24.3三角形一边的平行线（9大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

24.3 三角形一边的平行线 知识点一 线段比与面积比 ★1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线平行. 结论1：, 结论2：. ★2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等. 知识点二 三角形一边的平行线性质 ★1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 ★2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点三 三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. （2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 知识点四 三角形一边的平行线判定 ★1. 三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. ★2. 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 知识点五 平行线分线段成比例定理 ★1. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. ★2. 推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 题型一 根据三角形一边的平行线性质定理及推论判断比例是否正确 解题技巧提炼 判定比例是否成立，要按照三角形一边的平行线性质定理及推论证明，对应关系以及对应顺序不能颠倒混淆，比如短边对整体、长边对整体、短边对长边等等. 1．如图，，，垂足分别为、，则下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•浦东新区期末）如图，，，下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 3．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•闵行区期中）如图，点、、分别在 的边、、上，且，，下列四个式子中，不一定正确的是　　 A． B． C． D． 题型二 利用三角形一边的平行线性质定理或推论求比或比值 解题技巧提炼 解决此类题要先弄清楚三角形一边的平行线性质定理或推论中“对应线段”“成比例”等有关概念，然后直接运用定理进行计算. 1．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 　　． 2．（2023秋•崇明区期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　　． 3．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，是的中线，，交于点，则　　． 4．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则　　． 5．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，联结并延长交的延长线于点，求的值． 6.如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： （1）； （2）的长． 7.如图，梯形中，，，点为腰的中点． （1）求的值； （2）求的值． 8.如图， 在平行四边形中， 点为边上一点， 联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1） 若，求的长； （2） 求的值 ． 题型三 利用三角形一边的平行线性质定理或推论求线段的长 解题技巧提炼 先找到图中的基本图形，再根据基本图形的性质特征找到线段之间的等量关系. 1．（2023秋•普陀区期末）如图，点、分别在的边、的延长线上，且，如果，，，那么　　． 2．（2022秋•嘉定区期中）在中，点、分别在线段、的延长线上，，，，，那么　　． 3．（2023秋•宝山区期中）如图，点、、和点、、分别位于同一条直线上，如果，且，，那么　　． 4. 在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 5. 如图，在中，，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 6. 如图，已知，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 7. 如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 题型四 三角形的重心 解题技巧提炼 熟知三角形的重心到顶点的距离是其对边中点的距离的两倍是解决问题的关键. 1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是　　 A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 2．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　 　． 3. 如图，在中，是三角形的重心，，，，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2021秋•长宁区校级期中）是的中线，是重心，且，则　 　． 5．（2023秋•宝山区期末）在中，，点为重心，联结并延长，交于点，如果，那么的长是 　 　． 6．（2023秋•普陀区期末）已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么　　 ． 7．（2023秋•闵行区月考）已知在中，，，，是其重心，那么以、、为三边的三角形的面积是 　 　． 8．（2024•徐汇区三模）在中，，点是重心，如果，，那么　 　． 9．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　 　． 题型五 利用三角形一边的平行线性质定理及推论求证 解题技巧提炼 第1步：找到“A”字型或“8”字型； 第2步：平行→比例，比例→平行. 1.如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 2．（2023•徐汇区模拟）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接．求证：． 3. 如图，是的中线，过上任意一点，作，与和的延长线分别交于和，交于点 求证：． 4．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否平行？若能，此时与有什么关系？ 5．如图，在中，，为边上的一点，、，取的中点，连接并延长交于点． （1）求的值； （2）若，那么所在的直线与边有怎样的位置关系？证明你的结论． （3）点能否成为中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论． 题型六 三角形一边的平行线的判定定理 解题技巧提炼 利用“线段的比例关系”推导出“直线的平行关系”. 1．（2023秋•宝山区期中）中，、分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•松江区期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•松江区校级期中）已知直线分别交边、于、点，那么不能推出的是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•青浦区期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是　　 A． B． C． D． 5.（2022秋•奉贤区校级期中）如图，已知点、分别在的边、上的点，下列条件中，不一定能得的条件是　　 A． B． C． D． 题型七 三角形一边的平行线的判定定理推论 解题技巧提炼 运用“8”字型，找到比例关系，推导出线段之间的平行关系. 1．（2023秋•奉贤区期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•普陀区期中）在中，点、分别在、的延长线上，已知，下列各式不能判定的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•青浦区校级期末）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为　　 A． B． C． D． 4. 如图所示，，，，下列各式中错误的是　　 A． B． C． D． 5．（2023•崇明区一模）四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是　　 A． B． C． D． 题型八 平行线分线段成比例定理 解题技巧提炼 解决平行线分线段成比例定理在几何计算中的运用问题时，要注意“对应线段”的确定. 1．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知，，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023•徐汇区一模）如图，，若，则下面结论错误的是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知，，，那么的长等于　　 A．4 B． C． D．8 4．（2022秋•闵行区期末）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•奉贤区期中）已知线段，，，求作线段，使，下列作法中正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•青浦区期末）如图，已知直线、、分别交直线于点、、、交直线于点、、，如果，，那么　　． 7．（2023秋•长宁区校级月考）如图，，，，则的长为 　 　． 8．（2023秋•长宁区期末）如图，，如果，，那么线段的长为　 　． 9．（2022秋•崇明区校级期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为 　 　． 10．（2023秋•徐汇区期末）如图，，如果，，，那么的长是 　 　． 11．（2023秋•松江区月考）已知：如图，，，，，，求，的长． 12. 如图，中有菱形，如果，则的值为　 　． 题型九 利用平行线分线段成比例定理求证 解题技巧提炼 利用平行线分线段成比例定理求证时，要看清楚被截线上面的对应线段，通过平行线推出对应线段之间的数量关系. 1．如图，在梯形中，，对角线、相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2．如图，为平行四边形的对角线上任意一点，过点的直线交于点，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：． 3．已知：，与交于点，作，交于．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 三角形一边的平行线 知识点一 线段比与面积比 ★1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线平行. 结论1：, 结论2：. ★2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等. 知识点二 三角形一边的平行线性质 ★1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 ★2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点三 三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. （2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 知识点四 三角形一边的平行线判定 ★1. 三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. ★2. 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 知识点五 平行线分线段成比例定理 ★1. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. ★2. 推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 题型一 根据三角形一边的平行线性质定理及推论判断比例是否正确 解题技巧提炼 判定比例是否成立，要按照三角形一边的平行线性质定理及推论证明，对应关系以及对应顺序不能颠倒混淆，比如短边对整体、长边对整体、短边对长边等等. 1．如图，，，垂足分别为、，则下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】证明：，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（2022秋•浦东新区期末）如图，，，下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．， ， ，故本选项符合题意； ．， ，故本选项不符合题意； ．， ， ， 即，故本选项不符合题意； ．，， ，， ，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 3．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， ，． ． 故选：． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时要熟练掌握并理解． 4．（2023秋•闵行区期中）如图，点、、分别在 的边、、上，且，，下列四个式子中，不一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ， ， ，故选项正确，不符合题意； ，故选项不一定正确，符合题意；故选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，熟练掌握“”字相似三角形模型是解题关键． 题型二 利用三角形一边的平行线性质定理或推论求比或比值 解题技巧提炼 解决此类题要先弄清楚三角形一边的平行线性质定理或推论中“对应线段”“成比例”等有关概念，然后直接运用定理进行计算. 1．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 　　． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 2．（2023秋•崇明区期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　　． 【答案】． 【解答】解：过点作，交于， 则，， 是的中线，是的中点， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，是的中线，，交于点，则　　． 【答案】． 【解答】解：是的中线， 点是中点， ， 点是中点， 是中位线， ，， 是中位线， ， 设，则，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用，其中三角形中位线性质的应用是解题关键． 4．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则　　． 【答案】． 【解答】解：，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 5．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，联结并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】2． 【解答】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键． 6.如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： （1）； （2）的长． 【解答】解：（1），， ， 即； （2），， ， ， ． 故（1）（2）． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 7.如图，梯形中，，，点为腰的中点． （1）求的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）延长交直线于，如图， ， ， ， 点为边的中点， ， ， 而， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； 设，则，， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 8.如图， 在平行四边形中， 点为边上一点， 联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． （1） 若，求的长； （2） 求的值 ． 【解答】解： （1）， ， ， ． （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行四边形的性质， 平行线分线段成比例定理等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 ． 题型三 利用三角形一边的平行线性质定理或推论求线段的长 解题技巧提炼 先找到图中的基本图形，再根据基本图形的性质特征找到线段之间的等量关系. 1．（2023秋•普陀区期末）如图，点、分别在的边、的延长线上，且，如果，，，那么　　． 【答案】． 【解答】解：， ，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．（2022秋•嘉定区期中）在中，点、分别在线段、的延长线上，，，，，那么　8　． 【解答】解：， ， ，，， ， ， ． 故答案为：8． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 3．（2023秋•宝山区期中）如图，点、、和点、、分别位于同一条直线上，如果，且，，那么　6　． 【答案】6． 【解答】解：， ， ，， ， 解得：， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4. 在中，平分交于点，交于点，已知：，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：， ， 又平分， ， ， ， 又， ， ，， ， 即， ． 故选：． 【点评】此题结合了平行线的性质和平行线分线段成比例定理，构思巧妙，是一道很好的题． 5. 如图，在中，，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ，， ， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定定理与性质，并灵活运用． 6. 如图，已知，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【解答】解：（1）， ，即， 解得，， 则； （2）， ，即， 解得，． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7. 如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 【答案】16． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得：， ． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型四 三角形的重心 解题技巧提炼 熟知三角形的重心到顶点的距离是其对边中点的距离的两倍是解决问题的关键. 1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是　　 A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：． 【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 2．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　9　． 【答案】9． 【解答】解：如图，连接，延长交于点． 点是的重心， ，为边上的中线， ， 边上的中线长为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 3. 如图，在中，是三角形的重心，，，，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】 【解答】解：如图，延长交于点； 点是的重心， ； ， ， ． 由勾股定理得： ，而，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 4．（2021秋•长宁区校级期中）是的中线，是重心，且，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：是的中线，是重心， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 5．（2023秋•宝山区期末）在中，，点为重心，联结并延长，交于点，如果，那么的长是 　1　． 【答案】1． 【解答】解：， 点为重心，联结并延长，交于点， 是边的中线， ， ， 点是重心， ， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了重心，关键是掌握重心的性质． 6．（2023秋•普陀区期末）已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么　　． 【答案】． 【解答】解：在等边三角形中， 延长交于点， 点是的重心， ． 为等边三角形， ． ． 点是的重心， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了重心的概念、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 7．（2023秋•闵行区月考）已知在中，，，，是其重心，那么以、、为三边的三角形的面积是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：如图：延长交于，再延长，使得， 是中线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 那么以、、为三边的三角形为， ， 平行四边形的面积为， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形的中线的三等分点是解答本题的关键． 8．（2024•徐汇区三模）在中，，点是重心，如果，，那么　　． 【答案】． 【解答】解：分别延长、、交的边于、、点，如图， 点是重心， 、、为的中线，，， ，， 设，，则，， 在中，①， 在中，①， ①②得， ， ， 为斜边上的中线， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 9．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　　． 【答案】． 【解答】解：连接并延长，交于，交于，如图： ，，是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 又为正三角形， 它的重心在上， ， ，， 设，则，， ， ， 在内部， ， 即， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心，根据等腰直角三角形和等边三角形的性质，判断出在上是本题解题的关键． 题型五 利用三角形一边的平行线性质定理及推论求证 解题技巧提炼 第1步：找到“A”字型或“8”字型； 第2步：平行→比例，比例→平行. 1.如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【解答】证明：， ， ， ， ， 即， 是和的比例中项． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．（2023•徐汇区模拟）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接．求证：． 【解答】证明：如图，延长到，使，连接、． 是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， 同理， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理： （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 3. 如图，是的中线，过上任意一点，作，与和的延长线分别交于和，交于点 求证：． 【解答】证明：延长至，使，连接，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 又，， ，， ， 且， 四边形为平行四边形， ． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造平行四边形． 4．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否平行？若能，此时与有什么关系？ 【分析】（1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【解答】解：（1）， ． ， ． ； （2）能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． 5．如图，在中，，为边上的一点，、，取的中点，连接并延长交于点． （1）求的值； （2）若，那么所在的直线与边有怎样的位置关系？证明你的结论． （3）点能否成为中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论． 【分析】（1）过点作交于，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据中点定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到，从而得到； （2）求出，然后代入（1）的关系式计算即可求出，从而得到点是的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答； （3）假设成立，求出，然后代入（1）的关系式计算即可求出，与已知条件矛盾． 【解答】解：（1）如图，过点作交于， 则，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）若，则， 由（1）知，， 解得， 点是的中点， ， ； （3）不能． 理由如下：假设点能成为中点， 则， ， 由（1）知， 解得， 这与、相矛盾， 所以，点不能成为中点． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键． 题型六 三角形一边的平行线的判定定理 解题技巧提炼 利用“线段的比例关系”推导出“直线的平行关系”. 1．（2023秋•宝山区期中）中，、分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理 2．（2023秋•松江区期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：当，，时，， 当时，不能确定与相似， 不能确定与相等， 不能够判断， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键． 3．（2022秋•松江区校级期中）已知直线分别交边、于、点，那么不能推出的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， ， ，故不符合题意； ， ， ，故不符合题意； 由不能推得，故符合题意； ， ， ，即． ，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的逆定理等知识点，灵活运用平行线分线段成比例定理的逆定理“三条直线去截两条直线，如果截得的对应线段成比例，则这三条直线平行”是解答本题的关键． 4．（2024春•青浦区期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，， ，， ， 不能推出，本选项不符合题意； 、，， 、不一定相等， 与不一定相似， 不能推出，本选项不符合题意； 、，， ， ，本选项符合题意； 、，， ， ， 不能推出，本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 5.（2022秋•奉贤区校级期中）如图，已知点、分别在的边、上的点，下列条件中，不一定能得的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， ， 、由不一定能得到， 、 ， 、， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型七 三角形一边的平行线的判定定理推论 解题技巧提炼 运用“8”字型，找到比例关系，推导出线段之间的平行关系. 1．（2023秋•奉贤区期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， 当时，， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2．（2023秋•普陀区期中）在中，点、分别在、的延长线上，已知，下列各式不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． 若要判定，只需， ，， ，，给出的条件均为判定． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”是解题的关键． 3．（2024春•青浦区校级期末）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图： 、当时，不能判定，不符合题意； 、当时，不能判定，不符合题意； 、当，能判定，符合题意； 、当时，能判定，而当时，不能判定，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 4. 如图所示，，，，下列各式中错误的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ，， ，， 5．（2023•崇明区一模）四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：当时，无法判断，故选项不符合题意； 当时，，则，故，，但无法判断，故选项不符合题意； 当时，无法判断，故选项不符合题意； 当时，，则，故，可以判断判断，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型八 平行线分线段成比例定理 解题技巧提炼 解决平行线分线段成比例定理在几何计算中的运用问题时，要注意“对应线段”的确定. 1．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知，，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ，选项错误，不符合题意； 的值无法确定，选项错误，不符合题意； 的值无法确定，选项错误，不符合题意； ，选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 2．（2023•徐汇区一模）如图，，若，则下面结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由，得，故不符合题意； ， ，故不符合题意； 根据已知条件得不出，故符合题意； 由，得，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 3．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知，，，那么的长等于　　 A．4 B． C． D．8 【答案】 【解答】解：， ， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 4．（2022秋•闵行区期末）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， 即， ． 故选：． 5．（2022秋•奉贤区期中）已知线段，，，求作线段，使，下列作法中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把乘积式转化为比例式，可得结论． 【解答】解：由题意，， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 6．（2024春•青浦区期末）如图，已知直线、、分别交直线于点、、、交直线于点、、，如果，，那么　　． 【答案】． 【解答】解：，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 7．（2023秋•长宁区校级月考）如图，，，，则的长为 　15　． 【解答】解：， ，即， 解得：， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8．（2023秋•长宁区期末）如图，，如果，，那么线段的长为　6　． 【解答】解：， ， ， ； 故答案为：6． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式． 9．（2022秋•崇明区校级期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 10．（2023秋•徐汇区期末）如图，，如果，，，那么的长是 　4.2　． 【答案】4.2． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得． 故答案为：4.2． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应． 11．（2023秋•松江区月考）已知：如图，，，，，，求，的长． 【答案】，． 【解答】解：， ，， ，，，， ， ，， ， ， ， ，． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 12. 如图，中有菱形，如果，则的值为　　． 【分析】由菱形，得到与平行，由平行得比例求出所求之比即可． 【解答】解：菱形， ， ， 由，得到， ，即， ， 的值为， 故答案为： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型九 利用平行线分线段成比例定理求证 解题技巧提炼 利用平行线分线段成比例定理求证时，要看清楚被截线上面的对应线段，通过平行线推出对应线段之间的数量关系. 1．如图，在梯形中，，对角线、相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到，同理得到，等量代换得到答案； （2）根据（1）的结论，代入计算即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）； ， 解得，， ． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（2013秋•虹口区校级月考）如图，为平行四边形的对角线上任意一点，过点的直线交于点，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：． 【分析】根据平行四边形的性质可知：，所以，同理可证，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到中间比值． 3．已知：，与交于点，作，交于．求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先证明，根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确通过相似三角形的性质把线段的比进行转化是关键．同时考查了平行线分线段成比例定理的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$