型八：补集思想及其应用 经典题型九：集合中的创新问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：集合的基本概念及表示 例1．（2024·高一·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 例3．（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 例5．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 例6．（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合  ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 例7．（2024·高一·上海·假期作业）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 经典题型二：集合的基本关系 例8．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 例9．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 例11．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 例12．（2024·高一·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 例13．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．P与Q无包含关系 经典题型三：集合的交、并、补运算 例14．（2024·高二·新疆·学业考试）设全集，集合，，则 . 例15．（2024·高一·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 例16．（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 例17．（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 例18．（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 经典题型四：利用子集关系求参数 例19．（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 例20．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 例21．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 例22．（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 例23．（2024·高一·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 经典题型五：子集、真子集的个数问题 例24．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 例25．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例26．（2024·高一·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 例27．（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 例28．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 经典题型六：韦恩图的应用 例29．（2024·高二·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 例30．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 例31．（多选题）（2024·高一·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 例32．（多选题）（2024·高一·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 例33．（多选题）（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）图中阴影部分用集合表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 例34．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题 例35．（2024·高一·辽宁·期中）已知全集 ，且． (1)求集合M，N； (2)若集合，求实数m的值． 例36．（2024·高一·福建厦门·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)在①；②；③中任选一个条件，求实数的取值范围. 经典题型八：补集思想及其应用 例37．（2024·高一·甘肃临夏·期末）设，函数，的解集A． (1)求集合A． (2)若，，求实数a的取值范围． 例38．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 例39．（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 例40．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 例41．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设集合或，若，则实数a的取值范围是 ． 经典题型九：集合中的创新问题 例42．（2024·高二·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 例43．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 例44．（2024·高一·四川成都·期末）已知A，B是两个非空集合，定义运算，且，，且. (1)若，，求和； (2)若，，求和. 例45．（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)定义且，求． 例46．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 例47．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 例48．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 模块三：数学思想方法 ① 分类讨论思想 例49．（2024·高一·全国·专题练习）设，，B不为空集，，求的值. 例50．（2024·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 例51．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 例52．（2024·高一课前预习）已知集合，，若，则 . ②转化与化归思想 例53．（2024·高一·四川遂宁·期中）设全集，已知集合，集合. (1)求； (2)若且，求实数a的取值范围. 例54．（2024·高一·全国·专题练习）若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为（　　） A．32 B．31 C．16 D．15 例55．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 例56．（2024·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． ③ 数形结合思想 例57．（2024·上海徐汇·高一海市第二中学校考阶段练习）已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 例58．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知是全集，是的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ． 例59．（2024·甘肃白银·高一校考阶段练习）已知全集U和集合A，B如图所示，则 ． 例60．（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 例61．（2024·高一·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合 章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：集合的基本概念及表示 经典题型二：集合的基本关系 经典题型三：集合的交、并、补运算 经典题型四：利用子集关系求参数 经典题型五：子集、真子集的个数问题 经典题型六：韦恩图的应用 经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题 经典题型八：补集思想及其应用 经典题型九：集合中的创新问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：集合的基本概念及表示 例1．（2024·高一·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 例2．（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 例3．（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 例4．（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 例5．（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【解析】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 例6．（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合  ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 【答案】D 【解析】对于①，为空集，是0为元素的单元素集合，故①错误； 对于②，方程的所有解的集合可表示为，故②错误； 对于③，由1，2，3组成的集合可表示为或，故③正确； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误； 所以命题正确的只有③. 故选：D. 例7．（2024·高一·上海·假期作业）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【解析】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）因为第二象限中所有点具有的特征是且， 而第四象限中所有点具有的特征是且， 所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为， 故用描述法：. 经典题型二：集合的基本关系 例8．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以与集合的关系为. 故选：B. 例9．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【解析】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 例11．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 例12．（2024·高一·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【解析】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 例13．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．P与Q无包含关系 【答案】D 【解析】，， 比较和，,分母相同，分子不同， 其中,表示大于等于2的正整数，，表示正奇数， 根据集合的包含关系可知，两个集合没有包含关系. 故选：D 经典题型三：集合的交、并、补运算 例14．（2024·高二·新疆·学业考试）设全集，集合，，则 . 【答案】 【解析】，，则， ，则. 故答案为：. 例15．（2024·高一·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 【答案】或 【解析】因为，所以或. 又，所以或. 故答案为：或 例16．（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 【解析】（1），，，故， ，； （2）或，，， ，. 例17．（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 【解析】（1） 或， ， 或； （2） 或， 所以， 所以； 例18．（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【答案】 【解析】全集，作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，. 故答案为. 经典题型四：利用子集关系求参数 例19．（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【解析】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 例20．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 例21．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 例22．（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 例23．（2024·高一·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 经典题型五：子集、真子集的个数问题 例24．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}， 则中必有两个元素，又是的真子集， 所以集合为，共3个， 故选：A. 例25．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为,，， 所以集合可以是：，，共4个， 故选：C. 例26．（2024·高一·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【解析】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 例27．（2024·高一·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 例28．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 经典题型六：韦恩图的应用 例29．（2024·高二·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 例30．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 例31．（多选题）（2024·高一·江西·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 例32．（多选题）（2024·高一·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 例33．（多选题）（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）图中阴影部分用集合表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由图可得图中阴影部分表示为， 又，，， 故符合题意的有A、B、C. 故选：ABC 例34．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】AD选项，因为，所以，，AD正确； BC选项，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，B正确； 表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故C错误. 故选：ABD 经典题型七：根据集合的交、并、补求参问题 例35．（2024·高一·辽宁·期中）已知全集 ，且． (1)求集合M，N； (2)若集合，求实数m的值． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以， 所以 此时， （2）由（1） 所以 因为，所以， 当时，不满足题意舍去； 当时，满足题意 故集合时， 例36．（2024·高一·福建厦门·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)在①；②；③中任选一个条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，或， 又， 所以. （2）对于A：因为，即或，解得或， 所以或， 若选①，因为，所以， 则或， 解得或，即. 若选②，若，则， 解得， 因为，所以. 若选③，因为，所以， 又或，所以. 解得. 经典题型八：补集思想及其应用 例37．（2024·高一·甘肃临夏·期末）设，函数，的解集A． (1)求集合A． (2)若，，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵， ∴当时，不等式的解为，即； 当时，不等式化为，无解，即； 当时，不等式的解为，即． （2）∵，， ∴，且． 例38．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 例39．（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【解析】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 例40．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【解析】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 例41．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设集合或，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】当时， 则解得． 即时，实数a的取值范围为． 而时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集， 故实数a的取值范围为或． 故答案为: 或. 经典题型九：集合中的创新问题 例42．（2024·高二·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【解析】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 例43．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 例44．（2024·高一·四川成都·期末）已知A，B是两个非空集合，定义运算，且，，且. (1)若，，求和； (2)若，，求和. 【解析】（1），， ，且， ，且； （2），， ，且 ，且或； 例45．（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知集合． (1)求； (2)定义且，求． 【解析】（1）因为， 所以. （2）由于且， 所以或． 例46．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【解析】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 例47．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【解析】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 例48．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】可为、，可为、，有、、， 故，所以集合的所有元素之和为6. 故选：A． 模块三：数学思想方法 ① 分类讨论思想 例49．（2024·高一·全国·专题练习）设，，B不为空集，，求的值. 【解析】因为，， 所以①当时，则， 所以， ②当时，则， 所以， ③当时，则， 所以， 综述：①当即时，， ②当即时，， ③当即时，. 例50．（2024·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 【答案】或. 【解析】已知集合，且， 或 当时，，解得，符合题意； 当时，且， 则或，解得， 综上：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 例51．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【解析】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 例52．（2024·高一课前预习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】由元素的互异性可得， 当时，，解得，舍去； 当时，，此时，， 此时需要满足，即； . 故答案为：. ②转化与化归思想 例53．（2024·高一·四川遂宁·期中）设全集，已知集合，集合. (1)求； (2)若且，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为集合， 由补集的定义可得. （2）因为集合，集合，且， 所以分和两种情况： 若，则有，解得； 若，要使成立，则有，解得， 综上所述：实数a的取值范围. 例54．（2024·高一·全国·专题练习）若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为（　　） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解析】∵集合A共有5个元素， ∴A的真子集的个数为25﹣1＝31． 故选：B． 例55．（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 例56．（2024·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． 【解析】（1）集合， ，其中． 解得：或．           若，则，           将代入得：，           则． 则，则， 当时，，解得， 综上，，或，． （2）解: 若对，有，则， 当时，，，，，           或时，，，；           当，即，或时，则，由（1）得：，；         当时，即时，，对，故成立，           综上，或或或． ③ 数形结合思想 例57．（2024·上海徐汇·高一海市第二中学校考阶段练习）已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 【答案】 【解析】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分， 又中有个元素，故中有个元素； 法二：因为有个元素，又全集中有个元素， 故的元素个数个． 故答案为：. 例58．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知是全集，是的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ． 【答案】 【解析】由题知，图中的阴影部分为， 故答案为：. 例59．（2024·甘肃白银·高一校考阶段练习）已知全集U和集合A，B如图所示，则 ． 【答案】 【解析】由韦恩图可知：，, 所以. 故答案为：. 例60．（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70． 例61．（2024·高一·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 【答案】 【解析】由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$