专题09 平面向量、复数与不等式-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题09 平面向量、复数与不等式 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平面向量 （5年几考） 2020-2024：5年五考：向量的运算；垂直及平行的向量表示；向量的坐标；向量模的运算 1. 平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现见,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。 2. 复数主要以课程学习情境为主,每年一题,以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养。 3. 不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现见,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 考点2 复数 （5年几考） 2020-2024：5年五考：复数的四则运算；复数的坐标运算；共轭复数的概念及计算；复数模长的运算；复数的几何意义 考点3 不等式 2020-2024:5年一考：基本不等式的应用；不等式的性质 考点01 平面向量 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 5．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 考点02 复数 6．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 9．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 考点03 不等式 11．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 2．（2019·辽宁沈阳·模拟预测）向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）若为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．（2024·北京海淀·二模）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京海淀·二模）设，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 11．（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·北京房山·一模）已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（    ） A． B．3 C． D． 14．（2024·北京海淀·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（15-16高二下·新疆哈密·期末）若复数满足，则的共轭复数是　　 A． B． C． D． 16．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 17．（2024·北京朝阳·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 19．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 20．（2024·北京海淀·二模）若，则 . 21．（2024·北京朝阳·二模）已知向量，，且，则实数k= . 22．（16-17高二下·辽宁·期末）复数满足，则的虚部是 ． 23．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面向量、复数与不等式 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平面向量 （5年几考） 2020-2024：5年五考：向量的运算；垂直及平行的向量表示；向量的坐标；向量模的运算 1. 平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现见,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。 2. 复数主要以课程学习情境为主,每年一题,以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养。 3. 不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现见,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 考点2 复数 （5年几考） 2020-2024：5年五考：复数的四则运算；复数的坐标运算；共轭复数的概念及计算；复数模长的运算；复数的几何意义 考点3 不等式 2020-2024:5年一考：基本不等式的应用；不等式的性质 考点01 平面向量 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 5．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 考点02 复数 6．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 7．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 8．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 9．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 10．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 考点03 不等式 11．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 1．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解. 【详解】z对应的点坐标为，所以， 所以 故选：B. 2．（2019·辽宁沈阳·模拟预测）向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先由图得出用表示的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得. 【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到， 由向量与共线，可得，解得：. 故选：D. 3．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系利用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）若为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 故选：D 5．（2024·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值. 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 6．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立. 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得. 【详解】，. 故选：A． 8．（2024·北京海淀·二模）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用，表示，根据，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可. 【详解】由题可知，， 故， 故，解得. 故选：B. 9．（2024·北京海淀·二模）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B，，则，故B错误， 对于C，由于，故在单调递减，故，因此， 由于，所以，故，C正确， 对于D, ,则，故D错误， 故选：C 10．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可. 【详解】    如图，取的中点，则，且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以为正三角形， 过作于， 则， 所以. 故选：C. 11．（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可. 【详解】由题意可得， 所以， 故选：A. 12．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确； 对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确； 对于C，因为，所以， 而函数为减函数，所以，故C结论正确； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D结论错误. 故选：D. 13．（2024·北京房山·一模）已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】， 因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：C. 14．（2024·北京海淀·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边同时平方，将条件带入计算即可. 【详解】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 15．（15-16高二下·新疆哈密·期末）若复数满足，则的共轭复数是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果． 【详解】解：复数满足，所以． 所以的共轭复数是． 故选：B． 16．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，    由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 17．（2024·北京朝阳·一模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点. 故选：A 18．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算可得，结合平面向量夹角的范围即可得出结果. 【详解】由题意知，如图， 由为等比三角形，得， 所以； 因为，所以点E为AC的中点， 则，又， 所以 ， ， 又，所以， 所以. 故答案为：；. 19．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【详解】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 20．（2024·北京海淀·二模）若，则 . 【答案】1 【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：1. 21．（2024·北京朝阳·二模）已知向量，，且，则实数k= . 【答案】/ 【分析】利用已知求得，进而根据，可得，求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 22．（16-17高二下·辽宁·期末）复数满足，则的虚部是 ． 【答案】1 【分析】由已知条件求出复数，从而可求出复数的虚部. 【详解】∵复数z满足， ， 故z的虚部是1. 故答案为：1 23．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ．    【答案】 【分析】用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意， ， 所以 . 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$