专题02利用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题的五种技巧）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题02利用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题的五种技巧 题型01利用象限内的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例1-1】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例1-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知 ，则点在第 象限． 【例1-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点在第二象限，求点所在的象限． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知，则在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林辽源·期末）若点在第二象限，则点在第 象限． 【变式1-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）指出图中点A，B，C，D，E，F，G分别在哪一个象限内，并写出各点的坐标． 题型02利用坐标轴上的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·广西贺州·期中）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【例2-2】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 【例2-3】（23-24八年级上·广西百色·期末）已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）已知点在第一象限，则点在（    ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【变式2-2】（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如果点在第三象限，则点在 象限；若点在直角坐标系的x轴上，则点的坐标为 ． 【变式2-3】（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）点在x轴上，则在第 象限． 题型03利用平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例3-1】（2022八年级上·江苏·专题练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，点在二、四象限的角平分线上，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点，当 时，点P在第一三象限的角平分线上． 【例3-3】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． (3)若点坐标，并且轴，求点坐标． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知点点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏·周测）点在第二、四象限夹角的角平分线上，则m的值为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点位于第一象限，且到轴的距离为1时，求点的坐标． (2)若点在象限的角平分线上，求点的坐标． 题型04利用点的坐标与点到x轴、y轴的距离的特征解决问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）若点M在第四象限，且M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则 ． 【例4-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为1，求M的坐标． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，位于第四象限且到x轴距离为2，到y轴距离为4的点坐标为 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点． (1)当点在第三象限时，求的取值范围； (2)当点到轴的距离为2且在第一象限时，求点的坐标． 题型05利用关于特殊直线对称的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l是经过点且平行于y轴的直线，点与点关于直线l轴对称，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【例5-2】（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为 ． 【例5-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点，直线m经过点且平行x轴，直线n经过点且平行y轴． (1)的顶点坐标分别是A（ ），B（ ），C（ ） ； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则（ ）； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽淮南·期末）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线l经过点，并且与x轴平行，与关于直线l对称． (1)画出； (2)写出点关于直线l的对称点的坐标：______． 【变式5-3】 （23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，直线l与x轴平行且经过点． (1)画出与关于y轴对称的； (2)画出与关于直线l对称的图形； (3)点关于直线l的对称点为，则点P的坐标是_______； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02利用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题的五种技巧 题型01利用象限内的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例1-1】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点在第二象限． 故选：B 【例1-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知 ，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根和平方数的性质，列方程，，可得x、y的值，进而即可得出答案． 【详解】， ， ， ，， 即点在第三象限， 故答案为：三 【例1-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点在第二象限，求点所在的象限． 【答案】第四象限 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征以及解一元一次不等式组，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限内点的坐标特征是解题关键．根据每一象限内点的坐标特征，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组，进而可确定点所在的象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得， ∴，， ∴点在第四象限 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知，则在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点所在的象限，根据象限内点的坐标的特点即可求解，熟练掌握象限内点的坐标的特点是解题的关键． 【详解】解：， ， 点在第二象限， 故选B 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林辽源·期末）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查象限内点的坐标特点，掌握第一象限内的点，第二象限捏的点，第三象限内的点，第四象限内的点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴ ∴点在第一象限， 故答案为：一 【变式1-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）指出图中点A，B，C，D，E，F，G分别在哪一个象限内，并写出各点的坐标． 【答案】，在第一象限；，在第二象限；，在第二象限；，在第三象限；，在第三象限；，在第四象限；，在第四象限 【分析】根据图中点的位置，指出点所在的象限，并直接写出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知： ，在第一象限；，在第二象限；，在第二象限；，在第三象限；，在第三象限；，在第四象限；，在第四象限． 【点睛】本题考查根据点的位置，写出点的坐标．解题的关键是，准确的确定点的位置．属于基础题型 题型02利用坐标轴上的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·广西贺州·期中）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的纵坐标为零，可得答案． 【详解】解：点的纵坐标为，横坐标为，可得点在轴正半轴上． 故选：C 【例2-2】（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到m的值，即可得解． 【详解】解：∵点 在y轴上， ∴，解得：， 故答案为：2． 【例2-3】（23-24八年级上·广西百色·期末）已知点，根据下列条件求点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P在y轴上． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答； （2）根据y轴上的点横坐标为0可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）∵点P在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵点P在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）已知点在第一象限，则点在（    ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特点是解答本题的关键． 根据题意，得到，，进而得到点所在位置，由此得到答案． 【详解】解：由已知条件得： 点在第一象限， ， ， 点在轴负半轴上， 故选： 【变式2-2】（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如果点在第三象限，则点在 象限；若点在直角坐标系的x轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 四 【分析】根据象限内点的符号特征，以及x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】解：由点在第三象限，得． ∴， 则点在 四象限； 若点在直角坐标系的x轴上，得．解得， ∴， 则点P坐标为 ； 故答案为：四，． 【点睛】本题考查象限内点的符号特征，以及坐标轴上点的特征．熟练掌握象限内点的符号特征，以及x轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键 【变式2-3】（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）点在x轴上，则在第 象限． 【答案】二 【分析】先求出m的值，再利用B点的横纵坐标的符号直接判断即可． 【详解】解：因为P点在x轴上， 所以， ∴B点坐标为， 因此B点在第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，牢记x轴上的点纵坐标为0和一、二、三、四象限的点的坐标特征分别为、、、是解题关键． 题型03利用平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例3-1】（2022八年级上·江苏·专题练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，点在二、四象限的角平分线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位于第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等求得a值，再根据位于第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数求解b值即可解答． 【详解】解：由已知条件知，点A位于第一、三象限的角平分线上，所以有，解得：； ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握知识点：位于第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等；位于第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数 【例3-2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点，当 时，点P在第一三象限的角平分线上． 【答案】2 【分析】本题考查了在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二四、象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．由一、三象限上的点的横纵坐标相等，故按照题目要求，使横纵坐标相等，可列出方程，即可解出． 【详解】解：根据题意可知，点在一、三象限上的横纵坐标相等， 故有； 解得，． 故答案为2 【例3-3】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． (3)若点坐标，并且轴，求点坐标． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中点的特点是解题的关键． （1）根据在轴上的点纵坐标为零，即可求解； （2）根据在一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等，即可求解； （3）根据平行于轴的特点，横坐标相等，即可求解． 【详解】（1）∵点在轴上， ∴， 解得， ∴的值为． （2）∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴点的横纵坐标相等， 即， 解得， ∴的值为． （3）∵轴，且点的坐标为， ∴， 则， ∴点的坐标为 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知点点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在坐标，由点点在第一、三象限的角平分线上，得到即可求解. 【详解】解：∵点点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得． 故答案为： 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏·周测）点在第二、四象限夹角的角平分线上，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】让点A的横纵坐标相加得0即可求得m的值． 【详解】解：∵点在第二、四象限的夹角角平分线上， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题涉及的知识点为：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数 【变式3-3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)当点位于第一象限，且到轴的距离为1时，求点的坐标． (2)若点在象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系，以及象限的角平分线上的点的坐标特征． （1）根据点所处象限及到轴的距离，可得，求出a的值，进而可得点的坐标； （2）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，由此可解． 【详解】（1）解：点位于第一象限，且到轴的距离为1， ， 解得， ， 点的坐标为． （2）解：当点在第一、三象限的角平分线上时： ， 解得， ， 点的坐标为； 当点在第二、四象限的角平分线上时： ， 解得， ，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为或 题型04利用点的坐标与点到x轴、y轴的距离的特征解决问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）若点M在第四象限，且M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的位置，熟练掌握坐标系中点的特征是解题关键．根据平面直角坐标系中点的特征并结合题意写出即可． 【详解】解：点M在第四象限，到x轴的距离即为纵坐标的相反数，到y轴的距离即为横坐标值，则坐标为， 故选：D． 【例4-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）已知点到两坐标轴的距离相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或； 故答案为：或 【例4-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为1，求M的坐标． 【答案】(1)M的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离就是横坐标的绝对值，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可； （2）点M到y轴的距离为1，就是点M横坐标的绝对值为1，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点M在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴M的坐标为； （2）解：∵点P到y轴的距离为1， ∴， 解得或， 当时，，， 当时，，， 故点M的坐标为或 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的横坐标是2，纵坐标是， 点的坐标是． 故选：D 【变式4-2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，位于第四象限且到x轴距离为2，到y轴距离为4的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标特点是解题关键． 直接利用点的坐标特点进而分析即可解答． 【详解】解：∵位于第四象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是4， ∴该点的坐标为：． 故答案为： 【变式4-3】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知点． (1)当点在第三象限时，求的取值范围； (2)当点到轴的距离为2且在第一象限时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查点坐标与坐标系． （1）根据题意可知第三象限横纵坐标均为负数，列出关于的不等式组即可； （2）根据题意可列，求出的值，代入点的坐标，即可求出． 【详解】（1）解：∵点在第三象限时， ∴，解得：， ∴的取值范围：； （2）解：∵点到轴的距离为2且在第一象限时， ∴，即：， ∴ 题型05利用关于特殊直线对称的点的坐标特征解决问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l是经过点且平行于y轴的直线，点与点关于直线l轴对称，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质； 根据轴对称的性质列式求出m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， 故选：D 【例5-2】（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】作出点关于直线m对称的点即可求解． 【详解】解∶如图所示∶ 则点关于直线m对称的点的坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查坐标与图形以及轴对称对称，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 【例5-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点，直线m经过点且平行x轴，直线n经过点且平行y轴． (1)的顶点坐标分别是A（ ），B（ ），C（ ） ； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则（ ）； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 ． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题考查作图坐标与图形的变化，等腰直角三角形的性质，轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，即可得出点坐标； （3）根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【详解】（1）解：由图可得，，，， 故答案为：；；； （2）解：如图1中，， 故答案为：； （3）解：以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则D坐标为或， 故答案为：或； 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用对称性质作图求坐标，涉及对称性质、对称作图、图形与坐标等知识，根据题意，作出关于直线对称的三角形为，即可得到答案，熟练掌握对称作图是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： ， 故选：D． 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽淮南·期末）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线l经过点，并且与x轴平行，与关于直线l对称． (1)画出； (2)写出点关于直线l的对称点的坐标：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的作图方法，是解题的关键． （1）根据对称的性质找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，写出的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）由图可知：关于的对称点的特征是：横坐标相同，纵坐标之和为， ∴点关于直线l的对称点的坐标为． 【变式5-3】 （23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，直线l与x轴平行且经过点． (1)画出与关于y轴对称的； (2)画出与关于直线l对称的图形； (3)点关于直线l的对称点为，则点P的坐标是_______； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）也考查了最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点连线即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出点、、关于直线的对称点，描点连线即可； （3）先表示出点到直线的距离为，然后利用对称点为列等式即可得到m的值，即可求解． 【详解】（1）如图，为所作； （2）如图，为所作； （3）∵点的坐标是， ∴点到直线的距离为， ∴点关于直线的对称点坐标为 ∵点关于直线l的对称点为， ∴或 解得：（舍去）或 ∴点的坐标是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$