专题03证明三角形全等的四种方法-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题03证明三角形全等的四种方法 题型01已知两边对应相等，选择“SSS”或“SAS” 【典例分析】 【例1-1】（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例1-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知于点于点．求证：． 【例1-3】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【变式演练】 【变式1-1】（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    题型02已知两角对应相等，选择“ASA”或“AAS” 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．    【例2-3】（2024·八年级上甘肃天水·） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）在中，，是的平分线，点，是上的两点，且，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．是的平分线 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：． 【变式2-3】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 题型03已知一边一角对应相等，选择“SAS”“ASA”或“AAS” 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【例3-2】（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，，， (1)求证：≌； (2)若，，求的度数． 【例3-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在 和 中，B、E、C、F 共线，，求证：      (1)． (2) 【变式3-2】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 题型04开放性问题，注意公共边（角）等隐含条件的使用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，相交于点，下列所给条件不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    【例4-3】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、在上，，，、相交于点，要使得，添加下列哪一个条件（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【变式4-3】（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是： ； (2)证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03证明三角形全等的四种方法 题型01已知两边对应相等，选择“SSS”或“SAS” 【典例分析】 【例1-1】（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， 综上，图中全等三角形共有3对， 故选：C． 【例1-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判断和性质，角的平分线的性质定理，先三角形全等，得到角的平分线，再证明即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ， ， 点在上，， ． 【例1-3】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式1-1】（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故选A． 【变式1-2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】延长至E，使得，连接，如图， ∵点D是BC的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见解析 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型02已知两角对应相等，选择“ASA”或“AAS” 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等，延长CF交AB于H，通过证明，可判断①；求出可判断②；证明垂直平分，通过等量代换可判断③；通过可判断④． 【详解】解：如图，延长CF交AB于H， ∵分别为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， 故③符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故④不符合题意； ∴正确的有①②③． 故选A． 【例2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到，，由线段之间的关系得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ 【例2-3】（2024·八年级上甘肃天水·） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的外角性质得出 ，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答，关键是利用证明与全等解答． 【详解】，， ， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）在中，，是的平分线，点，是上的两点，且，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．是的平分线 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法； 根据三角形的三线合一可以得出A正确，再根据角平分线的定义得出，利用证明，再利用证明，即可得出结论． 【详解】解：，是的平分线， ，故A正确； 是的平分线， , , ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故B、C正确， 故选：D 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及平行线性质、三角形全等的判定与性质等知识，连接，如图所示，由平行线性质得到，再由三角形全等的判定与性质即可得证，添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，根据要证明的结论准确作出辅助线是解决问题的关键． 【详解】证明：连接，如图所示：        ∵． ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式2-3】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 题型03已知一边一角对应相等，选择“SAS”“ASA”或“AAS” 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【例3-2】（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，，， (1)求证：≌； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理以及平行线的性质，掌握以上知识点是解此题的关键． （1）通过，可得出，再利用全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）根据已知条件以及三角形内角和定理可求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又，， ≌ （2）≌， ∴ ∵ ∴ 【例3-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点，，，在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质得出，再求得，利用证明与全等，利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在 和 中，B、E、C、F 共线，，求证：      (1)． (2) 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质求出，求出，由“”可证，可得； （2）由可得，再根据等角的补角相等得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由题意可得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】利用三角形外角的性质得, 从而证明结论; 利用内错角相等，两直线平行证明即可； 利用证明,得到，然后再利用证明，从而得出结论. 【详解】（1）证明: ∵是的角平分线, ∴, ∵分别是的外角, ∴, 又∵, ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）   ∵平分, ∴, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴， 又∵,， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键 题型04开放性问题，注意公共边（角）等隐含条件的使用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，相交于点，下列所给条件不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用全等三角形的判定依次判断即可； 【详解】解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意； B、若，且，无法证明，故选项B符合题意； C、若，且，由“”可证，故选项C不符合题意； D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意； 故选：B． 【例4-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程．    【答案】选②（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经有条件，，证明，再补充条件证明即可． 【详解】解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【例4-3】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)或或（答案不唯一，任意写一种即可），证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定 ，等腰三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，，求解即可； （2）根据，得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论． 【详解】（1）解：添加的条件：或或（答案不唯一，任意写一种即可） 证明：如图， 在和中， ； 在和中， ； 在和中， ； （注：答案不唯一，任意写一种即可） （2）解：由（1）得：， ， ， ， 为等边三角形 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、在上，，，、相交于点，要使得，添加下列哪一个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、添加，不能使得，不符合题意； B、添加，不能使得，不符合题意； C、添加，不能使得，不符合题意； D、添加，利用，可以使得，符合题意； 故选：D 【变式4-2】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③(2)见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是： ； (2)证明： 【答案】(1)①（或点D是线段的中点）或②或③ (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）由已知可得，，根据三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：（或点D是线段的中点），②，③ ； （2）以为例进行证明，由已知可得，，可根据判定． 【详解】（1）解：∵ ，   ∴， ， 故添加的条件是：①（或点D是线段的中点），②，③ ，中任选一个即可， 故答案为：①（或点D是线段的中点）或②或③（人选一个）． （2）选择， 证明：∵ ，   ∴， 在与中， ， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$