专题2.3 二次根式的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.3 二次根式的应用 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 规律题的一般解题方法步骤： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳（初中阶段往往举例3个） （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确。 · 典例分析 【典例1】我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． （1）当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； （2）一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； （3）若，，求此时三角形面积的最大值． 【思路点拨】 （1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． · 学霸必刷 1．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 2．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．    4．（2023下·浙江·八年级期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 5．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）若不是整数，令为最接近x的整数，如，．则 ． 6．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）满足等式的正整数对的个数有 个 7．（2023上·全国·八年级期中）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ． 8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．    （1）截出的正方形木板A的边长为________ ； （2）求图1中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 10．（2023下·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）的有理化因式是______；的有理化因式是______． （2）将下列式子进行分母有理化： ①______；        ②______． （3）类比（2）中②的计算结果，计算：． 11．（2023·八年级单元测试）定义，求+…++…+的值. 12．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程： ，验证： ，验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______． （2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证． 13．（2023上·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： （1）___________；若，，则___________； （2）记，求； （3）解方程：． 14．（2023上·四川达州·八年级校考期末）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 15．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）小明学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（，，m，n均为整数），则有，所以，，这样小明就找到了一种把的式子完全式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决以下问题： （1）当a，b，m，n均为整数时，若，用含m，n的式子表示a，b，得：_____________，__________； （2）若，求m，a的值； （3）根据以上规律，则（写一个即可）． 16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 17．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； （1）请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； （2）试把小亮的方法推广到一般情况：已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． （3）请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 18．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当，式子 的最小值为 ； （2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    （3）如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    19．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若，，则；________；_______； （2）小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 20．（2023下·北京·七年级人大附中校考期中）生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”． （1）在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：__________； （2）已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次根式的应用 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 规律题的一般解题方法步骤： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳（初中阶段往往举例3个） （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确。 · 典例分析 【典例1】我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． （1）当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； （2）一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； （3）若，，求此时三角形面积的最大值． 【思路点拨】 （1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． · 学霸必刷 1．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【思路点拨】 由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【解题过程】 解：∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 2．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF． 【解题过程】 解：如图． 由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)． ∴BC=（cm），HG=（cm）． ∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形， ∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm． ∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF =BM•HM+MD•MF =4×3+4×3 =48（cm2）． 故选：C． 3．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．    【思路点拨】 根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【解题过程】 解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积=， ∵较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5， ∴正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积=， 故答案为：． 4．（2023下·浙江·八年级期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 【思路点拨】 先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【解题过程】 解：由题意得：， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 当时， 则，即， 解得， 故答案为：7． 5．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）若不是整数，令为最接近x的整数，如，．则 ． 【思路点拨】 由题意，观察二次根式中的被开发数的特征：，从而，进而可以得解． 【解题过程】 解：依据题意，通过观察发现如下规律， ． ∴， ∴ ． 故答案为：253． 6．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）满足等式的正整数对的个数有 个 【思路点拨】 先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【解题过程】 解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 7．（2023上·全国·八年级期中）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ． 【思路点拨】 根据数列的关系式，计算、、、，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可求和． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ， ， 归纳可得：， 假设当时成立，有 ，， 则 故答案为：143． 8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 【思路点拨】 本题考查的是二次根式的应用． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由图可知，矩形的长为：，宽为， 则原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积为； （2）最多能裁出3快，理由如下： 根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为和， 即此时阴影部分的宽为：， 长为：， ∵，， ∴，， ∴，， 则， ∴阴影部分可以最多裁剪出3块长宽的木条． 9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．    （1）截出的正方形木板A的边长为________ ； （2）求图1中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵正方形木板A的面积为， ∴正方形木板A的边长为， 故答案为：； （2）解：∵正方形木板B的面积为， ∴正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， 即题图1中阴影部分的面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 10．（2023下·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）的有理化因式是______；的有理化因式是______． （2）将下列式子进行分母有理化： ①______；        ②______． （3）类比（2）中②的计算结果，计算：． 【思路点拨】 （1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式； （2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解题过程】 （1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）①， ②； 故答案为：，； （3） ． 11．（2023·八年级单元测试）定义，求+…++…+的值. 【思路点拨】 将进行分母有理化，分子分母同时乘以可得 ，进而求得，，，则 【解题过程】 解： ， ，，，…，． ． 12．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程： ，验证： ，验证： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______． （2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证． 【思路点拨】 （1）根据材料提示的运算方法即可求解； （2）根据材料提示，二次函数的性质化简即可求解； 本题主要考查二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：根据材料提示，， 故答案为：． （2）解：根据题意得，， ∵为大于的整数， ∴， 当时，； 当时，； 当（为大于的整数），； 故上述等式反映的规律为（为大于的整数）． 13．（2023上·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： （1）___________；若，，则___________； （2）记，求； （3）解方程：． 【思路点拨】 （1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，再求和即可； （3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ，， ， 故答案为：3，； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得， ， 是整数， 或 解得或． 14．（2023上·四川达州·八年级校考期末）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【解题过程】 解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 15．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）小明学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（，，m，n均为整数），则有，所以，，这样小明就找到了一种把的式子完全式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决以下问题： （1）当a，b，m，n均为整数时，若，用含m，n的式子表示a，b，得：_____________，__________； （2）若，求m，a的值； （3）根据以上规律，则（写一个即可）． 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据完全平方公式运算法则得到，进而得到，，即可求解； （3）设，且为正整数，根据完全平方公式运算法则得到，对应得到，，进而求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵ ，， 故答案为：，； （2）解： ∴ ，， ，； （3）解：设，且为正整数， ∴， ∴，， ∴解得，或，， ∴或． 16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）根据公式即可完成多项式的因式分解； （2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果； （3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果． 【解题过程】 解：（1）， 故答案为：． （2） ， 则， ∴ ∴． （3） ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 17．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； （1）请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； （2）试把小亮的方法推广到一般情况：已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． （3）请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 【思路点拨】 （1）结合题述方法估计的近似值即可； （2）结合小亮的方法既可用关于，的代数式近似地表示的公式； （3）结合（2）所得公式即可估计． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（2）知：，，所以，即， ∴． 18．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当，式子 的最小值为 ； （2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    （3）如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【解题过程】 （1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 19．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若，，则；________；_______； （2）小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 【思路点拨】 （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值． 【解题过程】 （1）解：当，时， ， ． 故答案为：；； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， ∵都是正数， ∴都是正数， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴当时，取最小值， 此时，即， 整理，可得， ∴， ∵， ∴， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 20．（2023下·北京·七年级人大附中校考期中）生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”． （1）在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：__________； （2）已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________． 【思路点拨】 （1）根据白银点的概念，利用绝对值解得即可； （2）根据平移的性质和三角形的面积公式解得即可； （3）根据平移的性质和二次根式的估计解答即可． 【解题过程】 （1）解：， 点能与坐标原点互为“白银点”， ， ，点不能与坐标原点互为“白银点”， ， 点能与坐标原点互为“白银点”， 综上所述，在，，，，，四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是，； 故答案为：，； （2）解：解：∵， ∴，又面积为， 由，得， 解得． ∴． ∵点B为点A的“白银点”， ∴． ∴，即， 解得或． ∴点B的坐标为． （3）解：已知、，在（2）的条件下，将线段向轴方向平移个单位值为正则向上平移个单位，值为负则向下平移个单位），则，，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，设线段上的点，与线段中的点，互为“白银点”，则，， ， ，， ，， ，， 即的取值范围为：或． 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$