专题03利用点的坐标变化规律解探究问题的三种技巧）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题03利用点的坐标变化规律解探究问题的三种技巧 题型01沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24八年级上·云南文山·期末）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点出发按如图路线依次不断移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【例1-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点\，第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第45分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 【变式1-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 题型02绕原点呈“回”字形运动的点的坐标探究规律 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．则 ．    【例2-3】（22-23八年级上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…如此继续运动下去，设，，，，……．    (1)分别计算和的值； (2)计算的值． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标，且x，y均为整数．如数12对应的坐标为，则数2022对应的坐标是 ． 【变式2-3】（2022八年级上·全国·专题练习）已知：如图，，，，， (1)继续填写： ， ， ， ， ， (2)试写出点 ， 题型03图形变换的点的坐标规律探究 【典例分析】 【例3-1】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，，…，表示，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【例3-2】（23-24七年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形连续做旋转变换，依次得到，，，，则的直角顶点的坐标为 ． 【例3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·四川达州·期中）正方形，…按如图的方式放置，点…在x轴上，点…在直线l上，，，则点的坐标为 ，点的坐标为 （用n的代数式表示，n为正整数）；    【变式3-2】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△，已知，，，，，，，，观察每次变换中△，顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ．    【变式3-3】（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03利用点的坐标变化规律解探究问题的三种技巧 题型01沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．根据图像可得出，横坐标为运动次数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，进而即可求出答案． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…， 以此类推可知，横坐标为运动次数， 纵坐标依次为1，0，2，0，每4次为一个循环，依次出现， ∵ ∴经过第2023次运动后，动点的横坐标是2023，纵坐标为2 ∴经过第2023次运动后，动点的坐标是． 故选：C 【例1-2】（23-24八年级上·云南文山·期末）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点出发按如图路线依次不断移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标，根据题中描述，找准各个点的坐标规律，代值求解即可得到答案，数形结合找准坐标规律是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，四次一循环，、、、、， 故选：A 【例1-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0； (2) (3)向右． 【分析】（1）本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题． （2）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，观察点的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出的值，再根据点在轴的正半轴上，即可解题． （3）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，根据点的坐标，分析可得点的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点和点的坐标，即可解题． 【详解】（1）解：由图可知，点，点，点都在轴的正半轴上， 小蚂蚁每次移动1个单位， ，，， ，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0． （2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期， ，点在轴的正半轴上， ． （3）解：当时， ， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 蚂蚁从点到点的移动方向为向右 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点\，第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第45分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，通过观察可以发现规律表示粒子运动了（分钟），当n为偶数时将向下运动，当n为奇数时，将向左运动，则表示粒子运动了（分钟），将向下运动，而在第45分钟时，粒子从这个点又向下移动了个单位长度，据此可得答案. 【详解】解：由题知表示粒子运动了0分钟， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， 表示粒子运动了（分钟），将向下运动， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， …， 以此类推，表示粒子运动了（分钟），当n为偶数时将向下运动，当n为奇数时，将向左运动， ∴表示粒子运动了（分钟），将向下运动， ∴在第45分钟时，粒子从这个点又向下移动了个单位长度， ∴粒子的位置为， 故选：B 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键． 【详解】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为： 【变式1-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0 （2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现， ∵， ∴的纵坐标为0，横坐标为， ∴ （3）解：∵， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下 题型02绕原点呈“回”字形运动的点的坐标探究规律 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可知，点的坐标为，为正整数）， 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故选：C 【例2-2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．则 ．    【答案】42 【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时， 第2圈有8个点，即到，这时， 第3圈有16个点，即到，这时， ……， 依次类推，第n圈，， 由规律可知：是在第23圈上，且，则，即． 故答案为：42． 【点睛】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键 【例2-3】（22-23八年级上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…如此继续运动下去，设，，，，……．    (1)分别计算和的值； (2)计算的值． 【答案】(1)2，2 (2)1010 【分析】（1）根据题意，写出，再进行求解即可； （2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2020个数分为505组，即可得到相应结果． 【详解】（1）解：由题意，得：的值分别为：， ∴，； （2）由（1）可知：， ， 同法可得：，， ∴每4个点的横坐标的和为2， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中找规律，先写出前面几个点的坐标，发现规律是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意， ∴向左移动2022个单位，即 ∴向左移动2023个单位，即 ∴ 故选：D 【变式2-2】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标，且x，y均为整数．如数12对应的坐标为，则数2022对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．依此先确定2025的坐标为，再根据图的结构求得2022的坐标． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上． ∵，且， ∴， ∴2025的坐标为． 图中纵坐标为22的数共有45个，，， ∴2022的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标、点坐标的规律等知识点，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键 【变式2-3】（2022八年级上·全国·专题练习）已知：如图，，，，， (1)继续填写： ， ， ， ， ， (2)试写出点 ， 【答案】(1)；；；；； (2)； 【分析】（1）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点即可求解； （2）找到点的横纵坐标符号的规律即可求解． 【详解】（1）解：根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知，，，．，． 故答案为：；；；；；； （2）解：根据（1）可得：在第一象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1， 在第二象限的点的横坐标依次加，纵坐标依次加1； 在第三象限的点的横坐标依次加，纵坐标依次加， 在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加， 第一，二，三象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1． 点，， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了通过图示及坐标系内各象限横纵坐标的特点判断坐标，还考查了寻找规律，难度适中 题型03图形变换的点的坐标规律探究 【典例分析】 【例3-1】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，，…，表示，则顶点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型，点的坐标，掌握通过已知点的坐标找出规律是解答本题的关键． 通过观察图形，各点坐标的规律：横纵坐标绝对值相等，其绝对值等于循环次数，坐标的正负按照，，，依次循环，由此选出答案． 【详解】解：由图形可知： ，，，，，，，，，，，… 由各点坐标可知，每个点一循环，横纵坐标绝对值相同，坐标的绝对值等于循环的次数，坐标正负按照，，，依次循环， ， ， 故选： 【例3-2】（23-24七年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形连续做旋转变换，依次得到，，，，则的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形、坐标规律探究，根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2020除以3，根据商为673，余数为1，可知第2020个三角形的直角顶点为第673个循环组后第一个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：点、，， ∴，， 则第一次旋转变换后直角顶点坐标为， 第二次旋转变换后直角顶点在第一象限， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为，即， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点在第一象限， …， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组横坐标前进的长度为：， ， 的直角顶点是第673个循环组后第一个三角形的直角顶点， ， 的直角顶点的坐标为． 故答案为： 【例3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为： 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·四川达州·期中）正方形，…按如图的方式放置，点…在x轴上，点…在直线l上，，，则点的坐标为 ，点的坐标为 （用n的代数式表示，n为正整数）；    【答案】 【分析】证明和是等腰直角三角形，求出，，根据正方形的性质可得点、以及的坐标，同理求出、的坐标，再归纳出一般性规律即可． 【详解】解：∵，，四边形和四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，……， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了点坐标的规律探索，能够根据所求得的坐标归纳总结出一般性规律是解题的关键 【变式3-2】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△，已知，，，，，，，，观察每次变换中△，顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了规律型——点的坐标，观察题中给出的点的坐标，找出规律，再用坐标表示即可． 【详解】，，，，，，，， 的坐标是，，的坐标是，， 故答案为：， 【变式3-3】（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$