专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 3 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 5 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 7 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 9 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 10 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 12 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 14 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·河南平顶山·期末）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【变式2-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【变式2-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：. 【变式2-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【变式3-1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式4-1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面 平面; (2)线段上，是否存在点，使得 平面. 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（23-24高二下·山东济宁·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（    ） A．BD B．AC C．A1D D．A1A 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【变式5-3】（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【变式6-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 【变式6-2】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【变式7-1】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【变式7-2】（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【变式7-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 【例8】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【变式8-1】（23-24高一下·江苏·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【变式8-2】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 4 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 8 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 12 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 17 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 21 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 26 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 31 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【解答过程】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【解题思路】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量. 【解答过程】由题意可得，，， 所以， 设平面ABE的法向量为， 由，得到，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 所以是平面ABE的法向量.    故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可. 【解答过程】设平面的一个法向量为， 又， 由， 即， 又因为单位向量的模为1，所以B选项正确， 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·河南平顶山·期末）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方体的棱长为1，平面的法向量为，求出，令，即可得答案. 【解答过程】设正方体的棱长为1，平面的法向量为. 则，，， 所以，， 则，即不妨取，则，， 故. 故选：A. 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【解答过程】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴ ， ∴， 即PQ∥BD1. 【变式2-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【解题思路】利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明. 【解答过程】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以， 可得，即向量与共线， 又不在同一条直线上， 所以. 【变式2-2】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：. 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断与共线即可推理作答. 【解答过程】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， 则有，又， 两式相加得：，因此与共线，而直线与不重合， 所以. （方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ， 因此与共线，而直线与不重合， 所以. 【变式2-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【解题思路】利用坐标法，利用向量共线定理即得. 【解答过程】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【解题思路】利用空间向量法可证 【解答过程】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又 平面，所以直线平面 【变式3-1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【解答过程】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面， ．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．求证：平面； 【解题思路】 根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量与平面法向量的垂直即可求证. 【解答过程】 因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设为平面的法向量，则 ，即， 不妨设，可得 ， 又， 所以，即， 因为平面， 所以平面. 【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【解题思路】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； （2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【解答过程】（1）解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【解答过程】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式4-1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解题思路】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求解. 【解答过程】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 【变式4-3】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面 平面; (2)线段上，是否存在点，使得 平面. 【解题思路】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时 平面，求的值即可. 【解答过程】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知, 则， 设平面的法向量为，则，解得， 设平面的法向量为，则，解得， 因为 ，所以平面 平面. （2）设线段上存在点使得 平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得，即为线段中点时， 平面. 【知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系】 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【解答过程】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，    ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·山东济宁·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（    ） A．BD B．AC C．A1D D．A1A 【解题思路】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【解答过程】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为1， 则C(0，1，0)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，E， 所以=，-，1，=(-1，1，0)，=(-1，-1，0)， =(-1，0，-1)，=(0，0，-1)， 因为，， ，， 所以CE⊥BD. 故选：A.    【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【解答过程】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 【变式5-3】（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【解题思路】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【解答过程】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 【变式6-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．过点作，垂足为点，求证：平面； 【解题思路】先根据三棱柱的体积为32，求出，再由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【解答过程】由直三棱柱，得平面，又， 可得三棱柱的体积，得． 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则．设，则， 故． 因为，所以， 所以，解得，即． 所以， 所以， . 所以． 又因为平面ACQ，平面ACQ，， 所以平面． 【变式6-2】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【解题思路】（1）将正三棱台补成正三棱锥，分析可知正三棱锥是棱长为的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台的表面积； （2）设点在底面的射影为点，则为正的中心，取的中点，连接，则，以点、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 【解题思路】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案； （2）设，由可得答案. 【解答过程】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则点A(1，0，0)，E，， ，＝． 假设存在点满足题意，于是， 所以 ，所以， 解得与矛盾， 故在上不存在点使平面． （2）假设在平面上存在点N，使平面． 设， 则，因为， 所以，解得， 故平面AA1B1B上存在点N，使平面． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【解题思路】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【解答过程】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 【变式7-1】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【解答过程】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面 平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 【变式7-2】（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【解题思路】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明． （2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直. 【解答过程】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 【变式7-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【解题思路】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，结合空间向量的坐标运算可得轴，进而得到平面，进而求证； （2）设，结合空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【解答过程】（1）证明：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.    设. . ， 轴，又轴和平面垂直， 平面， 又平面， 平面平面. （2）由，结合（1）可知，. 设，则，故点的坐标为， ， 由， 即，解得. 故当为的三等分点（靠近点）时，有. 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 【例8】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【解答过程】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 【变式8-1】（23-24高一下·江苏·期中）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【解题思路】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【解答过程】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 【变式8-2】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【解答过程】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 【变式8-3】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用空间向量证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可. 【解答过程】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，, 因为点是棱上靠近的三等分点，即，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，满足 令，则，则． ，∴， 又平面，所以平面． （2）存在． 设，则，，，    设平面的一个法向量为，满足 令，则，故取． ，， 设平面的法向量为， 满足 令，则，故取， 若平面平面，则，即 解得，此时为的中点，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$