专题1.1.4 两条直线的交点坐标（7题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

1.1.4 两条直线的交点坐标 题型一 求直线交点坐标 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 4．（2022高三·全国·专题练习）已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求直线的解析式； (2)求顶点的坐标． 题型二 由方程组解的个数判断直线的位置关系 1．（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 2．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 3．（多选）（22-23高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 4．（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型三 由直线交点个数求参数 1．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 3．（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 题型四 由直线交点坐标求参数 1．（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 3．（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 4．（23-24高二上·全国·期中）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 题型五 三线能围成三角形问题 1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 题型六 直线交点系方程及应用 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 4．（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 题型七 坐标法的应用--交点坐标 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.4 两条直线的交点坐标 题型一 求直线交点坐标 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【答案】 【分析】联立两条直线的方程可得交点. 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提. 【详解】（1）由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. （2）由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 4．（2022高三·全国·专题练习）已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求直线的解析式； (2)求顶点的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据得，根据点斜式可得直线的直线方程； （2）先求出直线的方程，联立即得点坐标. 【详解】（1）因为直线所在直线方程为，所以， ， 则直线的方程为，即． （2）联立，解得，所以. 由的平分线为知，， 则直线的方程为，即． 联立，解得. 所以. 题型二 由方程组解的个数判断直线的位置关系 1．（2024高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 2．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【分析】 根据f（x0，y0）为常数，得到两直线方程中x与y的系数相同，常数项不相等，得到两直线的位置关系是平行. 【详解】 解：在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 3．（多选）（22-23高二上·浙江温州·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 4．（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 题型三 由直线交点个数求参数 1．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 3．（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 题型四 由直线交点坐标求参数 1．（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案. 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 3．（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 【答案】ACD 【分析】结合直线平行、垂直、相交的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确； 对B：若，则，整理得，， 此方程无解，故不存在a，使得，故B错误； 对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入， 得，所以或1，故C正确； 对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故D正确． 故选：ACD. 4．（23-24高二上·全国·期中）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可； （2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 题型五 三线能围成三角形问题 1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 2．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)当时，两直线平行，当时，两直线相交； (3)4， 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【详解】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 题型六 直线交点系方程及应用 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】 首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 题型七 坐标法的应用--交点坐标 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据中点坐标公式可得，即可得答案； 【详解】，故. 故选：D. 【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题. 2．（23-24高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组解出交点坐标，结合象限内点坐标的特点，解不等式即可解决． 【详解】解：由，解得， 直线与直线的交点位于第一象限内， ，解得：， 则实数a的取值范围是. 故选：C． 【点睛】本题主要考查两直线交点坐标的求解，以及象限内点坐标的特点． 3．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率， ，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为， 则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为. 故选：A. 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于 ，求得、 的值，可得直线 恒过定点； （2）先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后解出即可. 【详解】（1）解：由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得， 即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$