专题1.2 全等三角形（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题1.2 全等三角形（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 7．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，且，，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 8．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（6分）（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． （1）求m，n的值； （2）若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 17．（6分）（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18．（6分）（2024八年级·全国·竞赛）如图，在和中，分别交于点、交于点．求证：． 19．（10分）（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． （1）如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； （2）如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 20．（10分）（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． （1）直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； （2）如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 21．（12分）（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 23．（13分）（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 全等三角形（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【思路点拨】 本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【解题过程】 解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【思路点拨】 本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形三边的关系，已知两边夹一角，或者两角夹一边可确定三角形的形状，即可． 【解题过程】 解：A、与两边之差大于第三边，∴A不能作出三角形，不符合题意； B、不是，的夹角，可画出多个三角形，不符合题意； C、两角夹一边，形状固定，可作出唯一三角形，符合题意； D、只有一角一边不能确定三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【解题过程】 解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【解题过程】 解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。 【解题过程】 解：分别过、两点作，于点、， ∵在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解题过程】 解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 7．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，且，，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【思路点拨】 先由条件，且，就可以得出，就有，，进而可以得出就有，从而得出结论． 【解题过程】 解：，， ． ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中 ， ， ， ， 即． 综上所述，①②③都是正确的． 故选：． 8．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【解题过程】 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 9．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； 以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【思路点拨】 根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③． 【解题过程】 解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故③错误； 综上所述，正确的选项为①②． 故选：B． 10．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，通过一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键．易证，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；根据三角形内角和定理和平角的定义证明，可判断③正确；过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理，得出，证明，则．可得出结论④正确． 【解题过程】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴．故④正确． 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 据全等三角形的性质可得，进而可得，再由，，即可求出的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键． 【解题过程】 解：， ， ， 即， ∵，， ， 即， ， 故答案为：2． 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【思路点拨】 证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【解题过程】 解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【思路点拨】 主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【解题过程】 解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    【思路点拨】 过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长． 【解题过程】 解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    【思路点拨】 添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解． 【解题过程】 解：如图，过作于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 如图，过作交延长线于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 故答案为：或． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． （1）求m，n的值； （2）若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，分两种情况理由三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【解题过程】 （1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）由（1）得或； 当时，，不能组成三角形，不符合题意； 当时，以3，m，n为边长的三角形存在，符合题意； ∴． 17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【思路点拨】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解题过程】 解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在和中，分别交于点、交于点．求证：． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先根据证明，得出，再根据证明，得出，最后利用线段和差关系证明即可． 【解题过程】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴（）， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 19．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． （1）如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； （2）如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：①∵，动点，分别在边和射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②且，证明如下： 如下图，延长，交与， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如下图， 当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． （1）直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； （2）如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【思路点拨】 本题考查三角形的面积、垂线段最短、三角形全等的性质、一元一次方程的几何应用，解答的关键是对动点所在位置分类讨论求解． （1）①利用三角形的面积公式，利用等面积法求解即可； ②由得到，当时，最小，此时最大，进而求解即可； （2）分①点D在边上，点E在边上时；②当点D在边上，点E在边上时；③当点D在边上，点E在边上时；④当点D在边上，点E在点A处时四种情况，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：①∵在中，，，是的高， ∴，则； ②由题意，， ∴， 当时，最小，此时最大，最大值为； （2）解：由题意，点D在上用时，在上用时， 点E在上用时，在上用时， 故分以下几种情况： ①点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， ∴，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，又，， ∴，则，解得， ∵， ∴这种情况不可能，舍去； ②当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ③当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ④当点D在边上，点E在点A处时，如图， 则，， 由得，解得，符合题意， 综上，满足条件的t值为或或6． 21．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【思路点拨】 （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【解题过程】 （1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 22．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【解题过程】 解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 23．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【思路点拨】 本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【解题过程】 （1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$