第一章 一元二次方程单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

第1章 一元二次方程单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第一章 一元二次方程，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 2．一元二次方程配方后，可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程组，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 3．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：C． 4．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 5．一元二次方程的解完全正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， 故选：B． 6．下列方程是关于的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．直接根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； D、，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 8．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解． 【详解】解：∵的两根是， ， ． 故选：D． 9．若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意列出不等式，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 解得，， 当时，，此时， ∴，符合题意； 当时， 方程在的范围内有唯一实数根， ∴或， 解前一不等式组无解，解后一不等式组得， 综上所述，m的范围是和． 故选：C． 10．中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每年盈利的年增长率为， 由题意得：， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了方程的根的知识，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得． 故答案为：3． 12．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 13．如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 14．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 15．已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 16．对于实数，，定义运算“※”：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算以及实数的运算，根据，由，可得，据此求出的值即可．解题的关键是要明确“※”的运算方法．也考查了解一元二次方程． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)第②步开始出现错误 (2)见详解 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）根据等式的基本性质求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，则或， （2）， ， 则， 或， 解得，． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 19．已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】(1)方程是“伴根方程”； (2)或． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； （2）解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1 ， 找出关于的一元一次不等式 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根大于1 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； 【详解】（1）证明：∵在方程 中， ， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵方程有一根大于1 ， ∴， ∴的取值范围为 ； 22．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】(1)10； (2)小哲说的有道理，理由见解析； (3)13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由见详解； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 23．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 【答案】(1) (2)衬衫每件降价了15元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． （1）根据题意列出一次函数解析式即可； （2）根据该品牌衬衫每天盈利1250元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵每天销售20件，每件衬衫盈利40元，衬衫每降价1元，则每天多售出2件， ∴该品牌衬衫每件降价x元，每天销售； （2）解：根据题意得：， 整理得:， 解得:， 答:衬衫每件降价了15元． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．一个矩形蔬菜大棚长，宽，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的． (1)小路的宽度是多少？ (2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？ 【答案】(1)小路的宽度为1米 (2)至少安排甲组种植240平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元二次方程以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设小路的宽度是米，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可得出答案； （2）设安排甲组种植平方米，则安排乙组种植平方米，根据“完成此大棚的种植不超过30000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设小路的宽度是米， 依题意得： 解得，， 时， 舍去， 答：小路的宽度为1米． （2）解：（平方米）， 设安排甲组种植平方米，则安排乙组种植平方米， 由题意得：， 解得 答：至少安排甲组种植240平方米． 25．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案； （2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第一章 一元二次方程，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后，可化为（　　） A． B． C． D． 3．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 4．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的解完全正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程是关于的一元二次方程的是 （    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 10．中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个根，则的值为 ． 12．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 13．如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    14．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 15．已知为方程的根，那么的值为 ． 16．对于实数，，定义运算“※”：，例如：．若，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 18．解方程： (1)； (2)． 19．已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 22．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 23．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．一个矩形蔬菜大棚长，宽，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的． (1)小路的宽度是多少？ (2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？ 25．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$