22.1.1二次函数讲义（知识讲解+专项习题+巩固提升）2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.1二次函数 2024-2025学年人教版数学九年级上册 素养目标：1、经历根据具体问题的数量关系探索二次函数的模型的过程，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力； 2、通过二次函数概念和概括过程，进一步培养学生观察、分析、概括和特化的能力以及准确的运算能力； 3、理解二次函数的概念和解析式。 教学重点：理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达式及其特点，以及理解二次函数的性质。 教学难点：能够在实际问题中识别不同类型的二次函数，应用二次函数解决实际问题。 知识点一、二次函数 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 考点一、列二次函数关系式 例1、正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . 例2、n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 的关系式为 . 例3、某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 针对练习1、 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 针对练习2、 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 针对练习3、 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. 针对练习4、 要用长为20的铁栏杆围成一个一面靠墙面积为矩形菜园，墙长12，设与墙平行的一边长为。 （1） 请列出与的函数关系式，并化为一般形式； （2）写出该函数的自变量取值范围. （3）当取何值时，矩形面积最大. 考点二、二次函数的识别 例1、请判断下列函数中哪些是二次函数，若是二次函数则请确定它的二次项、一次项系数及常数项. ①（ ） 其中 ② （ ） 其中 ③ （ ） 其中 ④ （ ） 其中 例2、下列函数中，是二次函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 例3、下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ； ；； ； ；； 针对练习1、 下列函数中，常量3表示二次项系数的是（    ） A． B． C． D． 针对练习2、 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax² + bx + c 的形式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为________ . 针对练习3、 下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 针对练习4、 下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三、根据二次函数的定义求参数 例1、若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2、若函数 是二次函数，求 m 的值. 例3、已知( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； 针对练习1、已知二次函数 . (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 针对练习2、若． (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 针对练习3、已知二次函数，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝－3．求的值． 小结： 巩固练习： 1．二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4 2．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx C．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对 3．已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1 4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 5．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6 6．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3） =0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（　　） A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 7．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（　　） A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数 C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对 8．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=3x3+2x2；④y=2x2﹣2x+1，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知两个变量x，y之间的关系式为y=（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3． （1）当　 　时，x，y之间是二次函数关系； （2）当　 　时，x，y之间是一次函数关系． 10．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为　 　，成立的条件是　 　，是　 　函数． 11．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是　 　，函数值y的取值范围是　 　． 12．若y=（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m=　 　． 13．函数 的图象是抛物线，则m=　 　． 14．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）． （1）当m　 　时，该函数为二次函数； （2）当m　 　时，该函数为一次函数． 15．已知y=（m﹣2）x +3x+6是二次函数，求m的值． 16． 已知函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，求不等式 的解集． 17．若y=（m﹣3） 是二次函数， （1）求m的值． （2）求出该图象上纵坐标为﹣6的点的坐标． 18．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m． （1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围． （2）若这个函数是一次函数，求m的值． （3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 19． 已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值． 20．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$