第10讲 反比例函数的应用与综合题 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 反比例函数的应用与综合题 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【例1】（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：的函数表达式为．当时，的值为 　　． 【变式1】（2024•安徽三模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足关系式，当一定时，根据表格可以判断和的大小关系为　　 5 20 30 40 60 800 ■ ■ A． B． C． D． 【变式2】（2023•阜阳模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是　　 A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 【变式3】（2021秋•金寨县期末）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．函数的图象为曲线．若过点，则它必定还过另一点，则　　． 【变式4】（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求与的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 知识点2．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【例2】（2020秋•定远县期中）如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与交于点．若，则的面积为　　 A．2 B．4 C． D． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）如图，点，过作轴，轴，并分别交双曲线于、两点，连接、，若，则　　． 【变式2】（淮北月考）已知反比例函数的图象与一次函数相交于第一象限的、两点，如图所示，过、两点分别作、轴的垂线，线段、相交于，给出以下结论： ①；②；③若的面积是8，则；④点一定在直线上， 其中正确命题的个数是　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2024•镜湖区校级一模）如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在函数的图象上，则点的横坐标是　　． 【变式4】（2021秋•瑶海区校级期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 经典题型汇编 题型一.一次函数与反比例函数的实际应用 1．（21-22九年级上·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）2023年11月份，由于病毒性流传性疾病比较严重，桥区某中学“红马甲”爱心互助队对“星光养老院”进行药物消毒，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间成一次函数关系；燃烧完后y（mg）与时间x（min）之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后y（mg）与时间x（min）的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于3mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在室内？ 题型二.一次函数与反比例函数的其他综合应用 4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出，当x为何值时，． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）直线与双曲线相交于点，点的纵坐标为5，的值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．15 2．（22-23九年级上·安徽淮南·期中）某电子产品的售价为元，购买该产品时可分期付款：前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于的函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 6．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 9．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 10．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ． 12．（2022·安徽合肥·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于M、N两点，与坐标轴分别交于点A、B，连接，若，则 ．    13．（2024·安徽滁州·二模）如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数 交于M，N两点，若，则k的值为 ． 14．（2023·安徽合肥·二模）如图，A、是反比例函数图象上的两点，A、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为7，则的值为 . 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接，．    (1)求，，的值． (2)求的面积． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与y轴交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 17．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求该反比例函数解析式； (2)请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时． 18．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出不等式的解集． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴交A，B两点，与反比例函数的图象交于、D两点． (1)求m的值以及D点的坐标； (2)在x轴是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数（）与函数为（）的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标． 21．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 22．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 23．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 反比例函数的应用与综合题 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【例1】（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：的函数表达式为．当时，的值为 　8　． 【分析】直接将代入中可得的值． 【解答】解：当时，（A）， 故答案为：8． 【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键． 【变式1】（2024•安徽三模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足关系式，当一定时，根据表格可以判断和的大小关系为　　 5 20 30 40 60 800 ■ ■ A． B． C． D． 【分析】根据，当一定时，与成反比例函数，由函数的性质得出结论． 【解答】解：， ， 当一定时，随着的增大而减小， ， ． 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 【变式2】（2023•阜阳模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是　　 A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【解答】解：设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是， 、错误，不符合题意； 当时，（A）， 错误，不符合题意； 当时，， 由图象知：当时，， 正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 【变式3】（2021秋•金寨县期末）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．函数的图象为曲线．若过点，则它必定还过另一点，则　5　． 【分析】由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入，可求解． 【解答】解：每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， 在反比例函数图象上， ， 故答案为：5； 【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键． 【变式4】（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数（度与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为． （1）求与的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 【分析】设出反比例函数解析式，把代入即可求解． 【解答】解：（1）设与的函数表达式为， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ， 与的函数表达式为． （2）， 答：该镜片的焦距为． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数的一般形式为是常数，且，再用待定系数法求解函数解析式． 知识点2．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【例2】（2020秋•定远县期中）如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与交于点．若，则的面积为　　 A．2 B．4 C． D． 【分析】连接，已知，轴，根据求，根据勾股定理求，根据菱形的性质，求解． 【解答】解：连接， ，轴， ， 解得，由勾股定理，得， 由菱形的性质，可知， ， 与同底等高， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是求菱形的边长，讲所求三角形的面积进行转化． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）如图，点，过作轴，轴，并分别交双曲线于、两点，连接、，若，则　　． 【分析】先求出点、的坐标，延长交轴于点，延长交轴于点，利用，列式计算即可求出值． 【解答】解：点，过作轴，轴， 当时，，当时，， 点、的坐标为，，， 延长交轴于点，延长交轴于点， 则， ， ， 根据图象可得， 又， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数解析式表示出点、的坐标，利用“割补法”把不规则四边形的面积利用规则的矩形与三角形的面积表示出来是解题的关键，难度中等． 【变式2】（淮北月考）已知反比例函数的图象与一次函数相交于第一象限的、两点，如图所示，过、两点分别作、轴的垂线，线段、相交于，给出以下结论： ①；②；③若的面积是8，则；④点一定在直线上， 其中正确命题的个数是　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①先求出直线与两坐标轴的交点坐标可得出是等腰直角三角形，故、两点关于直线对称，再由反比例函数的图象关于直线对称可知、两点关于直线对称，故可得出是线段的垂直平分线，由此即可得出结论； ②根据、两点关于直线对称，轴，轴可知，再由①知，所以，故； ③设，则，，再由三角形的面积公式求出的值，故可得出点坐标，再根据点在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式； ④根据点、关于直线对称可知，，再由轴，轴，轴，轴可知，四边形与四边形均是矩形，由②知，故，所以，所以点在线段的垂直平分线上，所以点在直线上． 【解答】解：①令，则，令，则， ，， 、两点关于直线对称， 反比例函数的图象关于直线对称， 、两点关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，故①正确； ②、两点关于直线对称，轴，轴， ， 由①知， ， ，故②正确； ③设， 、两点关于直线对称， ，， 的面积是8， ，解得或， 当时，，； 当时，，； 点在反比例函数的图象上， ，故③正确； ④点、关于直线对称， ， 轴，轴，轴，轴， 四边形与四边形均是矩形， 由②知， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 点在直线上，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知关于直线对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 【变式3】（2024•镜湖区校级一模）如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在函数的图象上，则点的横坐标是　　． 【分析】先根据正方形的性质设点坐标为，则，解得，即，再设点坐标为，得到，解得，则点的横坐标． 【解答】解：设点坐标为， ，解得，即， 设点坐标为， 而点在函数的图象上， ，解得， 而， ， 点的横坐标． 故答案为． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题的解法：先设某些点的坐标，再利用几何性质表示其他点的坐标或求其他图象的解析式，然后再利用几何性质建立等量关系求未知字母的值． 【变式4】（2021秋•瑶海区校级期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）直线经过点， ， 解得， ， ， 反比例函数的解析式为． （2）不等式的解集为． （3）由题意，点，的坐标为，，，， ， ， ， 时，的面积最大，最大值为． 【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一.一次函数与反比例函数的实际应用 1．（21-22九年级上·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 2．（2022·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）2023年11月份，由于病毒性流传性疾病比较严重，桥区某中学“红马甲”爱心互助队对“星光养老院”进行药物消毒，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间成一次函数关系；燃烧完后y（mg）与时间x（min）之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后y（mg）与时间x（min）的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于3mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在室内？ 【答案】(1)； (2)从消毒开始，第1分钟到第8分钟学生不能停留在室内． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法先求药物燃烧时与时间的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完后与时间的函数表达式即可； （2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， 答：从消毒开始，第1分钟到第8分钟学生不能停留在室内． 题型二.一次函数与反比例函数的其他综合应用 4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出的坐标，根据中点坐标公式得出的坐标，进而即可求解k的值，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，则， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴；故A不符合题意； ∴反比例数解析式为 ∵，， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为， 联立， 解得：或， ∵D的横坐标大于2，则，故B不符合题意； 当时， ，故C不符合题意； 而， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数交点问题，平行线的性质，求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的关键． （1）先分别求解A，B，C，D，E的坐标，再计算即可； （2）先求出A坐标，可以得到C的坐标，由，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，，当，， ∴，， 当时，， ∴， 当时，，则， ∴， ∴； 故答案为：1 （2）∵， 当时，；当时，， ∴点A的坐标为，， ∵轴，且点C在反比例函数的图象上， ∴点C的坐标为， ∵，轴， ∴点E的坐标为， 把代入得： ， 解得：． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出，当x为何值时，． 【答案】(1)；； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点代入反比例函数解析式得出，可得，根据，，利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据一次函数得出，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解； （3）根据图象直接写出不等式的解集，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为：． ∵在反比例函数图象上， ∴，即， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为：； （2）如图，记与轴的交点为，    ∵由； 令，则， ∴， 即． ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴不等式的解集为：或． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）直线与双曲线相交于点，点的纵坐标为5，的值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的意义是解题的关键． 根据点在一次函数图像上，且点的纵坐标为，由此可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， 故选：． 2．（22-23九年级上·安徽淮南·期中）某电子产品的售价为元，购买该产品时可分期付款：前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到与的关系式． 【详解】解：由题意得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式． 【详解】由题意得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于的函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出，然后求出，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，所以，， 所以，一次函数经过第二四象限，且与y轴相交于点，反比例函数的图象位于第二、四象限， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，不等式的解集为（    ）    A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．把点B的坐标代入一次函数解析式，求出n的值，然后根据不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 由图象知，不等式的解集为或． 故选：A． 6．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移的特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题． 【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴， 沿y轴向上平移3个单位长度至，且， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， ，且点D为的中点， ， 与都在反比例函数图象上， ，解得，即， ， ，即， ，即． 故选：B． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示 ，，，， ，， 在中，，即， ， 在中，，即， ，，， ， 点， ． 故选：C． 9．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是关键．先求出点、坐标，再求出线段的中点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，依据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【详解】解：矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上， ，3，， 线段的中点坐标为， 为矩形， 线段的中点坐标为也是线段中点的坐标， ，， 解得，， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：B 10．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据解析式求得点，利用，即可解题． 【详解】解：反比例函数图象过点， ，即有， 将代入，有，解得， 将、，代入中， ，解得， 一次函数， 当时，解得，即， ， 故选：B． 二、填空题 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，， 设，易知， 点，， ， 或（舍去）， ， ， 故答案为：． 12．（2022·安徽合肥·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于M、N两点，与坐标轴分别交于点A、B，连接，若，则 ．    【答案】 【分析】由直线的解析式求得A、B的坐标，求得的面积，进一步求得的面积，从而求得N的坐标，然后利用待定系数法即可求得m的值． 【详解】解：∵直线， ， ， ， ， ， ， ∵点N在第四象限， ， ∵点N在直线上， ， ∵反比例函数的图象过N点， ． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形的面积，求得N点的坐标是解题的关键． 13．（2024·安徽滁州·二模）如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数 交于M，N两点，若，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，中点坐标公式的应用，先求解，，设，而，可得，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于A，B两点， 当，则，当，则， ∴，， 设，而， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 14．（2023·安徽合肥·二模）如图，A、是反比例函数图象上的两点，A、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为7，则的值为 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式和题目中的条件求出A、两点的坐标，进而求出直线的解析式，根据即可求解． 【详解】解：∵A、是反比例函数图象上的两点，A、两点的横坐标分别是、， 把代入得，， 把代入得，， ∴A、两点的坐标分别是，， ∴点A 到y轴的距离为，点B 到y轴的距离为， 设直线的解析式为， 把A、两点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C两点的坐标分别是， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的面积问题，用待定系数法求解析式，灵活运用所学知识是解题关键． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接，．    (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）将代入反比例函数得然后求出点B的坐标，将和B的坐标为代入即可得出的值； （2）先求出点C的坐标，然后利用求出面积即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 把代入得， ∴点B的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴， ∴，，； （2）令时，则， 解得， ∴点C的坐标为， ∴． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与y轴交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式是解题的关键． （1）将，代入，求得．可得一次函数的表达式，将，代入得，，则，将代入，计算求解可得反比例函数的表达式； （2）当时，，即，，根据．计算求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得． ∴一次函数的表达式为． 将，代入得，， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴，， ∴． ∴的面积为． 17．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求该反比例函数解析式； (2)请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，解一元二次方程， （1）首先将代入求出，然后代入求出，进而得到； （2）首先联立反比例函数和一次函数得到，求出，，得到，然后利用图象求解即可． 解题的关键是熟练掌握函数图像和性质． 【详解】（1）将代入得， ∴ 将代入得， ∴反比例函数； （2）联立反比例函数和一次函数得， ，即 整理得， 解得， 将代入得， ∴， 由图象可得，当时，． 18．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴交A，B两点，与反比例函数的图象交于、D两点． (1)求m的值以及D点的坐标； (2)在x轴是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，熟练掌握联立方程组解出交点坐标是解答本题的关键． （1）根据待定系数法求出值和点坐标即可； （2）根据条件，先计算出，再设点坐标为，利用面积建立关于的方程，解得即可． 【详解】（1）解： 点在直线的图象上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式， 两个函数解析式联立方程组得： ， 解得或， 点的坐标为． （2）解：在直线中，令，则， 即， ， ， 设点的坐标为， ， ， 整理得或， 解得或， 点的坐标为或． 20．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数（）与函数为（）的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时的取值范围； (3)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键． （1）将点坐标代入函数求出反比例函数的解析式，可得点的坐标；将与两点坐标代入函数中即可求出一次函数的解析式； （2）找到一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据即可建立方程求解． 【详解】（1）解：将点坐标代入函数中，可得， 再将代入，可得， 将与两点坐标代入函数中， 可得， 解得， ∴，. （2）解：根据图象，当时，， ∴时，的取值范围是. （3）解：由题意可知，、、三点的横坐标相同，设为， 则点的坐标为，点的坐标为 点的坐标为，且， ， ， 解得，， 则符合条件的点坐标为或. 21．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支 (2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，得， ∴， 当时，， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； （2）设技术改造完成后对应的函数解析式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为， ， 解得， 经检验符合题意， ∵x为正整数， ∴， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 22．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； （2）解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； （3）解：根据函数图象得，当时，或． 23．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$