专题07 圆周角 圆内接四边形（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题07 圆周角 圆内接四边形 目录 【题型一 圆周角的概念辨析】 1 【题型二 圆周角定理】 2 【题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 3 【题型四 半圆（直径）所对的弦的圆周角是直角】 4 【题型五 90度的圆周角所对的弦是直径】 5 【题型六 已知圆内接四边形求角度】 6 【题型七 求四边形外接圆的直径】 7 【题型一 圆周角的概念辨析】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【题型二 圆周角定理】 例题：（2024·吉林长春·二模）如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，线段是的直径，弦，，则等于（    ） A．150° B．140° C．130° D．120° 2．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 例题：（2024·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 2．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    【题型四 半圆（直径）所对的弦的圆周角是直角】 例题：（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式训练】 1.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【题型五 90度的圆周角所对的弦是直径】 例题：（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【变式训练】 1．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为 ． （2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为 ． 【题型六 已知圆内接四边形求角度】 例题：如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【变式训练】 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【题型七 求四边形外接圆的直径】 例题：（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式训练】 1．（2021·广西贺州·二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 一、单选题 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 4．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·甘肃定西·三模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ． 7．（2024·山东滨州·三模）如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 8．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    9．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 三、解答题 11．（2024·河南郑州·二模）如图，点，为上的两点，连接，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的平行线与交于点，连接，则与有怎样的数量关系，请说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 14．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 15．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆周角 圆内接四边形 目录 【题型一 圆周角的概念辨析】 1 【题型二 圆周角定理】 3 【题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 5 【题型四 半圆（直径）所对的弦的圆周角是直角】 8 【题型五 90度的圆周角所对的弦是直径】 10 【题型六 已知圆内接四边形求角度】 14 【题型七 求四边形外接圆的直径】 17 【题型一 圆周角的概念辨析】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型二 圆周角定理】 例题：（2024·吉林长春·二模）如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键． 利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点为上任意一点（点不与点重合）， 的度数可能是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，线段是的直径，弦，，则等于（    ） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质；由圆周角定理得，再由等腰三角形的性质得，由互补关系即可求得的度数． 【详解】解：， ； ， ， ； 故选：C． 2．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等】 例题：（2024·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选． 【变式训练】 1.（2024·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于，连接，由角平分线的定义可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等得出，进而可得出，由直径所对的圆周角等于得出，用勾股定理求出，即可求出的半径． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中， ， ∴的半径为， 故选：C． 2．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型四 半圆（直径）所对的弦的圆周角是直角】 例题：（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又，求得的度数，然后由的平分线交于，求得的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 平分， ， ． 故选：C． 【变式训练】 1.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型五 90度的圆周角所对的弦是直径】 例题：（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为 ． （2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，90度圆周角对的弦是直径，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）连接，由垂径定理得，由勾股定理即可求得半径； （2）过点D作交于F，连接，过O作交于点G；首先证明，再证明；其次有，即为的直径，则由已知得，从而求得半径． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵为直径，且， ∴， 在中，由勾股定理得：； 故答案为：5． （2）如图，过点D作交于F，连接，过O作交于点G； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 即四边形是等腰梯形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即为的直径； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 【题型六 已知圆内接四边形求角度】 例题：如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）    A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧上一点，连接，，利用圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【详解】解：记D为优弧上一点，连接，，   ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键．连接，如图所示，由圆内接四边形性质得到，再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七 求四边形外接圆的直径】 例题：（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【变式训练】 1．（2021·广西贺州·二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 2．（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵如图：， ∴， 故选：D． 2．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 3．（2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，，进而可得，由此得，在中，根据勾股定理可求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】∵是的直径， ， 又，， ， ， ， ， ． 故选：D 4．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用正方形性质证明，得到，根据A，E，F，B四点共圆，以及圆周角定理得到，利用等腰三角形性质得到，，以及，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，即， A，E，F，B四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，四点共圆，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 二、填空题 6．（2024·甘肃定西·三模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 【详解】解：依题意得：为的直径， ， 在中，寸，寸， 由勾股定理得：． 的长为24寸． 故答案为：． 7．（2024·山东滨州·三模）如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/29度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，证明是等边三角形是解本题的关键．如图，作直径，连接证明和是等边三角形，是的直径时，面积的最大，可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 当是的直径时，的面积最大， 此时 的最大面积． 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·河南郑州·二模）如图，点，为上的两点，连接，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的平行线与交于点，连接，则与有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见详解 【分析】（1）根据平行线的判定，在的右侧作，则直线即为所求． （2）由平行线的性质可得，由圆周角定理可得，则． 本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握平行线的判定与性质、圆周角定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，在的右侧作， 则， 则直线即为所求．    （2）解：． 理由：， ， ， ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明可得，结合，可得结论； （2）先证明，求解，可得，证明．如图，过B作于点M，求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形； （2）∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 如图，过B作于点M， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 14．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 15．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由，可得，又由“同弧所对的圆周角相等”可得，进而可得，由此可得． （2）连接，设，则，，，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， 又， ， ∵， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 即的半径为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$