第10讲 综合与实践 一次函数模型的应用 （2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 综合与实践一次函数模型的应用 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例1】（2022秋•大观区校级期中）已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（界首市校级期中）二中的校办工厂2009年的产值为23万元，计划从2010年开始，每年增加2万元，则年产值（万元）与经过的年数的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（泾县期中）已知一出租车油箱内剩余油，一般行驶一小时耗油，则该车油箱内剩余油量和行驶时间（时之间的函数关系式是　　（不写自变量取值范围）． 【变式3】（安庆校级期中）周长为的等腰三角形，腰长与底边长的函数关系为　　，自变量范围为　 　． 【变式4】（桐城市校级期中）若△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°，试写出y与x之间的函数关系式，并画出图象． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【例2】（2022秋•金安区校级月考）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其运费（元由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•青阳县期末）、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系．下列说法错误的是　　 A．乙晚出发1小时 B．乙出发3小时后追上甲 C．甲的速度是4千米小时 D．乙先到达地 【变式2】（2023秋•裕安区校级月考）某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量与销售单价（元之间的函数关系，已知的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元，那么该天销售黄桃所获得的利润是 　　元． 【变式3】（2023秋•长丰县期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程（千米）与时间（小时）的函数图象如图所示． （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 　　千米小时． （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离随的增大而增大时，的取值范围是 　　． 【变式4】（2021秋•瑶海区期中）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 经典题型汇编 题型一.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．（21-22八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 题型二.最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．（八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 5．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    6．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示： 甲种饮料 乙种饮料 进价/（元） 售价/（元） (1)若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式； (2)若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润． 题型三.行程问题(一次函数的实际应用) 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合y与x的关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离和所用时间之间的关系如图所示，小明出发后距A地 ．    9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量和因变量分别是 ； (2)小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米； (3)小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 米分钟； (4)小红在骑车 分钟时，距离商店米． 题型四.几何问题(一次函数的实际应用) 10．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，，若点在的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知点，直线． （1）直线l恒过定点C，点C坐标为 ． （2）若直线l与线段有交点，则k的取值范围为 ． 12．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知点及在第一象限的动点，且，O为坐标原点，设的面积为S． (1)求S关于x的函数解析式； (2)求x的取值范围； (3)当时，求P点坐标． 题型五.其他问题(一次函数的实际应用) 13时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（    ） A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B．线段的函数表达式为 C．该植物最高为 D．第40天，该植物的高度为 14．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间的函数关系，已知1kg的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元/kg，那么该天销售黄桃所获得的利润是 元． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）九江电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，已知某户居民每月应交电费元与用电量度的函数图象是一条折线如图，根据图象解答下列问题：    (1)写出与的函数关系式； (2)若该用户某月用电度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费元，则该用户该月用了多少度电？ 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．一辆甲种车每次可运货物 3 吨，一辆乙种车每次可运货物 2 吨，某公司有 20 吨货物，计划同时租用两种车一次运完，且每辆车都装满货物，一共有（    ）种租车方案． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 4．（19-20八年级上·全国·单元测试）公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量之间是一次函数关系，其图象如图所示，由图中信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．1000元 B．1500元 C．2000元 D．2500元 5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 6．（八年级上·期末）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人分别从A,B两地相向而行，他们距B地的距离与时间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度是 B．甲比乙早出发3小时 C．乙的速度是 D．两人相遇后乙行至A地还需要3小时 9．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为（　　） 实验次数 一 二 三 铁块质量 25 50 75 高度 44 38 32 A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额y（元）与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是 元．    12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”，这个问题指的是现有良马和驽马各一匹，良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，然后良马再出发，则良马几天可以追上驽马？如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ． 13．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线与直线交于点，且与轴交于点，直线与轴交于点．（1） ； （2）若点与点是内部（包括边上）的点，则的最大值为 ． 14．如图，表示某产品一天的销售收入与销售量的关系；表示该产品一天的销售成本与销售量的关系．则销售收入y1与销售量之间的函数关系式 ，销售成本y2与销售量之间的函数关系式 ，当一天的销售量超过 时， 生产该产品才能获利．（提示:利润=收入-成本） 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点A的一次函数的图象相交于点，． (1)点B的坐标为 ， ； (2)求直线的表达式． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）某水果市场销售一种苹果，甲店的苹果价格为5元；乙店的苹果价格为6元，若一次购买以上，超过的部分打七折． (1)设购买苹果，付款金额为y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数表达式； (2)到哪家店购买苹果更省钱？请说明理由． 17．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 18．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某商场购进、两种商品共件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，、两种商品的进价、售价如表： 进价元件 售价元件 请利用本章所学知识解决下列问题： (1)设商场购进商品的件数为件，购进、两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润． 19．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，平移直线至直线，是常数且，直线与轴和轴分别交于点和点．直线，是常数且与轴交于点，与直线交于点． (1)求字母k，b，m，n，a的值； (2)直线与轴交于点，求四边形的面积； (3)不等式组的解集为__________． 20．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）已知：甲乙两车分别从相距千米的、两地同时出发相向而行，其中甲到达地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)求甲车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式； (2)若已知乙车行驶的速度是千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的距离相等； (3)在上述条件下，求出它们在行驶过程中相遇时的时间． 21．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在一条笔直的道路上依次有A、、三地，南南从A地跑步到地，同时乐乐从地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比南南早到达地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地的路程与南南的跑步时间之间的函数图像．    (1)___________，乐乐去A地的速度为___________． (2)结合图像，求出线段对应的函数表达式写出自变量的取值范围． (3)求出两人距地的路程相等的时间． 22．（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 23．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组在太空成功会师，激发了航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息： 产品 神舟飞船模型 航天纪念币 进价（元/件） 28 14 售价（元/件） 38 20 (1)若该店在2022年12月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？ (2)由于销售火爆，该店2023年元月份又准备按照原来各自的进价购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设元月购进神舟飞船模型m件，全部售出后所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得元月份该店利润w为最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 综合与实践一次函数模型的应用 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例1】（2022秋•大观区校级期中）已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【解答】解：， ， ， 两边之和大于第三边，即， 解得：， 故底边长与腰长的函数关系式是：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系． 【变式1】（界首市校级期中）二中的校办工厂2009年的产值为23万元，计划从2010年开始，每年增加2万元，则年产值（万元）与经过的年数的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知，函数为一次函数，直接列式即可． 【解答】解：根据题意，找到函数关系：即现在年产值是23万元，计划今后每年增加2万元， 故产值（万元）与年数之间的函数关系式． 故选：． 【点评】主要考查了函数的解析式的求法，首先审清题意，发现变量间的关系，再列出关系式或通过计算得到关系式． 【变式2】（泾县期中）已知一出租车油箱内剩余油，一般行驶一小时耗油，则该车油箱内剩余油量和行驶时间（时之间的函数关系式是　　（不写自变量取值范围）． 【分析】根据余油量原有油量用油量得出． 【解答】解：依题意有：． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 【变式3】（安庆校级期中）周长为的等腰三角形，腰长与底边长的函数关系为　　，自变量范围为　 　． 【分析】根据底边长两腰长周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【解答】解：， ，即， 两边之和大于第三边， ，，即， ， 自变量范围为． 故答案为：、． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键． 【变式4】（桐城市校级期中）若△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°，试写出y与x之间的函数关系式，并画出图象． 【分析】若△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°，根据三角形内角和为180°，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：∵△ABC中∠A＝80°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°， ∴80+x+y＝180， ∴y＝100﹣x（0＜x＜100），图象如下： 【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式及一次函数的图象，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180°，列出关于x与y的关系式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【例2】（2022秋•金安区校级月考）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其运费（元由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为　　 A． B． C． D． 【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求时，对应的值即可． 【解答】解：设与的函数关系式为， 由题意可知， 解得， 所以函数关系式为， 当时，即，所以． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．正确求出函数解析式是解题的关键． 【变式1】（2023秋•青阳县期末）、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系．下列说法错误的是　　 A．乙晚出发1小时 B．乙出发3小时后追上甲 C．甲的速度是4千米小时 D．乙先到达地 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可得， 乙晚出发1小时，故选项正确； 乙出发小时追上甲，故选项错误； 甲的速度是（千米小时），故选项正确； 乙先到达地，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（2023秋•裕安区校级月考）某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量与销售单价（元之间的函数关系，已知的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元，那么该天销售黄桃所获得的利润是 　9000　元． 【分析】设的解析式是，代入求解即可，再根据利润数量（售价成本），计算即可． 【解答】解：设的解析式是， 根据题意，得， 解得， 苹果日销售量（千克）与黄桃售价（元的函数解析式是， 当时，黄桃日销售量， 该天销售黄桃的盈利是（元， 故答案为：9000． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． 【变式3】（2023秋•长丰县期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程（千米）与时间（小时）的函数图象如图所示． （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 　24　千米小时． （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离随的增大而增大时，的取值范围是 　　． 【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米小时，则第二段的速度为千米小时，根据小聪各段所用时间之和列出方程，解方程即可，注意验根； （2）先写出小明和小聪所走路程与时间的函数解析式，再根据实际意义分段讨论即可． 【解答】解：设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米小时，则第二段的速度为千米小时， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即小聪骑自行车的第一段路程速度是24千米小时， 故答案为：24； （2）小明的速度为（千米小时）， 小明所走的路程与时间之间的函数解析式为； 小聪所走的路程与时间之间的函数解析式为， ①当时，小明匀速前进，小聪未出发，两人之间的距离随的增大而增大； ②当时，小聪的速度大于小明的速度，两人之间的距离先减小，小聪超过小明后，两人之间的距离再次拉开， 该阶段两人相遇时：， 解得， 当时，两人之间的距离随时间的增大而增大； ③当时，小聪停止前进，则两人之间的距离先减小，相遇后再增大， 此时，， 解得， 当时，两人之间的距离随时间的增大而增大； ④当时，小聪的速度大于小明的速度，两人的距离逐渐减小知道到达终点，两人相遇． 综上所述，当或或时，两人之间的距离随时间的增大而增大． 故答案为：或或． 【点评】本题考查了一次函数和分式方程的应用，观察函数图象找出关键点的实际意义，列出函数解析式是解题的关键． 【变式4】（2021秋•瑶海区期中）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解； ②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【解答】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得， 解得． 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元； （2）①根据题意得，， 即； ②据题意得，， 解得， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 此时最大利润是． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 经典题型汇编 题型一.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．（21-22八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 【答案】(1)， (2)当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少 【分析】本题考查一次函数的实际应用； （1）根据题意分别求出两种方案的费用即可； （2）先求出两种方案费用相等的情况，再分类讨论即可． 【详解】（1）由题意得： ， ； （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∵，， ∴， ∴当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少． 题型二.最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．（八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【答案】B 【详解】两条直线交点为（4,400）也就是销售收入与销售成本相等，所以公司盈利需要大于4万件.选B. 5．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【答案】 【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可． 【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件， 由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元， 所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元； 设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 将点代人， 解得， 所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为， 当时，， 将时， ∴此时日销售利润为（元）． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答． 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示： 甲种饮料 乙种饮料 进价/（元） 售价/（元） (1)若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式； (2)若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据表格数据，列出函数关系式即可求解； （2）根据题意列出表达式得出，进而设甲乙两种饮料的总利润为元，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 即； （2）解：由（1）可得， 解得：， 设甲乙两种饮料的总利润为元，根据题意得， ， ∵ ∴随的增大而增大 ∴当时，取的最大值，最大值为， 答：超市能够获得的最大利润为元． 题型三.行程问题(一次函数的实际应用) 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合y与x的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据行走过程速度的变化和距离变化的关系进行判断即可，根据速度和距离的变化关系是解决本题的关键． 【详解】解：A C、某人去上班，当时，表示他离单位最远，图象不过原点，故A C 不符合题意； B D、先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，刚开始变化率较大，图象较陡，后来变化率较小，图象较缓，故B不符合题意，D符合题意． 故选：． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离和所用时间之间的关系如图所示，小明出发后距A地 ．    【答案】160 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用．解题的关键在于正确求解一次函数解析式．根据函数图象中的数据可以求得当时，y与x的函数关系式，然后将代入求得函数解析式，计算求解即可． 【详解】解：设当时，y与x的函数关系式为， 则， 解得： ∴当时，y与x的函数关系式为， ∴当时，， ∴小明出发后距A地160千米， 故答案为：160． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量和因变量分别是 ； (2)小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米； (3)小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 米分钟； (4)小红在骑车 分钟时，距离商店米． 【答案】(1)时间，路程 (2) (3) (4)、、5、 【分析】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个米； （3）根据图象中的数据用返回后去往的路程除以所用的时间即可； （4）分开始去时、返回后时、再离开时，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：该情境中的自变量和因变量分别是时间，路程． 故答案为：时间，路程； （2）解：小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：米． 故答案为：； （3）解：（米分钟）， 即小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是米分钟； 故答案为：； （4）解：小红刚开始时的速度为：（米分钟）， 当小红去舅舅家时， （分钟）； ∴出发后1分钟时，距离商店300米， （分钟）， ∴出发后3分钟时，距离商店300米； 当小红返回商店时， （分钟）， ∴出发后5分钟时，距离商店300米； 当小红再次离开商店时， （分钟）， ∴出发后分钟时，距离商店300米； 故答案为：、、5、． 题型四.几何问题(一次函数的实际应用) 10．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，，若点在的内部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得直线与x轴的交点坐标，由题意得当时，一次函数的函数值应大于点P的纵坐标，再由已知可得关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 点的坐标为． 当时，， 点在的内部， ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及解不等式组，关键是数形结合得到不等式组． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知点，直线． （1）直线l恒过定点C，点C坐标为 ． （2）若直线l与线段有交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质和应用． （1）过定点，说明与值无关，即，得到，即可； （2）分别求出直线l经过点和点时的值，即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，， ∴直线l恒过定点， ∴； 故答案为：； （2）当直线l经过点时：，解得：， 当直线l经过点时：，解得：， ∵直线l与线段有交点， ∴k的取值范围为； 故答案为：． 12．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知点及在第一象限的动点，且，O为坐标原点，设的面积为S． (1)求S关于x的函数解析式； (2)求x的取值范围； (3)当时，求P点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数性质，图形与坐标，解题的关键是掌握三角形面积公式，求出与的函数关系式． （1）由，得，故； （2）根据在第一象限，知； （3）令得，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵在第一象限， ∴即, 解得：； （3）在中，令得： ， 解得， ∴， ∴． 题型五.其他问题(一次函数的实际应用) 13时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（    ） A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B．线段的函数表达式为 C．该植物最高为 D．第40天，该植物的高度为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据平行线间的距离相等可知天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为（），然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断B；把代入②的结论进行计算即可判断C；把代入②的结论进行计算可判断D． 【详解】解：A.轴， 从第天开始植物的高度不变， 故A的说法正确； B.设直线的解析式为（）， 经过点，， ， 解得， 所以，直线的解析式为（）， 故B的结论正确； C当时，， 即第天，该植物的高度为厘米； 故C的说法错误． D当时，， 即第天，该植物的高度为厘米； 故D的说法正确； 故选：C． 14．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间的函数关系，已知1kg的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元/kg，那么该天销售黄桃所获得的利润是 元． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，根据图象求出线段的函数解析式，求出当时的销售量，即可求出当天的销售利润． 【详解】解：设线段的函数解析式为， ， 解得 ∴， 当时，， ∴该天销售黄桃所获得的利润是（元）， 故答案为：9000． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）九江电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，已知某户居民每月应交电费元与用电量度的函数图象是一条折线如图，根据图象解答下列问题：    (1)写出与的函数关系式； (2)若该用户某月用电度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费元，则该用户该月用了多少度电？ 【答案】(1) (2)该用户月用电度时，应缴费元；用户月缴费元时，用了度电 【分析】本题主要考查一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解决问题的关键是从一次函数的图象上获取信息． （1）本题考查的是分段函数的知识．依题意可以列出函数关系式； （2）根据（1中的函数解析式以及图标即可解答． 【详解】（1）将代入得： ， 解得． ， 将，代入得： ， 解得：． ， 综上所述，； （2）根据（1）的函数关系式得： 月用电量在度到度之间时，每度电的收费的标准是元； 月用电量超出度时，超过部分每度电的收费标准是元； 用户月用电度时，元， 即用户应缴费元； 用户月缴费元时，即，解得， 即该用户该月用了度电． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于x的函数关系式，把△OPA的面积=16代入函数关系即可得出x的值，进而得出y的值． 【详解】解：∵A和P点的坐标分别是、， ∴=×8×y=4y， ∵x+y=10， ∴y=10-x， ∴=4（10-x）=40-4x， 当=16时，40-4x=16， 解得x=6． ∵x+y=10， ∴y=10-6=4，即P的坐标为； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键． 2．一辆甲种车每次可运货物 3 吨，一辆乙种车每次可运货物 2 吨，某公司有 20 吨货物，计划同时租用两种车一次运完，且每辆车都装满货物，一共有（    ）种租车方案． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设租用甲种车x辆，即乙种车辆，根据x，均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】设租用甲种车x辆，即乙种车辆 ∵x，均为正整数 ∴当成立 故存在3种租车方案 故答案为：C． 【点睛】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米， 故选：C． 4．（19-20八年级上·全国·单元测试）公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量之间是一次函数关系，其图象如图所示，由图中信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．1000元 B．1500元 C．2000元 D．2500元 【答案】B 【分析】设销量为x，收入为y，即求x=0时y的值．由图知求直线与y轴交点坐标，由两点式求直线解析式后再求交点． 【详解】解：设y=kx+b，由图知，直线过（1，2000）（2，2500），代入得： 解得： ∴y=500x+1500， 当x=0时，y=1500．即营销人员没有销售时的收入是1500元． 故选B． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，利用函数的解析式由自变量求函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菜园的三边的和为12m，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m， ， ， ，， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m，列出关于，的方程是解决问题的关键． 6．（八年级上·期末）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 【答案】C 【分析】首先设出一次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，最后将y＝400代入解析式就可以求出单价． 【详解】解：设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得 ， 解得：， 解析式为：y＝－10x＋9000. 当y＝400时， 400＝－10x＋9000， . 故答案为：C. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得快车和慢车的速度，再作差即可求出第一次和第二次相遇的时间，通过函数图象获取有关的信息是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，快车的速度为：， 慢车的速度为：， 设快车行驶两车第一次相遇，行驶两车第二次相遇， 则，， 解得，， ∴两车先后两次相遇的间隔时间为， 故选：． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人分别从A,B两地相向而行，他们距B地的距离与时间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度是 B．甲比乙早出发3小时 C．乙的速度是 D．两人相遇后乙行至A地还需要3小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识别函数图象，根据函数图象获取需要数据，先根据条件计算出甲的速度，再计算出乙的速度，即可求解． 【详解】解：A、由图可知：甲的速度是，故A正确，不符合题意； B、由图可知，甲出发3小时后乙才出发，即甲比乙早出发3小时，故B正确，不符合题意； C、经过5个小时后，甲离B地距离为：， 则乙的速度为，故C正确，不符合题意； D、两人相遇后乙行至A地还需要，故D不正确，符合题意； 故选：D． 9．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图像的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可． 【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误，②正确， 观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确， 由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确， 故选: D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为（　　） 实验次数 一 二 三 铁块质量 25 50 75 高度 44 38 32 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将，代入解析式得：， 解得：， 高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， 当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某水果店以每千克8元的价格购进100千克黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额y（元）与销售量，则销售完这100千克黄桃获得的利润是 元．    【答案】600 【分析】求出打折后每千克售价为（元千克）；可得这100千克黄桃销售所得金额为（元），故销售完这100千克黄桃获得的利润是（元）． 【详解】解：由图象可知，打折后每千克售价为（元千克）； 打折后的销售所得金额为（元）， 这100千克黄桃销售所得金额为（元）， 销售完这100千克黄桃获得的利润是（元）， 故答案为：600． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”，这个问题指的是现有良马和驽马各一匹，良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，然后良马再出发，则良马几天可以追上驽马？如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得点的坐标，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设弩马行了天，良马行了天追上驽马，根据题意，得： ， 解得， 32天驽马行走的路程为（里， 故点的坐标为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线与直线交于点，且与轴交于点，直线与轴交于点．（1） ； （2）若点与点是内部（包括边上）的点，则的最大值为 ． 【答案】 6 5 【分析】本题考查了两条直线相交的问题，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）令，则可计算出点的坐标，继而得到长； （2）令，则有：，，，，即当点与点分别在两个一次函数上时，最大，解出、求出即可． 【详解】解：（1）令，则，解得， ， ； 故答案为：6； （2）在函数和中， 令，则有： ，， 解得：，， 当点与点分别在两个一次函数上时，最大， ． 点与点是内部（包括边上）的点，则的最大值为5． 故答案为：5 14．如图，表示某产品一天的销售收入与销售量的关系；表示该产品一天的销售成本与销售量的关系．则销售收入y1与销售量之间的函数关系式 ，销售成本y2与销售量之间的函数关系式 ，当一天的销售量超过 时， 生产该产品才能获利．（提示:利润=收入-成本） 【答案】 4 【详解】设y1=kx， ∵l1过点（4，4）， ∴4k=4，解得：k=1， ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为y1=x， 设y2=kx+b， ∵l2过点（0，2），（4，4）， ∴解之得， ∴y2=x+2. 由图象知当一天的销售量超过4件时，生产该产品才能获利. 故答案为y=x；y2=x+2；4 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点A的一次函数的图象相交于点，． (1)点B的坐标为 ， ； (2)求直线的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，求一次函数函数值： （1）在中求出当时，，当时，即可得到答案； （2）设点A的坐标为，则 ，由，得到，则，即，再利用待定系数法即可求出直线的表达式为． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：设点A的坐标为，则 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）某水果市场销售一种苹果，甲店的苹果价格为5元；乙店的苹果价格为6元，若一次购买以上，超过的部分打七折． (1)设购买苹果，付款金额为y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数表达式； (2)到哪家店购买苹果更省钱？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，甲店更省钱；当时，两店一样多；当时，乙店更省钱，见解析 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的应用； （1）可以直接列出，分段讨论：当时和当时，列出即可以求解； （2）①当时，可以直接判断；②当时，先求出还钱一样多时可购买的重量，以此进行分段讨论：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时， 即可求解； 能根据实际意义进行分段讨论是解题的关键. 【详解】（1）解：由题意得 ， 当时， ， 当时， ， ； （2）①当时， ， 则； ②当时， 由得 ， （Ⅰ）当时， ， ； （Ⅱ）当时， ， ； （Ⅲ）当时， ， ； 综上可知：当时，甲店更省钱；当时，两店一样多；当时，乙店更省钱． 17．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，                                                                     则总费用     整理得：                                      ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某商场购进、两种商品共件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，、两种商品的进价、售价如表： 进价元件 售价元件 请利用本章所学知识解决下列问题： (1)设商场购进商品的件数为件，购进、两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润． 【答案】(1) (2)应购进商品，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 商品的件数不大于商品的件数，且不小于件， ， 解得， 即与之间的函数关系式是； （2）与之间的函数关系式是； 随的增大而增大， 当时，利润最大，最大利润为：． （3）设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进商品件，方可获得最大利润． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，平移直线至直线，是常数且，直线与轴和轴分别交于点和点．直线，是常数且与轴交于点，与直线交于点． (1)求字母k，b，m，n，a的值； (2)直线与轴交于点，求四边形的面积； (3)不等式组的解集为__________． 【答案】(1)字母，，，，的值分别为，4，2，，2 (2)四边形面积为5 (3) 【分析】本题考查一次函数、方程和一元一次不等式的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和方程的关系． （1）先根据平移的性质求出，再将点代入即可求出直线的解析式，进而求出点和点的坐标，将点和点代入直线作答即可； （2）根据图像，，分别求面积再作差即可求解； （3）根据图像即可作答． 【详解】（1）直线由平移而来， ， 又过，代入直线解析式， 得， 直线解析式为， 又点在直线上， 当时，， 点坐标为， 直线过、两点， ， 解得， 字母，，，，的值分别为，4，2，，2； （2）由图得，， 当时，代入直线解折式， 即， ， 即， ， 又，，， ， 四边形面积为5； （3）根据图像，， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）已知：甲乙两车分别从相距千米的、两地同时出发相向而行，其中甲到达地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)求甲车离出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式； (2)若已知乙车行驶的速度是千米/小时，求出发后多长时间，两车离各自出发地的距离相等； (3)在上述条件下，求出它们在行驶过程中相遇时的时间． 【答案】(1) (2)出发后小时，两车离各自出发地的距离相等 (3)两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用； （1）由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行驶时间大于3小时小于小时是一次函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式． （2）设出发后小时，两车离各自出发地的距离相等，列出方程即可解决问题； （3）两者相向而行，相遇时甲、乙两车行驶的距离之和为千米，列出方程解答，由题意有两次相遇． 【详解】（1）当时，是正比例函数，设为， 时，，代入解得，所以； 当时，是一次函数，设为， 代入两点、，得 解得， 所以． 综合以上得甲车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为： （2）设出发后小时，两车离各自出发地的距离相等． 由题意， 解得， 答：出发后小时，两车离各自出发地的距离相等． （3）由题意有两次相遇． ①当，，解得； ②当时，，解得． 综上所述，两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第小时． 21．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在一条笔直的道路上依次有A、、三地，南南从A地跑步到地，同时乐乐从地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比南南早到达地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地的路程与南南的跑步时间之间的函数图像．    (1)___________，乐乐去A地的速度为___________． (2)结合图像，求出线段对应的函数表达式写出自变量的取值范围． (3)求出两人距地的路程相等的时间． 【答案】(1)2； (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了列式计算、一次函数图像与行程问题等知识点，审清题意、明确函数图象各点的意义成为解答本题的关键． （1）根据题意结合图像以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定F、G的坐标以及t的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定，然后根据图像联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：由于乐乐休息1分钟，则； 乐乐去A地的速度为； 故答案为：2；． （2）解：线段对应的函数表达式为． ∵， ∴解得 ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设线段对应的函数表达式为． ∵， ∴，解得：． ∴线段对应的函数表达式为． ①当时，，解得； ②当时，，解得，不合题意，舍去． ③当时，或，解得或． ④当时，两人距B地的路程相等． 综上所述，两人距B地的路程相等的时间为或或或． 22．（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表： 型 型 价格（万元/辆） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求，的值； (2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案? (3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元? 【答案】(1)的值为100，的值为150； (2)有4购买方案 (3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式． （1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案； （3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：依题意得：，解得：， 答：的值为100，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得： 解得： 又为整数 有4购买方案； （3）解：设购车总费用为万元， 则，（且为整数） ， 随的增大而减小 当时，最小，最小值为（元）， 购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元． 23．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组在太空成功会师，激发了航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息： 产品 神舟飞船模型 航天纪念币 进价（元/件） 28 14 售价（元/件） 38 20 (1)若该店在2022年12月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？ (2)由于销售火爆，该店2023年元月份又准备按照原来各自的进价购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设元月购进神舟飞船模型m件，全部售出后所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得元月份该店利润w为最大． 【答案】(1)购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件 (2)当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得元月份该店利润w为最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集，求出获利的最大值． （1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意列出方程组，解之即可； （2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币件，根据题意可知，根据“航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍”可得且m为正整数，因为，所以w随m的增大而增大，可知当时，w最大，最大值为575，由此可得出结论． 【详解】（1）解：设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意可知： ， 解得：， 答：购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件． （2）解：设元月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币件，根据题意可知： ， ∵航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍， ∵且m为正整数， ∴且m为正整数， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为2375， 此时， 答：当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得元月份该店利润w为最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$