精品解析：安徽省芜湖市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监控数学试题

2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控 高二年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等比数列，满足，公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量与满足，若，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 4. 为研究数学成绩（单位：分，满分150分）与物理成绩（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表 数学成绩 100 137 116 142 125 物理成绩 89 89 97 85 根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为，由此可知表中的的值为（ ） A. 78 B. 85 C. 88 D. 90 5. 正态分布密度曲线形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.76 B. 0.38 C. 0.24 D. 0.12 6. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 120 B. 240 C. 274 D. 282 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长最短为4 D. 若直线被圆截得的弦长为，则 10. 不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（ ） A. 两次摸到的都是红球的概率为 B. 第二次摸到的是红球的概率为 C. 第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为 D. 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为 11. 在棱长为1的正方体中，为的中点，为底面上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则 B. 若平面，则点的轨迹长度是 C. 若，则点在圆上 D. 若直线与所成角为45°，则点在双曲线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在点处的切线方程为____________． 13. 若安排5名同学去校园，，三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答） 14. 已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为____________；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16. 石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图． （1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7879 10.828 17. 函数 （1）令，讨论函数单调性； （2）若，且在实数上恒成立，求的最大值． 18. 抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形． （1）求拋物线的标准方程； （2）若点坐标为，证明：直线过定点； （3）若，求面积的最小值． 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立． （ⅰ）证明：数列递增数列； （ⅱ）已知时，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控 高二年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等比数列，满足，公比，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，满足，公比， 所以. 故选：B 2. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距. 【详解】由题意可知，直线方程为， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：C. 3. 随机变量与满足，若，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】借助方差性质计算即可得. 【详解】. 故选：A. 4. 为研究数学成绩（单位：分，满分150分）与物理成绩（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表 数学成绩 100 137 116 142 125 物理成绩 89 89 97 85 根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为，由此可知表中的的值为（ ） A. 78 B. 85 C. 88 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由经验回归方程必过样本中心点计算即可得. 【详解】，， 则有，解得. 故选：D. 5. 正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.76 B. 0.38 C. 0.24 D. 0.12 【答案】B 【解析】 【分析】正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 所以. 故选：. 6. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 120 B. 240 C. 274 D. 282 【答案】C 【解析】 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后由题知有两个变号零点，结合函数的性质可求得结果. 【详解】函数定义域为，由， 得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以的极小值为， 当时，，当时，， 所以要使有两个极值点，则有两个变号零点， 所以，得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的弦长最短为4 D. 若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 10. 不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（ ） A. 两次摸到的都是红球的概率为 B. 第二次摸到的是红球的概率为 C. 第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为 D. 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立概率的乘法公式、条件概率与全概率公式逐项计算即可得解. 【详解】设事件为第一次摸到的球的颜色为红色， 事件为第二次摸到的球的颜色为红色， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：AC. 11. 在棱长为1的正方体中，为的中点，为底面上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则 B. 若平面，则点的轨迹长度是 C. 若，则点在圆上 D. 若直线与所成角为45°，则点在双曲线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，从而可借助空间向量解决相应问题，对A：计算向量数量积即可得；对B：求出平面法向量后，结合向量垂直可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对C：借助空间中两点距离公式计算即可得点轨迹；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得点轨迹. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有、、 、，设，； 对A：由为中点，则，则， ，则， 故与不垂直，故A错误； 对B：，，， 则，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，，即， 若平面，则有，即， 故，，则点的轨迹长度是； 对C：若，则，即， 故点在圆上，故C正确； 对D：，若直线与所成角为45°，则有， 即， 整理得，即， 故点在双曲线上，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而将对应的轨迹、夹角、位置关系等问题都转化为空间向量解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 故答案为： 13. 若安排5名同学去校园，，三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】先从5名同学中选2名同学去处，再将剩下的3名同学安排到，两处，每处至少一人，即可求解. 【详解】从5名同学中选2名同学去处，有种选法， 再将剩下的3名同学安排到，两处，每处至少一人，有种安排方法， 所以不同的安排方案共有种. 故答案为：60. 14. 已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为____________；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分、在轴同侧与在轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得，即可得离心率. 【详解】空一：由题意可得，则； 空二：不妨设渐近线，若、在轴同侧， 则，， 即，解得，则； 若、在轴异侧，则， ， 即，解得，则； 综上所述，或. 故答案为：；或. 【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由，故可从其倾斜角与斜率的关系入手建立相应等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理结合四边形为正方形，可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点， 所以∥， 因为四边形为正方形，所以∥， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面； 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 16. 石墨烯有超级好保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图． （1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关 （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）借助等高堆积条形图可得列联表，再计算出卡方即可得； （2）求出的所有可能取值及其对应概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望. 【小问1详解】 材料 材料 合计 实验成功 4 3 7 实验失败 1 2 3 合计 5 5 10 提出假设：实验的结果与材料无关， ， 所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关； 【小问2详解】 设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布， 成功的概率为，即， 则的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 . 17. 函数 （1）令，讨论函数的单调性； （2）若，且在实数上恒成立，求的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）可知，当时，，转化为，令，通过导数求即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，时，， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 结合（1）与题意可得，即， 即， 从而得 令 所以令 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 所以 所以，即的最大值为． 18. 抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形． （1）求拋物线的标准方程； （2）若点坐标为，证明：直线过定点； （3）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据准线方程求出抛物线方程； （2）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到、的关系，从而求出直线过定点坐标； （3）不妨设，，三点的坐标分别为，且，不妨记直线的斜率为，且，再由弦长公式得到，再求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 拋物线的准线方程为， 所以且焦点在轴的非负半轴上，则， 抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设点的坐标分别为，直线的方程为， 联立得，显然，， 因为构成一个以为直角顶点的直角三角形， ，，， 直线的方程为， 当时，所以直线过定点； 【小问3详解】 由拋物线的对称性，不妨设，，三点的坐标分别为，且， 不妨记直线的斜率为，且， 则直线的斜率为，则， 结合（*）得， （当且仅当时取得等号）， （此时坐标原点）， 即面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立． （ⅰ）证明：数列为递增数列； （ⅱ）已知时，，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据当时，求解，注意检验时是否满足； （2）（ⅰ）由（1）知，通过计算结合伯努利不等式即可证明；（ⅱ）利用伯努利不等式放缩，可得当时，成立，再验证时也成立. 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，，符合此式， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）记， 则 ， 则，所以数列为递增数列； （ⅱ）当，时，因为， 由伯努利不等式，得， 于是， 所以当时， ， 所以， 即， 当时，，不等式成立， 当时，，不等式成立， 当时，，不等式成立， 综上所述，不等式恒成立. 【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键点：一是不等式成立等价于成立，二是由伯努利不等式放缩. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$