专题04 圆的基本认识（9大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题04 圆的基本认识 目录 【题型一 圆的有关概念辨析】 1 【题型二 求圆中弦的条数】 2 【题型三 求过圆内一点最长的弦】 3 【题型四 圆的周长和面积问题】 4 【题型五 确定圆的条件】 4 【题型六 点与圆的位置关系】 5 【题型七 圆中角度的计算】 5 【题型八 圆中线段长度的计算】 6 【题型九 求一点到圆上点的距离的最值】 7 【题型一 圆的有关概念辨析】 例题：（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练】 1．（2024·黑龙江·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【题型二 求圆中弦的条数】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【题型三 求过圆内一点最长的弦】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【题型四 圆的周长和面积问题】 例题：（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【变式训练】 1．（2023·福建泉州·二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 【题型五 确定圆的条件】 例题：小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【题型六 点与圆的位置关系】 例题：（2024九年级下·上海·专题练习）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 【题型七 圆中角度的计算】 例题：（2024·福建三明·一模）如图，点在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·河北石家庄·一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【题型八 圆中线段长度的计算】 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，连接，，，四边形为菱形．若的半径为5，连接，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【变式训练】 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·湖北恩施·二模）如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【题型九 求一点到圆上点的距离的最值】 例题：（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·甘肃定西·阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 一、单选题 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点 在外时，的值可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·辽宁大连·三模）下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级下·上海·期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 5．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 7．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 8．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 9．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 10．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，正方形的边长是6，点M是边上的一个动点，连结，作于点P，连结，线段长度的最小值为 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 13．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等边三角形． 作法：如图， ①以点A为圆心，以的长为半径作； ②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C； ③连接． 所以就是所求作的三角形． 根据小方设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（_____________）（填推理的依据）． 同理∵点A，C在上， ∴． ∴______=_______=_______． ∴是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的半径，圆心到直线的距离，在直线上有，，三点，并且，，，点，，与圆的位置关系分别是怎样的？    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的基本认识 目录 【题型一 圆的有关概念辨析】 1 【题型二 求圆中弦的条数】 3 【题型三 求过圆内一点最长的弦】 5 【题型四 圆的周长和面积问题】 6 【题型五 确定圆的条件】 9 【题型六 点与圆的位置关系】 9 【题型七 圆中角度的计算】 11 【题型八 圆中线段长度的计算】 13 【题型九 求一点到圆上点的距离的最值】 16 【题型一 圆的有关概念辨析】 例题：（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：第1个图形既是轴对称又是中心对称图形，第2个图形既不是轴对称又不是中心对称图形，第3个图形是轴对称但不是中心对称图形，第4个图形既是轴对称又是中心对称图形， 综上可知，共有2个图形既是轴对称又是中心对称图形． 故选：B． 2．（2024·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵攀爬点都是某个圆的八等分点． ∴由图得，， ∴比较与的大小即可， 在中，， ∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程， ∵他们同时出发且攀岩速度相同， ∴琪琪先完成， 故选：B． 【题型二 求圆中弦的条数】 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【题型三 求过圆内一点最长的弦】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【题型四 圆的周长和面积问题】 例题：（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【变式训练】 1．（2023·福建泉州·二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，      ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 【题型五 确定圆的条件】 例题：小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】 本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【题型六 点与圆的位置关系】 例题：（2024九年级下·上海·专题练习）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 . 【答案】外 【分析】根据题意，圆的半径为，结合，解答即可，本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握法则是解题的关键. 【详解】根据题意，得圆的半径为， 因为， 故点P在圆的外部， 故答案为：外. 【题型七 圆中角度的计算】 例题：（2024·福建三明·一模）如图，点在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆的性质，连接，根据等边对等角得出，，由此即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 同理：， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·河北石家庄·一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，连接，先证明，则，即可利用三角形外角的性质得到，由，可得，再由三角形外角的性质可得，即，由此即可打得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A．    2．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型八 圆中线段长度的计算】 例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，连接，，，四边形为菱形．若的半径为5，连接，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，圆的基本性质，根据菱形对角线互相垂直平分得到，，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·湖北恩施·二模）如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 由翻折知，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三点共线时，最小，连接，再勾股定理求出的长，然后利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接     ∵点G是边的中点， ∴， 由勾股定理得， ， ∵ ∴ ∴ 解得． 故答案为：． 【题型九 求一点到圆上点的距离的最值】 例题：（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·甘肃定西·阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当点在圆外时；②当点在圆内时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1，当点在圆外时，此时，， 此圆的半径为； ②如图2，当点在圆内时，此时，， 此圆的半径为； 综上可知，此圆的半径为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 cm． 【答案】8或2/2或8 【分析】由于点与圆的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分为两种情况：    ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， ∴半径， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：8或2． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 一、单选题 1．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 2．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点 在外时，的值可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知的半径为r，点P到圆心的距离，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论 【详解】解：在中，，，， ， 当点在内且点在外时， ， 的值可能是8． 故选：B． 3．（2024·辽宁大连·三模）下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线公理，余角的性质，圆的基本概念，逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②同角的余角相等，原命题是真命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧，原命题是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 4．（23-24九年级下·上海·期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案． 【详解】解：如图： ，的半径是2， ， ，， A、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意； B、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意； C、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意； D、当时，在内正确，故本选项不合题意； 故选：C． 5．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 二、填空题 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了圆的认识，熟练掌握掌握圆的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，，然后计算即可． 【详解】如图，连接， ， ， ， ， ． 故答案为． 7．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 8．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点，，，都在上，，，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，继而得到，计算即可． （2）根据，，得到点P在以为直径的圆上，设圆心为点O，则当点三点共线时，线段最短，利用三角形的面积特点计算即可， 本题考查了直角三角形的性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵，，得到点P在以为直径的圆上，设圆心为点O，则当点三点共线时，线段最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，正方形的边长是6，点M是边上的一个动点，连结，作于点P，连结，线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，点到圆上最短距离，勾股定理，根据于点P，得到，进而得到点P在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，，当点三点共线时，的长度有最小值，根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：取中点O，连接， ，正方形的边长是6， ， 点P在以为直径的圆上运动， ， 当点三点共线时，的长度有最小值， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用． （1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心 ∴圆心的坐标为：，    （2）连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本元素，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，即可求证； （2）根据，可得的度数，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ， 即是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等边三角形． 作法：如图， ①以点A为圆心，以的长为半径作； ②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C； ③连接． 所以就是所求作的三角形． 根据小方设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（_____________）（填推理的依据）． 同理∵点A，C在上， ∴． ∴______=_______=_______． ∴是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)同圆的半径相等；；三边都相等的三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了尺规作图：作等边三角形，圆的基体性质，等边三角形的判定等知识； （1）按照题干要求补全画图即可； （2）根据同圆的半径相等可分别得到、，从而可得等边三角形． 【详解】（1）解：如图， （2）解：完成下面的证明． 证明：∵点B，C在上， ∴（同圆的半径相等）． 同理∵点A，C在⊙B上， ∴． ∴． ∴是等边三角形．（三边都相等的三角形是等边三角形）． 故答案为：同圆的半径相等；；三边都相等的三角形是等边三角形． 14．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的半径，圆心到直线的距离，在直线上有，，三点，并且，，，点，，与圆的位置关系分别是怎样的？    【答案】点在圆上，点在圆内，点在圆外 【分析】连接，如图所示，根据圆的性质，由勾股定理得到，从而比较，，与的大小即可判断点，，与圆的位置． 【详解】解：连接，如图所示：    ， ∵圆心到直线的距离，即， ∴由勾股定理可知， ∵，，， ∴点在圆上，点在圆内，点在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的性质及勾股定理，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$