专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 点到平面距离的向量求法】 2 【题型2 平行平面距离的向量求法】 5 【题型3 点到直线距离的向量求法】 9 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 14 【题型5 向量法求线面角】 17 【题型6 向量法求二面角】 23 【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 29 【知识点1 用空间向量研究距离问题】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，即可求出结果. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】根据，得到PA，PB，PC两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体求解. 【解答过程】解：在正三棱锥中，，又，，所以，所以， 同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面ABC的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点O到平面ABC的距离， 所以． 故选：D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 【变式1-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得 ，最后利用二次函数性质求解最值即可. 【解答过程】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则， ， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【解题思路】先证明平面 平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【解答过程】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 【解题思路】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案. 【解答过程】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)． 从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， 所以，，所以EF∥MN，AM∥BF． 又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD， 因为MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD； （2）解：因为平面AMN∥平面EFBD， 所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离． 设是平面AMN的法向量， 则有即，可取， 由于＝(0，4，0)， 所以点B到平面AMN的距离为， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离为． 【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 【解题思路】（1）取的中点，则平面即为所求平面.（2）连接,交于，则，分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的距离. 【解答过程】（1） 如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面. 证明：由,平面，平面，可得平面. 由，平面，平面，可得平面. ,平面，平面,故可得平面平面，即平面. （2）如图，连接,交于， 在直棱柱中，底面为菱形， ， 分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系， 又所有棱长为2， ， ，， 设是平面的一个法向量，则，即 令得，， 点到平面的距离， 平面与平面的距离. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【解答过程】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【解答过程】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【解题思路】（1）可以先说明两个向量共线，从而说明共面； （2）先利用关系求得，再利用勾股定理求点到直线距离. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知可得：， 所以，所以，即向量共线， 所以点共面. （2）由（1）可得：， 设向量的夹角为，则， 所以，又 所以点到直线的距离. 【变式3-3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【解答过程】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则 ， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【解答过程】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【解答过程】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 【变式4-2】（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【解答过程】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，是棱上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将三棱锥补形成长、宽、高分别为4，2，2的长方体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量即可求解. 【解答过程】根据题意可将三棱锥补形成长、宽、高分别为4，2，2的长方体中， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，故，， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为． 故选：B． 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 【解题思路】（1）根据线面垂直的性质得，再证明，最后得到，即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到答案. 【解答过程】（1）连接，在正方体中，因为平面， 平面，所以. 因为，，所以，且均在同一平面内， 所以，因为为的中点，所以为的中点. （2）在正方体中，，，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，则.于是. 设直线与平面所成的角为，则 因为，所以直线与平面所成角的大小为30°. 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角正弦值. 【解答过程】（1）连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面． （2）连接OC， ∵，, ∴为正三角形， ∴， ∵，且都在面， ∴平面ABC，而面，故， 由，易知△ABC是等腰直角三角形， ∴， 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， 由，可得，且，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角正弦值为． 【变式5-2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解题思路】（1）法一：取中点，由题意得平面，要证，因为，及证面即可.法二：先证平面，在建系，向量法证明. （2）先看出与所成的角为与所成的角，即，建系向量法求直线与平面所成角的正弦值即可. 【解答过程】（1）法一：取中点，连接，有， 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为为的四等分点，为的中点， 所以， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以， 又因为，，所以，又，，平面， 所以面，而面， 所以，即． 法二：取中点，连接，连接交于点，连接 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形， 所以， 如图以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 设，，，，，，， 所以，即． （2）连接，因为分别是的中点，所以， 所以异面直线与所成的角为与所成的角，因此 所以， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则即 则的一组解为 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式5-3】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，为等边三角形，F为线段的中点，平面平面为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【解题思路】（1）根据题意，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （2）过作，垂足为，取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【解答过程】（1）因为为等边三角形，F为线段的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （2）过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【解答过程】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【解题思路】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证． （2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【解答过程】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 【变式6-2】（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）先证明平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）取的中点，连结，先证明平面，再取的中点，以为基底，建立空间直角坐标系，再根据向量夹角公式即可求解． 【解答过程】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，， 所以平面． （2）由（1）可得为直线与平面所成的角，即， 所以，所以，取的中点，连结， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 取的中点，则， 以为基底，建立空间直角坐标系， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 取平面的法向量， 设二面角的大小为， 则， 因为二面角为锐角，所以， 即二面角的余弦值为. 【变式6-3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图甲，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据已知证出线面垂直，利用线面垂直性质即可得证； （2）利用余弦定理求出，，然后建立空间直角坐标系如图，假设存在点，利用向量法求出两平面夹角的余弦值，即可判断假设是否成立. 【解答过程】（1）取中点，连接， 菱形中，， 所以， 又因为，平面， 平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）中，因为，所以， 由余弦定理得，解得； 在中，， 所以. 在平面中，作，交于点， 则以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，又， 假设在线段上存在符合要求的点. 设平面的法向量， 由， 则，取. 由题可取平面的法向量， 所以. 当时，；当时，. 所以当或时，平面与平面所成角的余弦值为.    【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．    (1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用斜三棱柱的性质求得各点坐标，再利用空间向量的数量积运算即可得解， （2）利用空间向量法的求点面距离公式即可得解. 【解答过程】（1）连接，因为，为的中点，所以， 由题意知平面ABC， 又，，所以， 以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 由，得， 由，得， 设，得， 又，， 由，即，得， 解得，又，所以， 故存在点D且满足条件； （2）设平面的法向量为， 又，， 则有，取，则， 又， 所以点到平面的距离为， 故所求距离为. 【变式7-1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【解答过程】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 【变式7-2】（23-24高三下·江西·开学考试）  已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得； （2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数表示，求出平面的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得. 【解答过程】（1）  分别是边的中点， ， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，平面 平面， 平面平面. （2）等边的边长为， ， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设 ， 在平面中，， 不妨设平面的法向量， 则令，得，故可取. 则点到平面的距离为解得或（舍去）， 为的中点，， 满足条件的点存在，且. 【变式7-3】（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【解题思路】（1）根据线面垂直的性质定理即可证; （2）建立空间直角坐标系,利用向量法直接计算可知; （3）假设存在,利用向量法直接计算可知. 【解答过程】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又 ,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, , , , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 点到平面距离的向量求法】 2 【题型2 平行平面距离的向量求法】 2 【题型3 点到直线距离的向量求法】 4 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 6 【题型5 向量法求线面角】 7 【题型6 向量法求二面角】 9 【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 11 【知识点1 用空间向量研究距离问题】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【变式3-3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，是棱上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【变式5-2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-3】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，为等边三角形，F为线段的中点，平面平面为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【变式6-2】（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 【变式6-3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图甲，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．    (1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离． 【变式7-1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【变式7-2】（23-24高三下·江西·开学考试）  已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式7-3】（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$