1.3 交集、并集（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

1.3 交集、并集 课程标准 学习目标 1、理解并集、交集的概念. 2、会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3、会求简单集合的并集和交集． 4、理解掌握区间与集合的关系，并能应用它们解决一些简单的问题． 1、数学抽象：并集、交集的集合描述 2、逻辑推理：应用并集、交集的性质去解决问题 3、数学运算：并集、交集的运算及与之有关的求参数问题 4、直观想象：利用Venn图和数轴表示并集、交集. 5、数学建模：用集合思想解决实际应用题 知识点01 并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 【即学即练1】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 所以， 故选：A. 知识点02 交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 【即学即练2】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由图可知，， 故选：C. 知识点03 区间 （1）设是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数与都叫做相应区间的端点． 实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大"． 我们可以把满足的实数的集合，用区间分别表示为，，，． （2）区间的几何表示 【即学即练3】用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） （2） （3） （4） 题型一：交集的概念与运算 【典例1-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合交集的定义立得. 故选：A. 【典例1-2】（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】（2024·高一·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】由，可得、，则. 故答案为：. 【变式1-2】（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【解析】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（2024·高一·上海金山·期末）已知集合，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 题型二：并集的概念与运算 【典例2-1】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，，， 则. 故选：D. 【典例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【答案】; 【解析】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高一·上海·期末）已知集合，，则 【答案】 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 【变式2-3】（2024·高一·河南·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】集合，， 所以. 故答案为： 题型三：集合的交、并集运算的综合应用 【典例3-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 【答案】 【解析】因为集合， 若， 当时，，即. 当时，则或， 所以或， 综上的取值范围是. 若，则. 故答案为：； 【典例3-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式3-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 【变式3-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 【变式3-3】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，或， 所以 （2）若，则， ①当时，； ②，则，. 综上所述，或． 题型四：交并补的综合运算 【典例4-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【答案】 【解析】全集，作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，. 故答案为. 【典例4-2】（2024·高一·河北张家口·阶段练习）设全集为，集合，，则 ； . 【答案】 【解析】由题意，集合，， 可得，所以， 又由或，所以. 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式4-1】（2024·高一·河北衡水·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【答案】 【解析】，则集合中的元素为所有能被整除的整数， 表示所有不能被整除的整数，即， ∵集合中的元素为所有能被整除的整数， 表示所有能被整除但不能被整除的整数， 即， 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【解析】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）设U为全集，是U的两个非空子集，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题不为空集，所以A错误, 当时,满足,但B错误, ,,C正确，D错误， 故选：ABD. 题型五：区间及其表示 【典例5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【解析】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 【方法技巧与总结】 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【解析】（1） （2） （3） （4）或 【变式5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）或. 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 【典例6-2】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【解析】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中的应用极为广泛，它通过图形化表示集合及其关系，如交集、并集等，使复杂的集合运算变得直观易懂。韦恩图以圆形或椭圆形代表集合，重叠部分展示集合交集，非重叠区域则体现集合的差异，有助于快速理解和解决集合问题。 【变式6-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70． 【变式6-2】（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【解析】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 【变式6-3】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. 1．（2024·高三·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选：B 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 3．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 4．（2024·高三·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 5．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，解得：. 故选：C 6．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【解析】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 7．（2024·高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下： 对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 8．（多选题）（2024·高一·福建泉州·期中）下列命题正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A项：，故A项错误； 对于B项：，故B项正确； 对于C项：，故C项错误； 对于D项：，故D正确； 故选：BD 9．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确. 故选：AD. 10．（多选题）（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，，故A正确，B不正确； 又或，或， 所以，集合不是的子集，故C正确，D不正确， 故选：AC 11．（多选题）（2024·高一·海南·阶段练习）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，A错误； ，，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC. 12．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 13．（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【解析】，. 故答案为：；. 14．（2024·高一·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【解析】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 15．（2024·高一·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【解析】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 16．（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【解析】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 17．（2024·高一·广东梅州·期末）已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【解析】（1）若， 则， 所以， 解得， 所以， 综上：，； （2）若，则，此时， 又，所以， 即， 所以， 所以实数和满足的关系式为. 18．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【解析】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 19．（2024·高一·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 交集、并集 课程标准 学习目标 1、理解并集、交集的概念. 2、会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3、会求简单集合的并集和交集． 4、理解掌握区间与集合的关系，并能应用它们解决一些简单的问题． 1、数学抽象：并集、交集的集合描述 2、逻辑推理：应用并集、交集的性质去解决问题 3、数学运算：并集、交集的运算及与之有关的求参数问题 4、直观想象：利用Venn图和数轴表示并集、交集. 5、数学建模：用集合思想解决实际应用题 知识点01 并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 【即学即练1】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 知识点02 交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 【即学即练2】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 区间 （1）设是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数与都叫做相应区间的端点． 实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大"． 我们可以把满足的实数的集合，用区间分别表示为，，，． （2）区间的几何表示 【即学即练3】用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一：交集的概念与运算 【典例1-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式1-1】（2024·高一·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【变式1-2】（2024·上海·三模）已知集合，，则 【变式1-3】（2024·高一·上海金山·期末）已知集合，则 . 题型二：并集的概念与运算 【典例2-1】（2024·高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式2-1】（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【变式2-2】（2024·高一·上海·期末）已知集合，，则 【变式2-3】（2024·高一·河南·期中）已知集合，，则 ． 题型三：集合的交、并集运算的综合应用 【典例3-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是 ；若，则的值为 . 【典例3-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式3-1】（2024·高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【变式3-3】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型四：交并补的综合运算 【典例4-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）设全集，若，，，则 ． 【典例4-2】（2024·高一·河北张家口·阶段练习）设全集为，集合，，则 ； . 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式4-1】（2024·高一·河北衡水·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【变式4-2】（2024·高一·广东中山·开学考试）已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）设U为全集，是U的两个非空子集，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五：区间及其表示 【典例5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【变式5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【典例6-1】（2024·高二·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【典例6-2】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中的应用极为广泛，它通过图形化表示集合及其关系，如交集、并集等，使复杂的集合运算变得直观易懂。韦恩图以圆形或椭圆形代表集合，重叠部分展示集合交集，非重叠区域则体现集合的差异，有助于快速理解和解决集合问题。 【变式6-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【变式6-2】（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【变式6-3】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 1．（2024·高三·湖南娄底·阶段练习）已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 5．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 7．（2024·高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2024·高一·福建泉州·期中）下列命题正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高一·海南·阶段练习）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 13．（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 14．（2024·高一·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 15．（2024·高一·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 16．（2024·高一·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 17．（2024·高一·广东梅州·期末）已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 18．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 19．（2024·高一·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$