专题2.2 二次根式的化简求值（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.2 二次根式的化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、二次根式的定义 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件 1.二次根式中的被开方数是非负数； 2.二次根式具有非负性：. 三、判断二次根式有意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数； 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 四、二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 五、同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 八、最简二次根式 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 九、分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． · 典例分析 【典例1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： ； （2）m 是正整数， a ，b 且．求 m． （3）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果． 【解题过程】 解：（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， 又∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·校考一模）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果，则 ． 8．（2023上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知，，则 ． 9．（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知，那么的值等于 ． 10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，，求 ． 11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设，则 ． 12．（2023下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知，则代数式的值为 ． 13．（2023上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：，其中. 14．（2023·北京·九年级专题练习）已知，，求的值． 15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知，，求的值． 16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知，求的值． 17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 20．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小_____用“”、“”或“”填空； （2）已知，，求的值； （3）计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 二次根式的化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、二次根式的定义 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件 1.二次根式中的被开方数是非负数； 2.二次根式具有非负性：. 三、判断二次根式有意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数； 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 四、二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 五、同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 八、最简二次根式 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 九、分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． · 典例分析 【典例1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： ； （2）m 是正整数， a ，b 且．求 m． （3）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果． 【解题过程】 解：（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， 又∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 2．（2023下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 3．（2023·浙江宁波·校考一模）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 先根据得出，，根据要有意义，得出，根据得出，从而得出，将代入即可求出式子的值． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∵要有意义， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故D正确． 故选：D． 4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【思路点拨】 对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解题过程】 解： ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 6．（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【解题过程】 解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． 【解题过程】 解：， ， ， ． 故答案为：． 8．（2023上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知，，则 ． 【思路点拨】 先把和的值分母有理化得到，，则，，再利用完全平方公式变形原式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解题过程】 解：，， ，， ，， 原式 ． 故答案为． 9．（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知，那么的值等于 ． 【思路点拨】 通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，，求 ． 【思路点拨】 将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 又x，y为正整数，则或， 从而， 故答案为：8． 11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设，则 ． 【思路点拨】 利用和，推得，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， 又∵， 即， 整理得， ， 将代入原式可得． 故答案为：． 12．（2023下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知，则代数式的值为 ． 【思路点拨】 将已知条件变形得，，再将所求代数式变形为，由此即可求解． 【解题过程】 解：已知， ∴，即， 等式两边同时平方得，，整理得，，即， ∴， ∵ 把代入得， 把代入得， ， 故答案为：． 13．（2023上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：，其中. 【思路点拨】 首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 【解题过程】 解：原式 当时， 原式 ． 14．（2023·北京·九年级专题练习）已知，，求的值． 【思路点拨】 首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴原式 ． 15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知，，求的值． 【思路点拨】 根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可． 【解题过程】 解：，， ∴a和b均为负数， 16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知，求的值． 【思路点拨】 讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解． 【解题过程】 解： 要有意义，即， 且或且， 当且时， ， 或（舍去）， 解得：， 把代入得：； 当且时， ， （舍去）或， 解得：， 把代入得：． 17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 【思路点拨】 （1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得； （2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可． 【解题过程】 （1）， ， ，， ． （2），， ，， ． 18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）代入即可求出和的值； （2）将原式变形为，代入数值进行计算即可； （3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：， ，； （2）解：由（1）得：，， （3）解：， ，即， ， ， 的小数部分是， ， ，的整数部分是， ， ． 19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 【思路点拨】 （1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果． （2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果． （3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值． 【解题过程】 （1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 20．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将、称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小_____用“”、“”或“”填空； （2）已知，，求的值； （3）计算： 【思路点拨】 （1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解； （2）先求得的值，然后代入即可求解； （3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【解题过程】 （1） ， ∵ ∴, ∴ ， 故答案为：． （2）， ， ， ， ， ； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$