1.3空间向量及其运算的坐标表示（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 4．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 题型二 空间向量的加减数乘与数量积 1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 5．（23-24高二上·上海·期中）已知向量，，，则为 ． 题型三 空间向量模长问题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 3．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 题型四 空间向量夹角问题 1．（20-21高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 2．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知，，则最大值为 . 3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 4．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 5．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 题型五 空间向量投影问题 1．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知向量，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（22-23高二下·福建龙岩·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A． B．与方向相反的单位向量的坐标是 C． D．在上的投影向量的模为 4．（多选）（22-23高二上·全国·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A．向量与互相垂直 B．与方向相反的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 5．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 题型六 空间向量平行问题 1．（23-24高二上·广东潮州·阶段练习）向量，，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．，使得 D．当时，与夹角为 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)若，求； (3)求. 4．（22-23高二上·广东茂名·阶段练习）已知，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值. 5．（22-23高二上·山西大同·阶段练习）（1）已知，，且，求，的值； （2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值. 题型七 空间向量垂直问题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 2．（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 3．（21-22高二上·安徽亳州·开学考试）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 4．（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知空间中三点. (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 5．（21-22高二上·北京海淀·阶段练习）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 题型八 空间向量锐角钝角问题 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    5．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 4．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 7．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 4．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，再结合图形可得坐标，进而求得答案. 【详解】在长方体中，，为坐标原点，则， 因此，所以. 故答案为： 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 题型二 空间向量的加减数乘与数量积 1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加减运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标公式，即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期中）已知向量，，，则为 ． 【答案】 【分析】由向量加减法，数量积的坐标运算得出即可. 【详解】由向量，，， 所以， 故答案为： 题型三 空间向量模长问题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可. 【详解】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由 ， 由 ，. 所以 . 故选：D 3．（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量模长公式求出答案. 【详解】. 故选：D 5．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 题型四 空间向量夹角问题 1．（20-21高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 2．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 【答案】 【分析】利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 故. 故答案为： 4．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 5．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1), (2)． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可得 ． （2）由题可得， ， ,与夹角的余弦值为． 题型五 空间向量投影问题 1．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知向量，则在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出向量，夹角的余弦值，再由投影定义即可求得结果. 【详解】易知， 所以在上的投影为. 故选：C 2．（23-24高二上·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算结合投影向量的定义可求得的值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 由题意可知，， 所以，. 故选：C. 3．（多选）（22-23高二下·福建龙岩·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A． B．与方向相反的单位向量的坐标是 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】AB 【分析】A选项，验证是否等于0即可；B选项，与方向相反的单位向量为，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使即可；D选项，在上的投影向量的模为，据此可判断选项正误. 【详解】由题， . A选项，，则，故A正确； B选项，，则 ，故B正确； C选项，设，则，即不存在，故C错误； D选项，，则，故D错误. 故选：AB 4．（多选）（22-23高二上·全国·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A．向量与互相垂直 B．与方向相反的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；， 所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误. 故选：ABC 5．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 题型六 空间向量平行问题 1．（23-24高二上·广东潮州·阶段练习）向量，，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．，使得 D．当时，与夹角为 【答案】C 【分析】A应用向量垂直坐标表示求参数；B由向量模长的坐标运算求参数；C由向量平行的坐标表示判断；D由向量夹角的坐标公式求夹角. 【详解】A：由，则，对； B：，对； C：要使，则，显然等式不可能成立，故不存在，错； D：由题设，则，而， 所以，对. 故选：C 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由向量共线的坐标运算，求实数的值； （2）利用向量数量积求向量和的模和夹角，面积公式求平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得，. ∵，则，解得 （2）由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)若，求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量减法运算公式求解即可； （2）由空间向量共线坐标公式列式计算即可； （3）利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，所以； （2）因为向量，所以，解得； （3）因为，所以， 则. 4．（22-23高二上·广东茂名·阶段练习）已知，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解. 【详解】（1）由已知可得，， ∴. （2），， ∵，∴存在实数使得， ∴，，，联立解得. 5．（22-23高二上·山西大同·阶段练习）（1）已知，，且，求，的值； （2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答； （2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以； （2）因为，， 所以，， 所以， 因为与的夹角为， 所以，因为解得 题型七 空间向量垂直问题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 2．（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程组求解即可； （2）根据向量的坐标与数量积运算，利用公式求解即可. 【详解】（1）因为，，，且，， 所以不为， 所以，解得，，， 所以，，. （2）由（1）可得，， 所以， ，， 所以向量与所成角的余弦值. 3．（21-22高二上·安徽亳州·开学考试）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 4．（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知空间中三点. (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，由向量与互相垂直，列出方程，即可求解； （2）由向量的夹角公式，求得，得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由空间中三点， 可得，且， 因为向量与互相垂直， 所以，解得. （2）解：由，可得， 所以，， 所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 5．（21-22高二上·北京海淀·阶段练习）已知空间向量，，. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 题型八 空间向量锐角钝角问题 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 3．（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，    则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 5．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2){且}． 【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由已知可得，． 因为与共线，所以，解得． （2）由(1)知，． 所以，∴． 又当时，与共线， 所以实数的范围为{且}． 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 【答案】ABD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：ABD 4．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，对点的位置进行分类讨论，设出点P的坐标，结合空间中两点间的距离公式求出点的坐标，结合正方体的对称性可得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、， ①若点在棱上，可设，其中， 则， 即棱上不存在点使得， ②当点在棱上时，设点，其中， ， 解得，此时点为的中点， 同理可知，当点分别为棱、的中点时，， 由对称性可知，当点分别为、、的中点时，； 同理可知棱、、、、、上均不在点，使得. 因此，满足条件的点的个数为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量求两点间的距离，求最值即可. 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 7．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$