专题02利用矩形性质巧解折叠问题-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题02利用矩形性质巧解折叠问题 题型01利用矩形的性质巧求折叠中的角 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，已知长方形纸片为边上的一点，将纸片沿折叠使点落在处，点落在处，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例1-2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，动点P从点A出发，沿边向点C运动，点A、D关于直线的对称点分别为点E、F，连接EF．已知．． (1)当点P在边上，且时，求的度数； (2)当点F在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； (3)当直线恰好经过点C时，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图是一张长方形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接．若，则的度数为（    ）    A．15° B．16° C．18° D．20° 【变式1-2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．    【变式1-3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 题型02利用矩形的性质巧求折叠中线段的和 【典例分析】 【例2】（22-23九年级上·重庆北碚·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，P是AE上的动点． (1)求EC的长； (2)如图2，Q是AD上的动点，求的最小值； (3)若是等腰三角形，直接写出AP的长． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·江西新余·阶段练习）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（20-21九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【变式2-3】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．    (1)求点坐标． (2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离． 题型03利用矩形的性质巧求折叠中重叠面积 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 【例3-2】（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是 cm2． 【例3-3】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【变式3-2】（20-21九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线进行折叠，点落在点处，若，则重叠部分（阴影部分）的面积是 （平方单位）． 【变式3-3】（20-21九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型04利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·四川内江·期中）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，的延长线过点C．若，则 ． 【例4-2】．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形纸片中，．把沿对角线BD折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 【例4-3】（23-24九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，在矩形中，O为对角线的中点，F为边上一动点，将沿折叠得到．若直线恒过点O，直线，交于点E． (1)求证：． (2)若点P在矩形内， ①当时，求长． ②当时，求的值． 【变式4-3】（2023·吉林长春·一模）实践与探究： 【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：； 【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时， ； 【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为 ． 题型05利用矩形的性质巧证折叠中的平行线 【典例分析】 【例5-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，交于F，连接． 求证： (1)； (2)． 【例5-2】如图，已知矩形，点为的中点，将△沿直线折叠，点落在点处，连接， (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【变式演练】 【变式5-1】如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE. 求证：（1）BF＝DF； （2）AE∥BD； （3）若AB＝6，AD＝8，求BF的长. 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，O是对角线中点．过O点的直线与矩形的一组对边，分别相交于点F，E． (1)求证：； (2)点与B关于直线对称，连接． ①求证：； ②若，且四边形是平行四边形，求线段长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02利用矩形性质巧解折叠问题 题型01利用矩形的性质巧求折叠中的角 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，已知长方形纸片为边上的一点，将纸片沿折叠使点落在处，点落在处，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的计算方法和折叠的性质是解决问题的关键．根据的度数求出的度数和，然后根据折叠的性质求出的和，再加上的度数就是的度数． 【详解】解：， ， 由折叠性质可知：， ， ， 故选：B 【例1-2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ， ∵沿折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 【例1-3】．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，动点P从点A出发，沿边向点C运动，点A、D关于直线的对称点分别为点E、F，连接EF．已知．． (1)当点P在边上，且时，求的度数； (2)当点F在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； (3)当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）画出图形，证明是等腰直角三角形，则．由对称性知，即可得到； （2）求出，当点F在的延长线上时，，连接，则．设，则，由勾股定理得到，列方程求出，即可得到．证明，则，即可得到； （3）分两种情况画出图形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由对称性知， ∴． （2）如图， ∵， ∴， ∵当点F在的延长线上时，，连接， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论：①如图，当点P在边上时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； ②如图4，当点P在边上时， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．能够正确的作出图形，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图是一张长方形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接．若，则的度数为（    ）    A．15° B．16° C．18° D．20° 【答案】C 【分析】如图，连接，由折叠知，，，可证，.设则， ．中，，解得． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，，， ∵， ∴. ∴. 长方形，点M是对角线的中点， ∴. ∴. 设则， ∴． ∴． 中，， ∴，解得 故选：C    【点睛】本题考查轴对称折叠的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余、外角的性质；连接辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键 【变式1-2】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．    【答案】70 【分析】根据即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵ 故答案为：70 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质．熟记相关结论即可 【变式1-3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可； （2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形沿对角线折叠， ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型02利用矩形的性质巧求折叠中线段的和 【典例分析】 【例2】（22-23九年级上·重庆北碚·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，P是AE上的动点． (1)求EC的长； (2)如图2，Q是AD上的动点，求的最小值； (3)若是等腰三角形，直接写出AP的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用折叠性质，在中求得的长，设在中利用勾股定理即可求解； （2）根据折叠性质，点F、D关于直线对称，过F点作于Q点，交于P点，此时的最小值为，证明是矩形，即可求解； （3）由题可知，，可以求出，由于是等腰三角形，即是等边三角形，进而求出AP的长． 【详解】（1）解：为矩形， ，， 设则， 又， ， ， ， ， ， 解得： 的长为； （2）如图，根据折叠性质，点F、D关于直线对称，过F点作于Q点，交于P点，此时的最小值为， 为矩形， 又， 是矩形， ， 的最小值为； （3）在中，， ， ， ， 当点P 在中点时，是等边三角形，这时， 故AP的长为时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的折叠变换，轴对称性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是利用轴对称构造最短路径，学会利用参数解决问题 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·江西新余·阶段练习）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值． 【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，． 在中， ，， ．， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型 【变式2-2】（20-21九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q．由此即可知，再根据，即得出当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点．在中，利用勾股定理可求出的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即得出，由此即可求出的长，即有最小值． 【详解】解：如图，将矩形ABCD沿AD边翻折，得到矩形，E、F、G的对应点分别为．连接、，交于点P，交BD于点Q． 由翻折可知， ∵， ∴． 即当点与P重合，H与Q重合时，有最小值，最小值为的长，此时P为中点． ∵， ∴， ∴在中，． ∵，， P为中点， ∴， ∴． ∴的最小值为9． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．正确的作出辅助线是解题的关键 【变式2-3】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．    (1)求点坐标． (2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离． 【答案】(1)； (2)的长度的最短距离为． 【分析】（1）由点坐标，求得矩形的边长，连接，与交于点，过作于点，由三角形的面积公式求得，设，由勾股定理列出的方程求得，再求得，便可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，根据两点距离公式求出便可． 【详解】（1）点的坐标为， ，， 连接，与交于点，过作于点，    由折叠知，，，， ， ， ， 设，则， ， 即， 解得，，即， ， ； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，   ， ， 故的长度的最短距离为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，第（1）题关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，第（2）题关键在于确定点的位置 题型03利用矩形的性质巧求折叠中重叠面积 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用的三边关系即可求得长，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用勾股定理求得所需线段长度 【例3-2】（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是 cm2． 【答案】5.1 【分析】首先根据折叠图形和平行线的性质得出BE=DE，然后设BE=DE=x，则AE=5-x，根据△ABE的勾股定理求出x的值，最后根据三角形的面积计算公式得出答案． 【详解】解：根据折叠得：， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB=CD=3，BC=AD=5， ∴， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE， 设BE=DE=x，则AE=5-x， 在Rt△ABE中，， ∴， 解得：x=3.4， 即DE=3.4， 则=3.4×3÷2=5.1cm2， 故答案为：5.1． 【点睛】本题主要考查的是折叠图形的性质以及勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解答折叠问题的时候，我们首先要明确对应边和对应角，将所求的线段放入直角三角形中，从而得出线段的长度 【例3-3】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1)为时，点E与点A重合 (2)当时，的面积最大值为10 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； （2）解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图，   沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 【变式3-2】（20-21九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线进行折叠，点落在点处，若，则重叠部分（阴影部分）的面积是 （平方单位）． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质，可得∠C′BD与∠CBD的关系，根据矩形的性质，可得AD与BC的关系，根据平行线的性质，可得∠EDB与∠CBD的关系，根据勾股定理，可得AE的长，根据三角形面积的和差，可得答案． 【详解】设AE＝x，ED＝8−x， 由折叠，得∠C′BD＝∠CBD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝BE＝8−x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2， ∴x2＋42＝（8−x）2， 解得x＝3， ∴S△EBD＝S△ABD−S△ABE＝×AB×AD−×AB×AE＝×4×8−×4×3＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 【变式3-3】（20-21九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是矩形得到，则，由折叠可知，，则，结论得证； （2）四边形是矩形，则由折叠可知，，由（2）可知，进一步即可证明，，在中，由勾股定理得到，即，解得，则，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】（1）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴由折叠可知，， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 题型04利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·四川内江·期中）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，的延长线过点C．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，过点E作于点H，连接，设，，由已知可得，根据中点的性质可得，由矩形的性质和折叠的性质可证得，可得，，由平行线的性质可得，，推出，，利用勾股定理建立方程，求得，进而求得，即可得到答案． 【详解】解：设，， ， ， 是中点， ， 过点E作于点H，连接，则， 四边形为矩形， ，，， 四边形和四边形为矩形， ，， 由折叠知，，，，， ， 的延长线过点C， ， ， 又， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即， ， ． 故答案为： 【例4-2】．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形纸片中，．把沿对角线BD折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是折叠的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念、勾股定理和相似三角形的判定和性质的应用，灵活运用性质和定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形全等的判定定理证明； （2）设为，根据勾股定理求出的值，再求出的值； 【详解】（1）证明：矩形纸片， ，， 由折叠性质可知，，， ，， 在和中， ， ； （2）设为， ，， ， 在中，， 即， 解得，， ． 【例4-3】（23-24九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．四边形的形状为 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点为的三等分点，且时，②当点为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）四边形的形状为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ∴四边形的形状为菱形， 故答案为：菱形； （2）如图，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可知，，， ， 点为的中点， ， ， 在和中， ， ， ； （3）①当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 四边形是矩形，，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， 在中，， ； ②当点为的三等分点，且时，则， 如图，过点作于点， 同理可得：， ， ， 由折叠的性质得：， 在中，， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案． 【详解】四边形为矩形 ， 将矩形沿翻折， ，， 设 在中， 故选B． 【变式4-2】．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，在矩形中，O为对角线的中点，F为边上一动点，将沿折叠得到．若直线恒过点O，直线，交于点E． (1)求证：． (2)若点P在矩形内， ①当时，求长． ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质证明，即可解决问题； （2）①结合（1）得，然后利用折叠的性质即可解决问题； ②设,则，得,所以，结合（1）求出,然后利用勾股定理求出，再根据折叠的性质可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：证明：在矩形中， ∵， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴长为； ②设， 则， ∴， ∴ 由折叠可知： 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定两三角形全等的方法是解本题的关键． 【变式4-3】（2023·吉林长春·一模）实践与探究： 【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：； 【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时， ； 【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】【操作一】见详解 【操作二】 【拓展】 【分析】①由矩形的性质得出，．由折叠的性质得出，，．证出．则可得出结论； ②由折叠得出，．．．设，则，，由直角三角形的性质可得出答案； ③根据②可得出是的垂直平分线，证出，得出，当、、共线时，最小，即为，由勾股定理可得出答案． 【详解】①证明：四边形是矩形， ，． 由折叠得，，． ，， ． ； ②解：由折叠得，．．． ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：； ③解：根据②可得：是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，最小，即为， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型05利用矩形的性质巧证折叠中的平行线 【典例分析】 【例5-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，交于F，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得到，那么，所以； （2）易得．那么．所以，根据，可得． 【详解】（1）解：证明：由折叠的性质知，，． 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ； （2），，， ， ， ，, ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的内角和，注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 【例5-2】如图，已知矩形，点为的中点，将△沿直线折叠，点落在点处，连接， (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由折叠可知得，，设，根据点为的中点，得出， ，等量代换得出，进而得出，根据平行线的判定即可得证 （2）连接，勾股定理求得，根据，继而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠可知得，， 设， ∴， 点为的中点， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点， ，点为的中点， ，又， ∴， 折叠， ∴， ∴ ，则 ， ∴ ∵， ∴， 即：， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角，掌握以上知识是解题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE. 求证：（1）BF＝DF； （2）AE∥BD； （3）若AB＝6，AD＝8，求BF的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF的长为 . 【详解】试题分析：（1）由矩形的性质和折叠的性质可得到∠ADB=∠EBD，从而得BF=DF； （2）根据矩形的性质和三角形内角可得∠AEB=∠FBD，再根据平行线的判定即可得； （3）在Rt△ABF中 ，设BF＝FD＝，则AF，利用勾股定理即可得. 试题解析：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴ ∠DBC＝∠ADB， ∵ ∠DBC＝∠EBD ，∴ ∠ADB＝∠EBD，∴ BF＝FD； （2）∵ AD＝BC＝BE ，BF＝DF ，∴ AF＝EF，∴ ∠AEB＝∠EAF， ∵ ∠AFE＝∠BFD ，∠FBD＝∠FDB，∴ ∠AEB＝∠EBD， ∴ AE∥BD； （3）在Rt△ABF中 ，设BF＝FD＝，则AF，则 ，解得：，  ∴ BF的长为 . 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，O是对角线中点．过O点的直线与矩形的一组对边，分别相交于点F，E． (1)求证：； (2)点与B关于直线对称，连接． ①求证：； ②若，且四边形是平行四边形，求线段长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②线段长 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，证明，进而结论得证； （2）①由点与B关于直线对称，可得，则，，由，，可得，进而结论得证；②勾股定理求，由平行四边形的性质可得，，则，在中，由勾股定理得，则，如图，过点E作于点H，则四边形是矩形，，在中，由勾股定理得 ，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：∵点与B关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 如图，过点E作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴线段长． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角，翻折的性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$