重难点提优2 有理数的简便计算（5题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

专题提优2 有理数的简便计算 题型01 通过分类简便计算 1．计算：（﹣100）+70+（﹣23）+50+（﹣7）． 2．计算：； 3．计算： 题型02 通过运算律简便计算 1．计算43+（﹣78）+27+（﹣52）时，运算律用得最为恰当的是（　　） A．[43+（﹣78）]+[27+（﹣52）] B．（43+27）+[（﹣78）+（﹣52）] C．[43+（﹣52）]+[27+（﹣78）] D．[27+（﹣78）]+[43﹣（﹣52）] 2．运用运算律计算： （1）； （2）． 3．运用运算律计算： （1）； （2）． 题型03 整体考虑简便计算 1．计算：﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣97+99． 2．计算：130.34×（）130.34 题型04 倒序相加法 1．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100，① 则S＝100+99+98+…+1，② ①+②得2S＝101+101+101++101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050， 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：1+2+3+…+1000； （2）计算：100+101+102+…+200． 2．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层． 将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1． 我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+4+••••••+n． （1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈； （2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是 　　． 题型05 裂项相消法 1．请你观察： ， ， ， … ， ， 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： （1）猜想并写出：　 　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． （1）+（）+（）+（）+…+（）＝1． 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： （1）； （2）． 提优练习 1．在“□”里填上一个数，使式子“□”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（　　） A． B． C． D． 2．计算（﹣0.125）×20×（﹣8）×（﹣0.8）＝[（﹣0.125）×（﹣8）]×[20×（﹣0.8）]＝﹣16，运算中运用的运算律为（　　） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 3．阅读以下材料：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，请你计算 的值为（　　） A． B． C． D． 4．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A． B． C． D． 5．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算（）×（）（）（）时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整．原式＝（）×[（）+（）+　 　]＝　 　． 6．用简便方法计算：1915＝　 　． 7．用简便方法计算：13.719.82.5　 　． 8．用简便方法计算：的结果为 　 　． 9．在数学中，为了简便计算记1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1．则　 　． 10．运用简便方法计算： （1）（）×25×（﹣1）×（﹣4）； （2）（）÷（） 11．运用运算律作较简便的计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． 12． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：199×12＝（200﹣1）×12＝2400﹣12＝2388 例2：﹣16×2023+17×2023＝（﹣16+17）×2023＝2023 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（﹣15） （2）999×118999×（）﹣999×18 （3）（）×（﹣62）﹣9（）2． 13．（1）用简便方法计算3.125﹣2（3.75﹣6） （2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2x+cdx2009值． 14．学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算69（），看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式（﹣7）489； 小聪：原式＝（69）×（﹣7）＝﹣69×77＝﹣489． （1）以上两种解法，你认为　 　（填入名）的解法比较简便； （2）你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； （3）你能用简便方法计算99（）吗？如果能，请写出解答过程． 15．解答下列问题： （1）计算：6÷（）方方同学的计算过程如下： 原式＝6÷（）+612+18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①999×（﹣15）；②999×118333×（）﹣999×18． 16．请你仔细阅读下列材料：计算： （）÷（） 解法1：按常规方法计算 原式＝（）÷[（）]＝（）÷（）＝（）×3 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣30）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10 故（）÷（） 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（）÷（）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优2 有理数的简便计算 题型01 通过分类简便计算 1．计算：（﹣100）+70+（﹣23）+50+（﹣7）． 解：（﹣100）+70+（﹣23）+50+（﹣7） ＝[（﹣100）+（﹣23）+（﹣7）]+（70+50） ＝﹣130+120 ＝﹣10； 2．计算：； 解：原式＝﹣9+12﹣5 2； 3．计算： 解： 原式 题型02 通过运算律简便计算 1．计算43+（﹣78）+27+（﹣52）时，运算律用得最为恰当的是（　　） A．[43+（﹣78）]+[27+（﹣52）] B．（43+27）+[（﹣78）+（﹣52）] C．[43+（﹣52）]+[27+（﹣78）] D．[27+（﹣78）]+[43﹣（﹣52）] 【分析】根据题目中式子的特点，根据加法的交换律和结合律可以解答本题． 【解答】解：43+（﹣78）+27+（﹣52）＝（43+27）+[（﹣78）+（﹣52）]， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．运用运算律计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用有理数的乘法分配律计算，即可求解； （2）利用有理数的乘法分配律计算，即可求解． 【解答】解：（1）49（﹣5） ＝（50）×（﹣5） ＝50×（﹣5）（﹣5） ＝﹣250 ＝﹣249； （2）（﹣4）×（﹣7）+11×（﹣7）+7（﹣5） ＝（﹣4）×（﹣7）+11×（﹣7）+（﹣7）×5 （﹣4+11+5））×（﹣7） ＝12×（） ＝﹣88． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法分配律，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 3．运用运算律计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法的交换律和结合律即可解答本题； （2）根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1） （﹣3）+（﹣2）+7 ＝（7）+[（﹣3）+（﹣2）] ＝8+（﹣6） ； （2） （﹣24）（﹣24）（﹣24） ＝18+（﹣4）+9 ＝23． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的运算律，运算法则和运算顺序． 题型03 整体考虑简便计算 1．计算：﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣97+99． 解：﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣97+99 ＝2+2+…+2 ＝2×25 ＝50． 2．计算：130.34×（）130.34 解：原式＝130.34130.34 ＝13×（）+0.34×（） ＝13+0.34 ＝13.34； 题型04 倒序相加法 1．阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100，① 则S＝100+99+98+…+1，② ①+②得2S＝101+101+101++101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050， 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：1+2+3+…+1000； （2）计算：100+101+102+…+200． 【分析】（1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出1+2+3+...+100+101+...+200和1+2+3+...+99的值；100+101+102+…+200＝（1+2+3+...+100+101+...+200）﹣（1+2+3+...+99）． 【解答】解：（1）设S＝1+2+3+…+1000，① 则S＝1000+999+...+3+2+1，② ①+②得：2S＝（1+1000）+（2+999）+...+（1000+1）＝1000×1001＝1001000， ∴S＝1001000÷2＝500500， ∴1+2+3+…+1000＝500500； （2）设T＝1+2+3+...+100+101+...+200，① 则T＝200+199+...+100+...+3+2+1，② ①+②得：2S＝（1+200）+（2+199）+...+（200+1）＝200×201＝40200， ∴S＝20100， 1+2+3+...+99＝（1+2+3+...+99+100）﹣100＝5050﹣100＝4950． ∴100+101+102+…+200＝（1+2+3+...+100+101+...+200）﹣（1+2+3+...+99）＝20100﹣4950＝15150． 【点评】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 2．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层． 将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1． 我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+4+••••••+n． （1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈； （2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是 　　． 【分析】（1）根据题意和题目中数字的特点可求出答案； （2）根据题意和题目中数字的特点可求出第18层最右边的数字是171，则可求出答案． 【解答】解：（1）图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+4+••••••+n（个）， 当n＝12时，1+2+3+4+••••••+1278（个）， 答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈； （2）图3中，第18层最右边的数字是：171（个）， 则图3中第19层从左边数第二个圆圈中的数字是是：171+2＝173（个）， 故答案为：173． 【点评】本题考查图形的变化类、有理数的运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的特点，利用数形结合的思想解答． 题型05 裂项相消法 1．请你观察： ， ， ， … ， ， 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： （1）猜想并写出：　 　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 【分析】（1）根据题干中的式子总结规律即可； （2）利用规律裂项后进行简便运算即可； （3）利用规律裂项后进行简便运算即可． 【解答】解：（1）原式， 故答案为：； （2）原式＝1 ＝1 ； （3）原式（） （） （） ． 【点评】本题考查规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算． （1）+（）+（）+（）+…+（）＝1． 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： （1）； （2）． 【分析】（1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【解答】解：（1）（1） （）（）（） （） （） ； （2） （1） （1） ． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 提优练习 1．在“□”里填上一个数，使式子“□”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用加法分配律及结合律逐项判断即可． 【解答】解：（）1，则A符合题意； 无法简便运算，则B不符合题意； 无法简便运算，则C不符合题意； 无法简便运算，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． 2．计算（﹣0.125）×20×（﹣8）×（﹣0.8）＝[（﹣0.125）×（﹣8）]×[20×（﹣0.8）]＝﹣16，运算中运用的运算律为（　　） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【解答】解：运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选：D． 【点评】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 3．阅读以下材料：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“”是求和符号．通过对以上材料的阅读，请你计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据定义，列出算式计算即可． 【解答】解： ... ... ＝1 ； 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，理解“”的意义． 4．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据乘法分配律解答即可． 【解答】解：A．； B．变形错误； C．； D．变形错误； 显然A比C计算简单． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键． 5．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算（）×（）（）（）时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整．原式＝（）×[（）+（）+　　]＝　（）×（）　． 【分析】利用乘法分配律求解即可． 【解答】解：原式＝（）×[（）+（）] ＝（）×（） ＝1， 故答案为：，（）×（）． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 6．用简便方法计算：1915＝　﹣26　． 【分析】根据乘法分配律计算即可求解． 【解答】解：1915 （19+15） 34 ＝﹣26． 故答案为：﹣26． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 7．用简便方法计算：13.719.82.5　29　． 【分析】原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【解答】解：原式（13.7+19.8﹣2.5） 31 ＝29． 故答案为：29． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．用简便方法计算：的结果为 　5.16　． 【分析】根据题目中式子的特点，可以将原式转化为（3.08）2﹣（2.08）2，然后再利用平方差公式计算即可． 【解答】解： ＝（3.08）2﹣（2.08）2 ＝（3.08+2.08）×（3.08﹣2.08） ＝5.16×1 ＝5.16． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．在数学中，为了简便计算记1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1．则　1　． 【分析】此题先用自定义变成常规式子，再按照运算顺序计算． 【解答】解：， ， ＝2008﹣2007， ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，依照题目给出的范例，正确理解“！”是计算关键，“！”是阶乘的符号，“n!”表示从1到n的n个连续自然数的乘积． 10．运用简便方法计算： （1）（）×25×（﹣1）×（﹣4）； （2）（）÷（） 【分析】（1）运用乘法的交换律和结合律计算即可； （2）将除法转化为乘法后，运用乘法的分配律计算可得． 【解答】解：（1）原式＝（）×25×（）×（﹣4） ＝[（）×（）]×25×（﹣4） ＝1×（﹣100） ＝﹣100； （2）原式＝（）×（﹣36） ＝﹣363636 ＝﹣15+28+24 ＝37． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据算式的特点选择合适的简便方法是解题的关键． 11．运用运算律作较简便的计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算； （2）（3）根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8） ＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3） ＝10×（﹣15） ＝﹣150； （2）（）×（﹣12） 121212 ＝﹣5﹣8+9 ＝﹣4； （3）（﹣19） ＝（）×19 19 ＝9． 【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 12． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：199×12＝（200﹣1）×12＝2400﹣12＝2388 例2：﹣16×2023+17×2023＝（﹣16+17）×2023＝2023 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（﹣15） （2）999×118999×（）﹣999×18 （3）（）×（﹣62）﹣9（）2． 【分析】（1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用计算即可； （3）先算乘方，再根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）999×（﹣15） ＝（1000﹣1）×（﹣15） ＝1000×（﹣15）﹣1×（﹣15） ＝﹣15000+15 ＝﹣14985； （2）999×118999×（）﹣999×18 ＝999×（11818） ＝999×100 ＝99900； （3）（）×（﹣62）﹣9（）2 ＝（）×（﹣36）﹣9 （﹣36）（﹣36）（﹣36）81 ＝﹣18+（﹣30）+21﹣801 ＝﹣828． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（1）用简便方法计算3.125﹣2（3.75﹣6） （2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求x2x+cdx2009值． 【分析】（1）利用加法交换律和结合律计算，将分母相同的分数相加减，然后再与分母不同的分数加减，可以简化计算； （2）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，可以分别得出a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1，再将它们代入式子即可求解． 【解答】解：（1）原式＝3236 ＝3623 ＝10﹣6 ＝4； （2）a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1 则x2x+cdx2009 ＝（﹣1）2（﹣1）+1×（﹣1）2009 ＝1﹣1 ＝0． 【点评】有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法．有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号． 去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“﹣”号时，将括号连同它前边的“﹣”去掉，括号内各项都要变号． 加法的交换律：a+b＝b+a； 加法的结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）． 14．学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算69（），看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式（﹣7）489； 小聪：原式＝（69）×（﹣7）＝﹣69×77＝﹣489． （1）以上两种解法，你认为　小聪　（填入名）的解法比较简便； （2）你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； （3）你能用简便方法计算99（）吗？如果能，请写出解答过程． 【分析】（1）观察两名同学的解法，找出比较简便的即可； （2）还有其他解法，写出过程即可； （3）能用简便方法，写出过程即可． 【解答】解：（1）以上两种解法，你认为小聪（填人名）的解法比较简便； 故答案为：小聪； （2）有，原式＝（70）×（﹣7）＝﹣490489； （3）能，原式＝（100）×（﹣5）＝﹣500499． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．解答下列问题： （1）计算：6÷（）方方同学的计算过程如下： 原式＝6÷（）+612+18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①999×（﹣15）；②999×118333×（）﹣999×18． 【分析】（1）根据有理数的除法可以解答本题； （2）①根据题目中的例子可以解答本题； ②根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：（1）方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为：6÷（）＝6÷（）＝6×（﹣6）＝﹣36； （2）①999×（﹣15） ＝（1000﹣1）×（﹣15） ＝1000×（﹣15）﹣1×（﹣15） ＝﹣15000+15 ＝﹣14985； ②999×118333×（）﹣999×18 ＝999×118999×（）﹣999×18 ＝999×（） ＝999×100 ＝99900． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 16．请你仔细阅读下列材料：计算： （）÷（） 解法1：按常规方法计算 原式＝（）÷[（）]＝（）÷（）＝（）×3 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣30）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10 故（）÷（） 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（）÷（）． 【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解； 观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可． 【解答】解：解法1， （）÷（） [（）] [] ； 解法2，原式的倒数为： （）÷（） ＝（）×（﹣56） 56565656 ＝﹣21+12﹣28+16 ＝﹣21， 故（）÷（）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$