专题03矩形的性质与判定的五种常见应用-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题03矩形的性质与判定的五种常见应用 题型01利用矩形的判定与性质解和差问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【例1-2】（22-23九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，已知：，，P是上的一个动点，的最小值为 ． 【例1-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【变式1-2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 【变式1-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1） “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在中，，是腰上的高，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求证：； 如图，小丽同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作于点，将线段，，之间的关系转化为线段，，之间的数量关系． 如图，小亮同学从，，均为三角形腰上的高出发，连接，用等面积方法得到结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图，在矩形中，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 题型02利用矩形的判定和性质解面积问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【例2-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于 ． 【例2-3】（23-24九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知是四边形各边的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．12 C．24 D．48 【变式2-2】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是（      ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 题型03利用矩形的性质判定菱形 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【例3-2】（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 【例3-3】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·江西南昌·期中）如图，点O为矩形的对称中心，动点P从点A出发沿向点D移动，移动到点D停止，延长交于点Q，则四边形形状的不可能出现（    ）    A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式3-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式3-3】（23-24九年级上·山西晋中·期末）在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 题型04利用矩形的性质探究与菱形相关的折叠问题 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．    【例4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，当PNEF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH，△CFG的面积之和为12，则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，矩形中，点E，F分别在，上，将矩形沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，，，点H与点A重合时，求的长． 【变式4-3】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 题型05利用矩形的性质探求动点问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【例5-2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）在矩形中，，．点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 【例5-3】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，点P为斜边上一动点，于点E，于点F，连接，则线段长的最小值为（　　）    A．24 B． C． D．5 【变式5-2】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03矩形的性质与判定的五种常见应用 题型01利用矩形的判定与性质解和差问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为24，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 的值最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型 【例1-2】（22-23九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，已知：，，P是上的一个动点，的最小值为 ． 【答案】10 【分析】作A关于的对称点E，连接，交于点P，则就是的最小值，利用勾股定理计算即可． 【详解】作A关于的对称点E，连接，交于点P，则就是的最小值， ∴， 过E作交的延长线于F， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称和勾股定理是解题的关键 【例1-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 【答案】(1)(2)的周长是定值24，理由见解答过程(3) 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）先求，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）由，可求的长，从而求出． 【详解】（1）解：如图1，设与的交点为，连接， 四边形是矩形，，， ，，，，， ，， ，， ，， ， 解得：． （2）解：的周长是定值24，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长， 的周长是定值24； （3）解：如图3，连接，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积等知识是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质，轴对称性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 作点F关于对称点，根据正方形是轴对称图形，是一条对称轴，可得点F关于的对称点在线段上，连接，P为上的一个动点，，则，的最小值为的长即可． 【详解】解：作点F关于对称点， ∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴， ∴点F关于的对称点在线段上，连接， ∵P为上的一个动点， ∴， 则， 的最小值为的长， ∵，， ∴， 过点E作于点G， 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据直角三角形含角的性质可得的长； （2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）如图③，当与重合时，最大，此时最大，先由勾股定理可得的长，证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∵，， ， ； （2）证明：如图②，过点作，交于点，则， ， ， ，， ， 又，， ∴， ， ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：如图③，当与重合时，最大，此时最大， 由折叠得：，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 当最大时，的值为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，确定最大时点的位置是解本题的关键． 【变式1-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1） “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在中，，是腰上的高，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求证：； 如图，小丽同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作于点，将线段，，之间的关系转化为线段，，之间的数量关系． 如图，小亮同学从，，均为三角形腰上的高出发，连接，用等面积方法得到结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图，在矩形中，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，证明，得出，则可得出结论； 设与的交点为，连接，根据可得出结论； （2）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （3）证出，由直角三角形的性质得出，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ，，， ， ， ， ． （2）解：设与的交点为，连接， 四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得：； （3）解：，，， ， ， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键 题型02利用矩形的判定和性质解面积问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 故选：C 【例2-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，再根据矩形对角线平分矩形面积推出，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8 【例2-3】（23-24九年级上·湖南常德·开学考试）如图，已知是四边形各边的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若四边形是矩形，且其面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形是平行四边形是解题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由矩形的判定与性质得出答案． 【详解】（1）．证明：（1）连接， 、分别为、的中点， 是的中位线， 同理， ， 四边形为平行四边形 （2）如图，由（1）知四边形为平行四边形， 四边形是矩形，且是四边形各边的中点， ， 四边形和四边形都是矩形， 四边形是菱形， ， 四边形的面积是， ， 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理和矩形的判定证明四边形为矩形，再根据矩形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定及平行四边形的判定，熟练掌握角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键 【变式2-2】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形面积求法，涉及矩形性质，中位线的判定与性质、菱形的判定与性质和菱形面积公式等知识，数形结合，熟记菱形的判定与性质，准确判断四边形是菱形是解决问题的关键． 【详解】解：连接、，如图所示：    在矩形中，， 分别是矩形各边的中点， ，即， 四边形是菱形， 连接、，如图所示：   四边形的面积为， 故选：C． 【变式2-3】（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积= 题型03利用矩形的性质判定菱形 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质，菱形的判定；连接、，根据三角形中位线的性质，矩形的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故选B 【例3-2】（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定，根据矩形性质和已知条件证明即可判断四边形是菱形 【详解】证明：四边形是矩形， ，，．     ．     ，，， ．     ，．     ．     四边形是菱形 【例3-3】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形性质可得：，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积，可求解． 【详解】（1）证明：矩形的对角线，相交于点， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是矩形，，， ，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积； 【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，平行四边形的判定等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·江西南昌·期中）如图，点O为矩形的对称中心，动点P从点A出发沿向点D移动，移动到点D停止，延长交于点Q，则四边形形状的不可能出现（    ）    A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 当点P和点D重合时，四边形是矩形， 可知四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据与的关系即可求解 【变式3-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证明，得出，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明四边形是菱形； （2）设，在和中根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，垂直平分， ，，， ，， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形 垂直平分，即， 平行四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， 设，则， 在和中，，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·山西晋中·期末）在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形．理由见解析 (3)6或． 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由得到，然后结合旋转的性质得到，证明出点A，，三点共线，然后得到；当点在线段下方时，首先由和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）， 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E是线段的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）如图所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，，三点共线， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点在线段下方时， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，当时，点与点之间的距离为6或． 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键 题型04利用矩形的性质探究与菱形相关的折叠问题 【典例分析】 【例4】（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，，且经过B点，若，则 ．    【答案】 【分析】延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【例4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠变换的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，有判定定理即可证明结论； （2）设，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图 ， ∴ 在中，由勾股定理可得， ， 作 ， 设， ， 由折叠可得， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得： ， ， ， 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，当PNEF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH，△CFG的面积之和为12，则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为 ． 【答案】12 【分析】证出EH是△ABD的中位线，得出BD=2EH=4HN，由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y．构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AC与BD垂直平分， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴AE=AH，EH是△ABD的中位线， ∴EN=HN，BD=2EH=4HN， 由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y． 则有， 解得：， ∴AN=2，HN=3， ∴BD=4HN=12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 【变式4-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，矩形中，点E，F分别在，上，将矩形沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，，，点H与点A重合时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的长为 【分析】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． （1）先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）过点作于，求出，再利用勾股定理列式求解得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：点与点重合时，设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， 如图，过点作于，得矩形，矩形， ，，， ， 由勾股定理得，， ． 【变式4-3】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断； （2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； ②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：根据折叠，，， 四边形是矩形， ，， ，， 在和中， ， ； （2）解：①结论：四边形是菱形． 理由：四边形是矩形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；               解：②，， ． ． 设， ． 在直角中， ，即， 解得，即， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、翻折不变性进行解答 题型05利用矩形的性质探求动点问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小；根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接 ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形: ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 【例5-2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）在矩形中，，．点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情形：如图1中，当，过点D作于点J．证明，可得结论．如图2中，当时，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】如图1中，当，过点D作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图2中，当时， 设，则， ∴， ∴． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【例5-3】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形． 【答案】(1)时，四边形是矩形 (2)不存在，某一时刻t，使四边形使菱形，当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【分析】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及勾股定理解三角形． （1）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）过作于N，根据勾股定理得，当时，四边形为平行四边形，进而可得，可知不存在，某一时刻t，使四边形是菱形，设Q的速度为，根据当时，四边形是平行四边形，得到，再根据当时，是菱形，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，， 当时四边形是矩形． 又∵，， ∴， ∴时，四边形是矩形； （2）不存在，某一时刻t，使四边形是菱形；理由如下： 过作于N，则四边形均为矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴不存在，某一时刻t，使四边形是菱形； 设Q的速度为， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 当时，是菱形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，点P为斜边上一动点，于点E，于点F，连接，则线段长的最小值为（　　）    A．24 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了线段的最值问题，矩形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线转化线段是解题的关键．先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得到，即当时，最小，利用勾股定理及面积法计算，即得答案． 【详解】解：连接PC， ，， ， 四边形是矩形， ， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ，， ， 的最小值为， 线段长的最小值为． 故选C 【变式5-2】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是 ． 【答案】/ 【分析】 此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．利用面积公式求出点P到对角线的距离之和是解题的关键． 连接，由矩形的两条边、的长分别为和，可求得，的面积，然后由求得答案． 【详解】 解：连接，过作于，于， 矩形的两条边、的长分别为和， ，，，， ， ， ， ， 解得：． 即点到矩形的两条对角线和的距离之和是． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)在中点时，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】此题考查了矩形判定、菱形的性质，熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，结合已知和图形中的隐含条件即可证明； （2）由（）得从而得到，至此，可得四边形是平行四边形； 然后根据矩形的性质得到，再求出，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可； 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， （2）在中点时，四边形是矩形，理由， 由（）得：， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵平行四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即在中点时，四边形是矩形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$