10.2 直线与直线间的位置关系（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.2 直线与直线间的位置关系 题型1:平行公理 1．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 2．设是正方体的一条棱，这个正方体中与平行的棱共有 条． 3．空间四边形的对角线长均为2，且互相垂直，顺次连接这个四边形各边的中点所形成的四边形的面积为 ． 4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的 条件． 5．棱长为3的正四面体中，E，F分别是和的重心，则 ，与的位置关系为 . 题型2:等角定理及应用 6．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 . 7．在三棱锥中，分别是的中点，则 . 8．如图，长方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则    题型3:异面直线的概念 9．异面直线 (1)定义：不同在 平面内的两条直线． (2)异面直线的画法． 10．如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是（   ） A．平行 B．平行或是异面直线 C．是异面直线 D．共面 11．已知，，，，则与l的位置关系是 . 题型4:异面直线的判定 12．若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 13．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 14．判断正误． （1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) （3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( ) （4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( ) 15．在正方体的12条棱､12条面对角线中，总共可以组成 对异面直线. 16．下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 题型5:异面直线所成角 17．异面直线和所成的角为，则的范围是 ． 18．在正方体中，直线与所成角的大小为 ．（用角度表示） 19．已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 20．已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 21．设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 题型6:证明空间直线垂直 22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 23．如图，已知分别是空间四边形的边的中点. （1）求证：四点共面； （2）若四边形是矩形，求证：. 24．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 题型7:已知异面直线所成角求其他量 25．正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 26．如图，在四面体中，，，与所成的角为，，分别为，的中点，求线段的长. 27．在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 28．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 29．在中，是边上动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是 ．    一、填空题 1．在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 2．在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 3．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，两两夹角都为，且，，，M，N分别为，的中点，则MN与AC所成角的余弦值为 ． 4．已知异面直线与所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成的角的直线有且只有 条. 5．如图，异面直线l，m，，，，，，，且，，，，则异面直线l，m夹角的余弦值为    6．过正方体的顶点A作直线l，使得l与直线，所成的角均为，若这样的直线l恰有两条，则的取值范围为 . 二、单选题 7．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 8．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 三、解答题 9．如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 直线与直线间的位置关系 题型1:平行公理 1．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【解析】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 2．设是正方体的一条棱，这个正方体中与平行的棱共有 条． 【答案】3 【分析】由正方体的结构特征判断与平行的棱的条数. 【解析】如下图正方体中，与平行的棱有，共3条.    故答案为：3 3．空间四边形的对角线长均为2，且互相垂直，顺次连接这个四边形各边的中点所形成的四边形的面积为 ． 【答案】1 【分析】画出满足条件的图象，利用、、、分别为各边的中点，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，可得四边形是正方形，即可求解 【解析】在空间四边形中，连接、， 、、、分别为各边的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是正方形； 所以四边形的面积为， 故答案为：1 4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的 条件． 【答案】必要不充分条件 【分析】根据公理1，2以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解析】依题意m，n，l是空间不过同一点的三条直线， 当m，n，l在同一平面时，可能，故不能得出m，n，l两两相交； 当m，n，l两两相交时，设，，，根据公理2可知m，n确定一个平面，而，，根据公理1可知，直线BC即，所以m，n，l在同一平面． 综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件. 5．棱长为3的正四面体中，E，F分别是和的重心，则 ，与的位置关系为 . 【答案】 1 平行 【分析】根据重心的性质得，三角形中位线的性质及平行公理可得结果. 【解析】连接并延长交于M，连接并延长交于H，连接， 因为E，F分别是和的重心，所以分别为中点， 所以，即 又，且， 所以， 故答案为：.    题型2:等角定理及应用 6．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理求解即可. 【解析】根据等角定理知：或，若，则或. 故答案为：或 7．在三棱锥中，分别是的中点，则 . 【答案】 【分析】如图，根据中位线的性质可得，即可求解. 【解析】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为： 8．如图，长方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则    【答案】/ 【分析】依题意可得、，根据空间等角定理可得出结果. 【解析】连接，如下图所示：    依题意且，所以四边形为平行四边形， 所以， 同理可得， 根据空间等角定理可知或与互补，显然与不互补， 所以； 由长方体可知，平面，而平面，所以， 即，又，所以， 故答案为： 题型3:异面直线的概念 9．异面直线 (1)定义：不同在 平面内的两条直线． (2)异面直线的画法． 【答案】任何一个 【分析】略. 【解析】略. 10．如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是（   ） A．平行 B．平行或是异面直线 C．是异面直线 D．共面 【答案】B 【分析】由空间中直线的位置关系即可得解. 【解析】如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是同一平面内的平行直线或是异面直线. 故选：B. 11．已知，，，，则与l的位置关系是 . 【答案】异面/异面直线 【分析】根据异面直线的定义，结合反证法进行判断即可. 【解析】假设与l是共面直线，设，因为，所以， 又因为，所以，而，所以，因此，而， 因此有，这与相矛盾，故假设不成立，因此与l的位置关系是异面， 故答案为：异面 题型4:异面直线的判定 12．若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解. 【解析】因为是两条异面直线，直线， 所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交； 另外，c与b不可能平行，理由如下： 若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面； 综上，c与b的位置关系是相交或异面. 故答案为：相交或异面． 13．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】以正方体为例，举例说明，结合充分条件和必要条件的定义可得. 【解析】以正方体为例，举例说明即可. 如图，在正方体中，，但是异面，即不相交； ，但是、不垂直. 故答案为：既不充分也不必要. 14．判断正误． （1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) （3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( ) （4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( ) 【答案】 × √ × × 【解析】（1）可以平行、异面，故错误； （2）空间直线位置关系有三种：平行、相交、异面，故正确； （3）可以是异面、相交，故错误； （4）可以是异面、相交，故错误. 15．在正方体的12条棱､12条面对角线中，总共可以组成 对异面直线. 【答案】126 【分析】根据异面直线的定义可判断. 【解析】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故答案为：126. 16．下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】略 题型5:异面直线所成角 17．异面直线和所成的角为，则的范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用异面直线所成角定义可得答案. 【解析】由异面直线所成角的定义可知：异面直线和所成角的范围为. 故答案为：. 18．在正方体中，直线与所成角的大小为 ．（用角度表示） 【答案】 【分析】构造两条异面直线所成的角，再求角的大小. 【解析】如图： 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角， 易知为等边三角形，所以. 故答案为： 19．已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用三角形的中位线得到平行关系，将异面直线和所成的角转化为相交直线所成的角，再求解即可. 【解析】连接，，交点即为正方形的中心，连接， 在中，分别为的中点， 则，又，所以即为直线和直线所成的角， 在中，，所以，即和所成角大小为. 故答案为：. 20．已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【解析】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 21．设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值即可. 【解析】不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，    其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面 ；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上. 由题意，， 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为. 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大， 最大值为. 所以与所成角的取值范围为. 故答案为： 题型6:证明空间直线垂直 22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，、分别为、的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由题设易得，由已知及线面垂直的性质有面，根据线面垂直的判定可证、，再由线面垂直的判定及平行的推论可得面，最后由线面垂直的性质证结论. （2）若与平面所成角为，由线面垂直易知，即可求线面角的大小. 【解析】（1）由即，又，有， ∵面，面， ∴，而，则有面， 又面，则， 由面，有，且，为的中点，则， 又为的中点，有，即，而， 又，则，即共面， ∴面，而面，故. （2）由（1）知：面，若与平面所成角为，且， ∴ ，则，故. 23．如图，已知分别是空间四边形的边的中点. （1）求证：四点共面； （2）若四边形是矩形，求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据中位线定理证明，，得到，即可证明四点共面； （2）根据矩形关系有，结合中位线关系， ，即可证明. 【解析】（1）在中，分别是的中点，. 同理，则，故四点共面. （2）由（1）知，同理.又∵四边形是矩形，.故 【点睛】此题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直. 24．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【解析】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 题型7:已知异面直线所成角求其他量 25．正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 26．如图，在四面体中，，，与所成的角为，，分别为，的中点，求线段的长. 【答案】或 【分析】取的中点，连接，得到且，把异面直线与所成的角，转化为直线与所成的角，设，则或，结合余弦定理，即可求解. 【解析】如图所示，取的中点，连接， 在中，因为为的中点，可得且， 在中，因为为的中点，可得且， 由且，可得异面直线与所成的角，且所成的角为 即为直线与所成的角，设，则或， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 27．在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【分析】取中点为，连接，根据已知得出，，或.然后在中，根据余弦定理，即可得出答案. 【解析】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 28．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 【答案】(1)45°； (2)或 【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，进而求解； （2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解. 【解析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；    因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF； 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF； 在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°； 因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG， 即EF与AB所成的角的大小为45°； （2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1； 因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°； 在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1； 在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝， 综上，或 29．在中，是边上动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是 ．    【答案】 【分析】沿翻折为，则是以为轴截面的圆锥的母线，过点C作，则与AD所成的角等于与CE所成的角，设，则，，利用正弦定理进行求解即可． 【解析】在中，则， 沿翻折为，则是以为轴截面的圆锥的母线， 其中，共线，为圆锥的轴，与不重合，如图，    过点C作，则与AD所成的角等于与CE所成的角， 设，易知， 如图，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则， ∴，又，∴， ， 在中，由正弦定理得， ∴，∴， 又，∴， 即实数的取值范围是 故答案为：． 【点睛】方法点睛：立体几何中取值范围与最值问题，一般可从三个方面处理解决：一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 一、填空题 1．在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【分析】取中点为，连接，根据已知得出，，或.然后在中，根据余弦定理，即可得出答案. 【解析】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 2．在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】在长方体的上方补一个全等的长方体，进而在利用余弦定理求解即可. 【解析】解：在长方体的上方补一个全等的长方体， 所以，由长方体的性质可知：直线， 因为，，点为线段的中点 所以，，， 所以， 所以，异面直线与BF所成角的余弦值为. 故答案为： 3．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，两两夹角都为，且，，，M，N分别为，的中点，则MN与AC所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先证明，则是MN与AC所成的角，结合余弦定理即可证明. 【解析】 连接，，则四边形是平行四边形，∴． 又且， ∴，∴是MN与AC所成的角．由余弦定理可得： ， ， ． ∴． 故答案为：． 4．已知异面直线与所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成的角的直线有且只有 条. 【答案】2/两 【分析】结合图象，利用异面直线所成角的定义、直线的夹角分析判断即可得解. 【解析】解：    如上图，把异面直线与平移到点处相交， 平移后的直线分别为、，、， 则，在平面内，过点作直线平分， 则直线与、的夹角为. 过点作直线同时垂直、，也就是同时垂直、， 在直线向上或向下围绕点旋转到直线的过程中， 直线与、所成角单调递增，必然经过， 因为是向上下两侧旋转，所以有2条. 若考虑的补角的角平分线向上侧下侧转动， 因为的补角的角平分线与、夹角为， 向上或向下围绕点旋转到直线的过程中不经过. 故答案为：2. 5．如图，异面直线l，m，，，，，，，且，，，，则异面直线l，m夹角的余弦值为    【答案】/ 【分析】先根据异面直线所成角的定义构造角，再在三角形中应用余弦定理求解即可. 【解析】   过做平行线，连接则异面直线l，m夹角, 又因为 ， 中,. 故答案为:. 6．过正方体的顶点A作直线l，使得l与直线，所成的角均为，若这样的直线l恰有两条，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求出异面直线与所成角，过点作，，即可得到，过点分别作的角平分线及其垂线，即可得到直线、与、所成角，再过点作平面，即可得到直线与、所成角，从而得到，再分四种情况讨论，分别判断即可； 【解析】解：如图连接、，由正方体的性质可得且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角，显然为等边三角形，所以，即异面直线与所成角为， 如图，过点作，，则直线与所成的角为，现只需过点分别作的角平分线及其垂线，则直线与、所成角均为，直线与、所成角均为，过点作平面，则直线与、所成角均为，易知， ①当时，直线恰有1条（为）； ②当时，直线恰有2条（从绕点逆时针或顺时针至的过程中，产生2条）； ③当时，直线恰有3条（为1条，从绕点逆时针或顺时针至的过程中，产生2条）； ④当时，直线恰有4条（从绕点逆时针或顺时针至的过程中，产生2条，从绕点逆时针或顺时针至的过程中，产生2条）； 综上可得 故答案为： 二、单选题 7．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【解析】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 8．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，进而得解. 【解析】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 故选：D 三、解答题 9．如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，值域 (3) 【分析】（1）假设直线与共面，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明； （2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域； （3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案． 【解析】（1）证明：假设直线与是共面直线， 设直线与都在平面上，则A、、、． 因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点， 即平面和平面重合（都与平面重合）， 这与长方体的相邻两个面不重合矛盾， 于是，假设不成立， 直线与是异面直线. （2）解：正方体的棱长为2，， 设，则，得，， ，得， ， 当时，有最小值为， 当趋近于时，趋近于2，当趋近于0时，趋近于， 函数的值域为； （3）当时，最小，此时， 在底面中，，，， 又，为异面直线与所成角的角， 在中，为直角，， ∴异面直线与所成角的正弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$