1.2 集合间的基本关系 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的关系 知识点一 集合的关系 【解题思路】判断集合关系的方法 1.观察法：一一列举观察. 2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 3.数形结合法：利用数轴或Venn图. 【例1-1】．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【例1-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【变式】 1．（23-24·陕西延安·开学考试）已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二 空集 【解题思路】1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例2-1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024上海浦东新 ）已知集合，则实数k的取值范围是 . 知识点三 （真）子集的个数 【解题思路】求给定集合的子集的两个注意点： 1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； 2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【例3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3-2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【例3-4】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·湖北·模拟预测）（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 知识点四 韦恩图 【例4】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式】 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 重难点一 已知集合的关系求参数 【解题思路】由集合间的关系求参数 1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程． 2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示． 3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 4.常见模型 【例5-1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【例5-2】（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例5-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-4】（2024江苏·专题练习）已知，若，求实数a的值. 【变式】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024广东）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 8．（2024上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 1． 单选题 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2024·云南昆明·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 6．（2024上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2023北京）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 8．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 2． 多选题 9．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 3． 填空题 12．（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 13．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 14．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 4． 解答题 15．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 16．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．（23-24高一·江苏·假期作业）已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 19．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的关系 知识点一 集合的关系 【解题思路】判断集合关系的方法 1.观察法：一一列举观察. 2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 3.数形结合法：利用数轴或Venn图. 【例1-1】．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】】,所以，，，故ABD错误,C正确,故选：C 【例1-2】（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【解析】，故BA.故选：C 【例1-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 【变式】 1．（23-24·陕西延安·开学考试）已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，从而 ，不是的子集. 2．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，，，B对，ACD错.故选：B． 3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 知识点二 空集 【解题思路】1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【例2-1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【例2-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【例2-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 【变式】 1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 2．（2024高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 3．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 4．（2024上海浦东新 ）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵，∴，解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 知识点三 （真）子集的个数 【解题思路】求给定集合的子集的两个注意点： 1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； 2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【例3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个.故选：C. 【例3-2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【例3-3】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 【例3-4】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由可得且，根据为的真子集， 可得或或，故满足条件的集合的个数为3. 故选：A 【变式】 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【解析】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 3．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 4．（2024·湖北·模拟预测）（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【解析】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 知识点四 韦恩图 【例4】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B. 【变式】 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含. 故选：A 2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即，所以，即. 故选：B 重难点一 已知集合的关系求参数 【解题思路】由集合间的关系求参数 1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程． 2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示． 3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 4.常见模型 【例5-1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 【例5-2】（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 【例5-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 【例5-4】（2024江苏·专题练习）已知，若，求实数a的值. 【答案】1或4 【解析】由已知可得， 因为，则或或或， 当时，，无解， 当时，则，解得， 当时，则，无解， 当时，则，解得， 综上，实数a的值为1或4. 【变式】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 2．（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【解析】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 【答案】D 【解析】由题意集合，，若，则（互异性）即， 所以或，解得或0. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【解析】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，得，又， 所以. 故选：A. 7．（2024广东）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【解析】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 8．（2024上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 1． 单选题 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误.故选：B 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误； 对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确； 对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确； 对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误， 综上，五个式子中错误的个数为3个. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 4．（2024·云南昆明·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，且， 所以或，解得或或， 当时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时集合、，满足，符合题意. 故选：C 5．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【解析】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 6．（2024上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 7．（2023北京）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】C 【解析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空， 则可以为：，，，，，，， ，，，，，， ， 所以共有（个）． 故选：C. 8．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 2． 多选题 9．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【解析】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【解析】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【解析】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 3． 填空题 12．（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】7 【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合， 所以满足条件的集合为，共7个， 所以满足条件的集合的个数为7， 故答案为：7. 13．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 14．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 4． 解答题 15．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 16．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 18．（23-24高一·江苏·假期作业）已知全集，集合． (1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； (2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，. 【解析】（1）解：当时，可得， 因为，所以， 又由， 又因为AMB， 所以这样的集合M共有如下6个：. （2）解：能； 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知， 当时，，此时，此时不是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集， 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 19．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：因为， ， 所以； （2）证明：由， 得， 则可取， 又因为， 所以， 剩下的元素满足， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$